國三數學第一章相似形與三角比互動講義

💡 核心觀念：連比例

連比 a:b:c 各項同乘或同除相同數，比值不變。
求連比（LCM 法）：找共同項的最小公倍數，把兩個比湊成同一個中間項，再合併。
若 ax = by，則 x:y = b:a（係數對調）。
化最簡整數比：先清除小數或分數，再除以各項 GCD。
三個比連接時，中間項必須統一才能直接合併成連比。

👨‍🏫 老師講解（8 題）

講 1已知 x:y = 2:3，y:z = 3:5，求 x:y:z。

確認條件：x:y = 2:3，y:z = 3:5，中間項 y 在兩個比中都是 3，已經相同。

列性質：中間項相同時，可以直接合併成連比 x:y:z。

代入計算：x:y = 2:3，y:z = 3:5，直接合併 → x:y:z = 2:3:5。

得出答案：x:y:z = 2:3:5。

x:y:z = 2:3:5

講 2已知 a:b = 3:4，b:c = 6:7，求 a:b:c。

確認條件：a:b = 3:4，b:c = 6:7，中間項 b 分別是 4 和 6，不相同，需要用 LCM 法統一。

列性質：找 4 和 6 的最小公倍數 LCM(4,6) = 12，把 b 都化成 12。

代入計算：a:b = 3:4 → 乘以 3 → 9:12；b:c = 6:7 → 乘以 2 → 12:14。合併得 a:b:c = 9:12:14。

得出答案：a:b:c = 9:12:14。

a:b:c = 9:12:14

講 3已知 x:y = 5:3，y:z = 4:5，求 x:y:z。

確認條件：x:y = 5:3，y:z = 4:5，中間項 y 分別是 3 和 4，不相同，需要 LCM 法。

列性質：LCM(3,4) = 12，把兩個比中的 y 都化成 12。

代入計算：x:y = 5:3 → 乘以 4 → 20:12；y:z = 4:5 → 乘以 3 → 12:15。合併得 x:y:z = 20:12:15。

得出答案：x:y:z = 20:12:15。

x:y:z = 20:12:15

講 4已知 3x = 4y，y:z = 2:5，求 x:y:z。

確認條件：3x = 4y → 用係數對調性質求 x:y；y:z = 2:5 已知。

列性質：ax = by → x:y = b:a，所以 3x = 4y → x:y = 4:3。

代入計算：x:y = 4:3，y:z = 2:5。LCM(3,2) = 6。x:y = 8:6；y:z = 6:15。合併得 x:y:z = 8:6:15。

得出答案：x:y:z = 8:6:15。

x:y:z = 8:6:15

講 5已知 a:b = 1/2 : 1/3，b:c = 0.4:0.6，化為最簡整數連比 a:b:c。

確認條件：a:b = 1/2 : 1/3（分數比），b:c = 0.4:0.6（小數比），需先各自化為整數比。

列性質：分數比同乘最小公倍母數；小數比同乘 10（去小數點），再除以 GCD。

代入計算：a:b = 1/2 : 1/3 → 乘以 6 → 3:2；b:c = 0.4:0.6 → 乘以 10 → 4:6 → 除以 2 → 2:3。LCM(2,2)=2，兩邊中間項已是 2:2，合併 a:b:c = 3:2:3。

得出答案：a:b:c = 3:2:3。

a:b:c = 3:2:3

講 6甲、乙、丙三人分紅，甲:乙 = 5:3，乙:丙 = 4:9。若三人分紅總額為 34000 元，甲分得多少元？

確認條件：甲:乙 = 5:3，乙:丙 = 4:9，需先求連比再依比分配。

列性質：LCM(3,4) = 12，把乙統一成 12。甲:乙 = 20:12；乙:丙 = 12:27。連比 = 20:12:27，總份數 = 59。

代入計算：甲的份數 = 20，甲分得 = 34000 × 20/59 = 680000/59。59 × 11 = 649，59 × 12 = 708，不整除，確認：20+12+27=59，34000÷59 不整除，改用 34000×20÷59。34000/59 ≈ 576.27，不整除，故答案以分數表示 = 680000/59 ≈ 11525 元。（提示：本題若用 a:b=5:3, b:c=4:9，LCM(3,4)=12，a:b=20:12, b:c=12:27，總59份，34000÷59×20 = 680000/59。）

得出答案：甲分得 680000/59 ≈ 11525 元（精確值 680000/59 元）。

甲分得 680000/59 元（約 11525 元）

講 7（會考改編）已知 x:y:z = 3:5:7，且 x + y + z = 60，求 y - x 的值。

確認條件：連比 x:y:z = 3:5:7，三數總和 = 60。

列性質：設公比為 k，則 x = 3k、y = 5k、z = 7k，三數和 = (3+5+7)k = 15k。

代入計算：15k = 60 → k = 4。所以 x = 12，y = 20，z = 28。y - x = 20 - 12 = 8。

得出答案：y - x = 8。

y - x = 8

講 8（會考改編）若 a:b = 2:3，b:c = 5:6，c:d = 4:7，求 a:d。

確認條件：三個比 a:b = 2:3，b:c = 5:6，c:d = 4:7，要找 a 和 d 的比，需依序用 LCM 法擴展。

列性質：先合併 a:b:c，再合併 a:b:c:d，最後取 a 和 d 兩項。

代入計算：步驟一，合併 a:b:c：LCM(3,5)=15，a:b=10:15，b:c=15:18，→ a:b:c=10:15:18。步驟二，合併到 d：LCM(18,4)=36，a:b:c=20:30:36，c:d=36:63，→ a:b:c:d=20:30:36:63。a:d = 20:63。

得出答案：a:d = 20:63。

a:d = 20:63

✏️ 學生練習（8 題）

練 1已知 p:q = 3:5，q:r = 5:8，求 p:q:r。

確認條件：p:q = 3:5，q:r = 5:8，中間項 q 在兩個比中都是 5，已經相同。

列性質：中間項相同時，可以直接合併成連比 p:q:r。

代入計算：p:q = 3:5，q:r = 5:8，直接合併 → p:q:r = 3:5:8。

得出答案：p:q:r = 3:5:8。

p:q:r = 3:5:8

練 2已知 m:n = 2:5，n:k = 10:3，求 m:n:k。

確認條件：m:n = 2:5，n:k = 10:3，中間項 n 分別是 5 和 10，不相同，需要 LCM 法。

列性質：LCM(5,10) = 10，把兩個比中的 n 都化成 10。

代入計算：m:n = 2:5 → 乘以 2 → 4:10；n:k = 10:3 已是 10:3。合併得 m:n:k = 4:10:3。

得出答案：m:n:k = 4:10:3。

m:n:k = 4:10:3

練 3已知 a:b = 4:5，b:c = 3:7，求 a:b:c。

確認條件：a:b = 4:5，b:c = 3:7，中間項 b 分別是 5 和 3，不相同，需要 LCM 法。

列性質：LCM(5,3) = 15，把兩個比中的 b 都化成 15。

代入計算：a:b = 4:5 → 乘以 3 → 12:15；b:c = 3:7 → 乘以 5 → 15:35。合併得 a:b:c = 12:15:35。

得出答案：a:b:c = 12:15:35。

a:b:c = 12:15:35

練 4已知 5x = 3y，y:z = 4:7，求 x:y:z。

確認條件：5x = 3y → 係數對調求 x:y；y:z = 4:7 已知。

列性質：ax = by → x:y = b:a，所以 5x = 3y → x:y = 3:5。

代入計算：x:y = 3:5，y:z = 4:7。LCM(5,4) = 20。x:y = 12:20；y:z = 20:35。合併得 x:y:z = 12:20:35。

得出答案：x:y:z = 12:20:35。

x:y:z = 12:20:35

練 5已知 p:q = 1/3 : 1/4，q:r = 0.6:0.9，化為最簡整數連比 p:q:r。

確認條件：p:q = 1/3 : 1/4（分數比），q:r = 0.6:0.9（小數比），需各自化為整數比。

列性質：分數比同乘最小公倍母數；小數比乘以 10 再除以 GCD 化簡。

代入計算：p:q = 1/3 : 1/4 → 乘以 12 → 4:3；q:r = 0.6:0.9 → 乘以 10 → 6:9 → 除以 3 → 2:3。LCM(3,2)=6，p:q=8:6，q:r=6:9，合併 p:q:r = 8:6:9。

得出答案：p:q:r = 8:6:9。

p:q:r = 8:6:9

練 6三種原料甲、乙、丙混合，甲:乙 = 3:4，乙:丙 = 6:5。若總重量為 360 公克，乙有多少公克？

確認條件：甲:乙 = 3:4，乙:丙 = 6:5，需先求連比再依比分配。

列性質：LCM(4,6) = 12，把乙統一成 12。甲:乙 = 9:12；乙:丙 = 12:10。連比 = 9:12:10，總份數 = 31。

代入計算：乙的份數 = 12，乙的重量 = 360 × 12/31 = 4320/31 ≈ 139.4 公克。（精確：4320/31 公克。）

得出答案：乙有 4320/31 ≈ 139.4 公克（精確值 4320/31 公克）。

乙有 4320/31 公克（約 139.4 公克）

練 7（會考改編）已知 p:q:r = 4:3:8，且 p + q + r = 75，求 r - p 的值。

確認條件：連比 p:q:r = 4:3:8，三數總和 = 75。

列性質：設公比為 k，則 p = 4k、q = 3k、r = 8k，三數和 = (4+3+8)k = 15k。

代入計算：15k = 75 → k = 5。所以 p = 20，q = 15，r = 40。r - p = 40 - 20 = 20。

得出答案：r - p = 20。

r - p = 20

練 8（會考改編）若 x:y = 3:4，y:z = 5:6，z:w = 2:9，求 x:w。

確認條件：三個比 x:y = 3:4，y:z = 5:6，z:w = 2:9，要求 x:w，需依序用 LCM 法擴展成四元連比。

列性質：先合併 x:y:z，再合併到 w，最後取 x 和 w 兩項化最簡。

代入計算：步驟一，合併 x:y:z：LCM(4,5)=20，x:y=15:20，y:z=20:24，→ x:y:z=15:20:24。步驟二，合併到 w：LCM(24,2)=24，x:y:z=15:20:24，z:w=24:108，→ x:y:z:w=15:20:24:108。x:w = 15:108 = 5:36（除以 GCD 3）。

得出答案：x:w = 5:36。

x:w = 5:36

💡 核心觀念：連比例式的應用

連比轉化：x:y:z = a:b:c 等價於設 x=ar, y=br, z=cr（r≠0），再利用已知條件求 r。
連比求各量：建立方程（如總和 x+y+z=某數，或差的條件），解出 r 後各自代入。
等積連比：若 ax = by = cz = k，則 x:y:z = 1/a : 1/b : 1/c（即 bc : ac : ab）。
按比分配：總量 S 按 a:b:c 分配時，各份 = S × a/(a+b+c)、S × b/(a+b+c)、S × c/(a+b+c)。
生活應用：食譜、費用、工作量等按比例分配問題，均可先設公比 r，列方程求解。

👨‍🏫 老師講解（8 題）

講 1已知 x:y = 3:5，且 x+y = 24，求 x 與 y 的值。

步驟1｜確認條件：x:y = 3:5，x+y = 24。

步驟2｜設公比：令 x = 3r，y = 5r（r≠0）。

步驟3｜代入求解：3r + 5r = 24 → 8r = 24 → r = 3，∴ x = 9，y = 15。

步驟4｜驗算：9+15 = 24 ✓，9:15 = 3:5 ✓。

x = 9，y = 15

講 2x:y:z = 2:3:5，且 x+y+z = 60，求 x、y、z 各為多少？

步驟1｜確認條件：連比 x:y:z = 2:3:5，三數之和 = 60。

步驟2｜設公比：令 x = 2r，y = 3r，z = 5r。

步驟3｜列方程：2r+3r+5r = 60 → 10r = 60 → r = 6，∴ x=12，y=18，z=30。

步驟4｜驗算：12+18+30 = 60 ✓，12:18:30 = 2:3:5 ✓。

x=12，y=18，z=30

講 3甲、乙、丙三人按 4:3:2 分配獎金 1800 元，各得多少元？

步驟1｜確認條件：獎金總計 1800 元，按 4:3:2 分配。

步驟2｜按比分配公式：各份 = 總量 × 自身比值 ÷ 比值總和（4+3+2=9）。

步驟3｜代入計算：甲 = 1800×4/9 = 800，乙 = 1800×3/9 = 600，丙 = 1800×2/9 = 400。

步驟4｜驗算：800+600+400 = 1800 ✓。

甲 800 元，乙 600 元，丙 400 元

講 4已知 x:y:z = 1:2:4，且 y - x = 6，求 x+y+z 的值。

步驟1｜確認條件：x:y:z = 1:2:4，已知 y−x = 6。

步驟2｜設公比：令 x = r，y = 2r，z = 4r。

步驟3｜利用差建方程：2r − r = 6 → r = 6，∴ x=6，y=12，z=24，x+y+z = 42。

步驟4｜驗算：y−x = 12−6 = 6 ✓，6:12:24 = 1:2:4 ✓。

x+y+z = 42

講 5若 2x = 3y = 6z，求 x:y:z。

步驟1｜確認條件：ax = by = cz 型，其中 a=2，b=3，c=6。

步驟2｜等積連比公式：x:y:z = 1/a : 1/b : 1/c = 1/2 : 1/3 : 1/6。

步驟3｜通分化整：公分母為 6，→ 3/6 : 2/6 : 1/6 = 3:2:1。

步驟4｜驗算：取 x=3，y=2，z=1，則 2×3=6，3×2=6，6×1=6 ✓。

x:y:z = 3:2:1

講 6食譜需要麵粉、糖、奶油的重量比為 5:2:1。若奶油用了 30 克，問麵粉與糖各需要幾克？

步驟1｜確認條件：麵粉:糖:奶油 = 5:2:1，奶油 = 30 克。

步驟2｜設公比：令麵粉 = 5r，糖 = 2r，奶油 = r。

步驟3｜代入已知：r = 30，∴ 麵粉 = 5×30 = 150 克，糖 = 2×30 = 60 克。

步驟4｜驗算：150:60:30 = 5:2:1 ✓。

麵粉 150 克，糖 60 克

講 7（會考改編）甲、乙、丙三地的面積比為 3:4:5，已知甲、乙面積之差為 8 平方公里，求丙的面積。

步驟1｜確認條件：面積比 3:4:5，甲乙之差 = 8 平方公里，求丙。

步驟2｜設公比：甲 = 3r，乙 = 4r，丙 = 5r。

步驟3｜列方程：4r − 3r = 8 → r = 8，∴ 丙 = 5×8 = 40 平方公里。

步驟4｜驗算：甲=24，乙=32，差=8 ✓；24:32:40 = 3:4:5 ✓。

丙的面積為 40 平方公里

講 8（會考改編）三條線段長度比為 x:y:z = 2:3:4，若最長與最短線段之差為 10 公分，求三線段長度之和。

步驟1｜確認條件：x:y:z = 2:3:4，最長（z）− 最短（x）= 10 公分。

步驟2｜設公比：x = 2r，y = 3r，z = 4r。

步驟3｜列方程：4r − 2r = 10 → 2r = 10 → r = 5，∴ x=10，y=15，z=20，和 = 45。

步驟4｜驗算：20−10 = 10 ✓，10:15:20 = 2:3:4 ✓，總和 45。

三線段之和為 45 公分

✏️ 學生練習（8 題）

練 1已知 a:b = 5:3，且 a+b = 40，求 a 與 b 的值。

步驟1｜確認條件：a:b = 5:3，a+b = 40。

步驟2｜設公比：令 a = 5r，b = 3r。

步驟3｜代入求解：5r + 3r = 40 → 8r = 40 → r = 5，∴ a = 25，b = 15。

步驟4｜驗算：25+15 = 40 ✓，25:15 = 5:3 ✓。

a = 25，b = 15

練 2p:q:r = 1:4:7，且 p+q+r = 36，求 p、q、r 各為多少？

步驟1｜確認條件：連比 p:q:r = 1:4:7，三數之和 = 36。

步驟2｜設公比：令 p = r₀，q = 4r₀，r = 7r₀（為避免和比值 r 混淆，令公比為 k）。

步驟3｜列方程：k+4k+7k = 36 → 12k = 36 → k = 3，∴ p=3，q=12，r=21。

步驟4｜驗算：3+12+21 = 36 ✓，3:12:21 = 1:4:7 ✓。

p=3，q=12，r=21

練 3A、B、C 三人按 2:5:3 分配利潤 5000 元，各得多少元？

步驟1｜確認條件：總利潤 5000 元，按 2:5:3 分配，比值總和 = 10。

步驟2｜按比分配公式：各份 = 總量 × 自身比 ÷ 比值和。

步驟3｜代入計算：A = 5000×2/10 = 1000，B = 5000×5/10 = 2500，C = 5000×3/10 = 1500。

步驟4｜驗算：1000+2500+1500 = 5000 ✓。

A 1000 元，B 2500 元，C 1500 元

練 4已知 m:n:p = 3:5:7，且 p − m = 16，求 m+n+p 的值。

步驟1｜確認條件：m:n:p = 3:5:7，已知 p−m = 16。

步驟2｜設公比：令 m = 3k，n = 5k，p = 7k。

步驟3｜列方程：7k − 3k = 16 → 4k = 16 → k = 4，∴ m=12，n=20，p=28，和=60。

步驟4｜驗算：p−m = 28−12 = 16 ✓，12:20:28 = 3:5:7 ✓。

m+n+p = 60

練 5若 3x = 4y = 12z，求 x:y:z。

步驟1｜確認條件：ax=by=cz 型，a=3，b=4，c=12。

步驟2｜等積連比公式：x:y:z = 1/3 : 1/4 : 1/12。

步驟3｜通分化整：公分母為 12，→ 4/12 : 3/12 : 1/12 = 4:3:1。

步驟4｜驗算：取 x=4，y=3，z=1，則 3×4=12，4×3=12，12×1=12 ✓。

x:y:z = 4:3:1

練 6調配飲料需要果汁、糖水、氣泡水的體積比為 3:1:6。若糖水用了 50 毫升，問果汁和氣泡水各需幾毫升？

步驟1｜確認條件：果汁:糖水:氣泡水 = 3:1:6，糖水 = 50 毫升。

步驟2｜設公比：果汁 = 3k，糖水 = k，氣泡水 = 6k。

步驟3｜代入已知：k = 50，∴ 果汁 = 3×50 = 150 毫升，氣泡水 = 6×50 = 300 毫升。

步驟4｜驗算：150:50:300 = 3:1:6 ✓。

果汁 150 毫升，氣泡水 300 毫升

練 7（會考改編）三個班級人數比為 5:6:4，已知人數最多班與最少班相差 15 人，求三班總人數。

步驟1｜確認條件：人數比 5:6:4，最多（6）− 最少（4）= 15 人。

步驟2｜設公比：三班人數分別為 5k、6k、4k。

步驟3｜列方程：6k − 4k = 15 → 2k = 15 → k = 7.5，∴ 總人數 = (5+6+4)×7.5 = 15×7.5 = 112.5。

步驟4｜說明：k=7.5 → 三班人數 37.5、45、30，總和 = 112.5；若題目要求整數，則此比例下最小公比為 7.5，三班各為 37.5、45、30 人，總人數 112.5 人。（實際會考會取整數，此處依題意計算。）

三班總人數為 112.5 人（即各班 37.5、45、30 人）

練 8（會考改編）三段路程長度比為 a:b:c = 3:5:2，若最長路段比最短路段多 18 公里，求三段路程總長度。

步驟1｜確認條件：路程比 3:5:2，最長（b=5k）− 最短（c=2k）= 18 公里。

步驟2｜設公比：a = 3k，b = 5k，c = 2k。

步驟3｜列方程：5k − 2k = 18 → 3k = 18 → k = 6，∴ a=18，b=30，c=12，總長 = 60 公里。

步驟4｜驗算：30−12 = 18 ✓，18:30:12 = 3:5:2 ✓，總和 60。

三段路程總長度為 60 公里

💡 核心觀念：等高三角形

等高三角形面積比＝底邊長之比：若兩個三角形的高相同，則面積比等於底邊長之比。
同一頂點 A，△ABD 與 △ACD 共頂點，∴ S△ABD : S△ACD = BD : DC。
兩平行線間的三角形：底邊在同一直線上，頂點都在另一條平行線上，高相同，面積比＝底邊比。
計算技巧：設面積為 kr（k 為倍數，r 為比值單位），利用已知總面積或差求 k。
推廣應用：梯形中，對角線將梯形切成四個三角形，兩腰上的三角形面積相等（同底同高）。

👨‍🏫 老師講解（8 題）

講 1如圖，△ABC 中，D 在 BC 上，BD = 3，DC = 5。若 S△ABC = 40，求 S△ABD 與 S△ACD。

確認條件：△ABD 和 △ACD 共頂點 A，高相同（A 到 BC 的距離），BD = 3，DC = 5，S△ABC = 40。

列公式：等高三角形面積比＝底邊比，∴ S△ABD : S△ACD = BD : DC = 3 : 5。

代入計算：S△ABD + S△ACD = 40，比例分配：S△ABD = 40 × 3/(3+5) = 40 × 3/8 = 15；S△ACD = 40 × 5/8 = 25。

得出答案：S△ABD = 15，S△ACD = 25。

S△ABD = 15，S△ACD = 25

講 2如圖，平行線 ℓ₁ ∥ ℓ₂，A、B 在 ℓ₁ 上，AB = 6；C 在 ℓ₂ 上。△ABC 面積為 24。兩平行線距離為何？

確認條件：ℓ₁ ∥ ℓ₂，AB = 6，C 在 ℓ₂ 上，△ABC 面積 = 24，兩平行線距離就是三角形的高 h。

列公式：S△ABC = (1/2) × 底 × 高 = (1/2) × AB × h。

代入計算：24 = (1/2) × 6 × h，24 = 3h，h = 8。

得出答案：兩平行線距離為 8。

兩平行線距離為 8

講 3△ABC 中，D 是 BC 的中點。已知 S△ABD = 18，求 S△ABC。

確認條件：D 是 BC 中點，∴ BD = DC，△ABD 與 △ACD 同高（頂點 A），S△ABD = 18。

列公式：S△ABD : S△ACD = BD : DC = 1 : 1，∴ S△ABD = S△ACD。

代入計算：S△ACD = 18，S△ABC = S△ABD + S△ACD = 18 + 18 = 36。

得出答案：S△ABC = 36。

S△ABC = 36

講 4△ABC 中，D 在 BC 上，BD : DC = 2 : 3，S△ABC = 50。求 S△ABD，並求 S△ABD 與 S△ABC 的比。

確認條件：BD : DC = 2 : 3，△ABD 和 △ACD 共頂點 A，高相同，S△ABC = 50。

列公式：S△ABD : S△ACD = BD : DC = 2 : 3，∴ S△ABD : S△ABC = 2 : (2+3) = 2 : 5。

代入計算：S△ABD = 50 × 2/5 = 20。

得出答案：S△ABD = 20；S△ABD : S△ABC = 2 : 5。

S△ABD = 20，S△ABD : S△ABC = 2 : 5

講 5如圖，△ABC 中，D 在 BC 上使 BD : DC = 1 : 2；E 在 AC 上使 AE : EC = 1 : 1。已知 S△ABC = 60，求 S△ABD 與 S△ADE（先求各部分面積）。

確認條件：BD : DC = 1 : 2，AE : EC = 1 : 1（E 為 AC 中點），S△ABC = 60。

先求 S△ABD：△ABD 與 △ACD 同高，S△ABD : S△ABC = BD : BC = 1 : 3，∴ S△ABD = 60 × 1/3 = 20。

再求 S△ADE：△ADE 與 △CDE 以 AD 為底同高，但更簡單：△ADE 與 △ADC 同底（AD），AE : EC = 1 : 1，∴ S△ADE = (1/2) × S△ADC = (1/2) × 40 = 20。

得出答案：S△ABD = 20，S△ADE = 20。

S△ABD = 20，S△ADE = 20

講 6梯形 ABCD 中，AB ∥ CD，AB = 8，CD = 4，對角線 AC、BD 交於 O。已知 S梯形ABCD = 36，求 S△AOB 與 S△COD。

確認條件：AB ∥ CD，AB = 8，CD = 4，AB : CD = 8 : 4 = 2 : 1，對角線交於 O，S梯形 = 36。

關鍵性質：AB ∥ CD ⇒ △AOB ∼ △COD，相似比 = AB : CD = 2 : 1，∴ 面積比 = 4 : 1。另外 S△AOD = S△BOC（同底 AB 同高，各有一個腰的三角形）。

設 S△COD = k，則 S△AOB = 4k；S△AOD = S△BOC，梯形總面積 = S△AOB + S△BOC + S△COD + S△AOD = 4k + 2×S△AOD + k。又 S△ACD = S△BCD（同底 CD，等高），即 S△AOD + S△COD = S△BOC + S△COD，∴ S△AOD = S△BOC。梯形面積利用：S△ABC = (1/2)×8×h_AB，S△ACD = (1/2)×4×h_CD…簡化算：S△AOB/S△COD = (AB/CD)² = 4，設 S△COD = x，S△AOB = 4x；S△AOD = S△BOC = 2x（幾何均值）；總 = 4x+2x+x+2x = ... 用更直接方法：S△ABD = S△ABC（同底 AB，頂點在平行線上等高）；S梯形 = S△ABD + S△ACD = ... 設 S△COD = t，相似比 2:1 知 S△AOB = 4t；S△AOD×S△BOC = S△AOB×S△COD（等積性），S△AOD = S△BOC = 2t；S梯形 = 4t+2t+t+2t = 9t = 36，t = 4。

得出答案：S△COD = 4，S△AOB = 16。

S△COD = 4，S△AOB = 16

講 7（107年會考改編）如圖，△ABC 中，D 在 BC 上，E 在 AD 上，且 BD : DC = 3 : 2，AE : ED = 1 : 2。若 S△ABC = 100，求 S△BEC。

確認條件：BD : DC = 3 : 2，AE : ED = 1 : 2，S△ABC = 100。目標：S△BEC。

第一步求 S△BCD 與 S△ACD：△ABD 和 △ACD 同高，S△ABD : S△ACD = 3 : 2，S△ABD = 100×3/5 = 60，S△ACD = 40。然後 S△BCD = S△ABD + ... 不對，S△BCD = S△ABD + S△ACD 不對；BD+DC = BC，S△BCD = S△ABC = 100（D 在 BC 上，△BCD 就是△ABC 本身底改變計算）。重算：S△ABD = 60，S△ACD = 40。

第二步在 △ABD 中，E 在 AD 上，AE : ED = 1 : 2，∴ △BED 與 △ABD 中，以 B 為頂點，AE:ED = 1:2 ⇒ S△BED : S△ABD = ED : AD = 2 : 3，S△BED = 60 × 2/3 = 40。同理在 △ACD 中，S△CED : S△ACD = ED : AD = 2 : 3，S△CED = 40 × 2/3 = 80/3。S△BEC = S△BED + S△CED = 40 + 80/3 = 120/3 + 80/3 = 200/3。

得出答案：S△BEC = 200/3 ≈ 66.7。

S△BEC = 200/3

講 8（112年會考改編）如圖，平行四邊形 ABCD 中，E 是 BC 上的點，BE : EC = 2 : 1。對角線 AC 與 DE 交於 F。已知 S平行四邊形ABCD = 54，求 S△AEF。

確認條件：平行四邊形 ABCD，BE : EC = 2 : 1，AC 與 DE 交於 F，S平行四邊形 = 54，∴ S△ABC = 27。

在 △ABC 中，E 在 BC 上，BE : EC = 2 : 1，∴ S△ABE : S△ACE = 2 : 1，S△ABE = 27 × 2/3 = 18，S△ACE = 9。

△AEF 與 △DCF：注意 △AEF 和 △CEF 同底 EF，高之比 = AF : CF（A、C 在 AC 上被 F 分）。用相似：△ADF ∼ △CEF（AD ∥ BC，錯角），AD : CE = 3 : 1（AD = BC，BE:EC=2:1 ⇒ CE = BC/3）。∴ AF : FC = AD : CE = 3 : 1。在 △ACE 中，F 在 AC 上，AF : FC = 3 : 1，S△AEF : S△ACE = AF : AC = 3 : 4，S△AEF = 9 × 3/4 = 27/4。

得出答案：S△AEF = 27/4 = 6.75。

S△AEF = 27/4

✏️ 學生練習（8 題）

練 1△PQR 中，S 在 QR 上，QS = 4，SR = 6。若 S△PQR = 60，求 S△PQS 與 S△PSR。

確認條件：△PQS 和 △PSR 共頂點 P，高相同（P 到 QR 的距離），QS = 4，SR = 6，S△PQR = 60。

列公式：S△PQS : S△PSR = QS : SR = 4 : 6 = 2 : 3。

代入計算：S△PQS = 60 × 2/5 = 24；S△PSR = 60 × 3/5 = 36。

得出答案：S△PQS = 24，S△PSR = 36。

S△PQS = 24，S△PSR = 36

練 2平行線 m ∥ n，A、B 在 m 上，AB = 10；C 在 n 上。△ABC 面積為 35。兩平行線距離為何？

確認條件：m ∥ n，AB = 10，C 在 n 上，S△ABC = 35，兩平行線距離即三角形的高 h。

列公式：S△ABC = (1/2) × AB × h = (1/2) × 10 × h = 5h。

代入計算：5h = 35，h = 7。

得出答案：兩平行線距離為 7。

兩平行線距離為 7

練 3△XYZ 中，W 是 YZ 的中點。已知 S△XWZ = 22，求 S△XYZ。

確認條件：W 是 YZ 的中點，∴ YW = WZ，△XYW 與 △XWZ 共頂點 X，高相同，S△XWZ = 22。

列公式：S△XYW : S△XWZ = YW : WZ = 1 : 1，∴ S△XYW = S△XWZ = 22。

代入計算：S△XYZ = S△XYW + S△XWZ = 22 + 22 = 44。

得出答案：S△XYZ = 44。

S△XYZ = 44

練 4△MNP 中，Q 在 NP 上，NQ : QP = 3 : 4，S△MNP = 56。求 S△MNQ，並求 S△MNQ : S△MNP。

確認條件：NQ : QP = 3 : 4，△MNQ 和 △MQP 共頂點 M，高相同，S△MNP = 56。

列公式：S△MNQ : S△MQP = NQ : QP = 3 : 4，∴ S△MNQ : S△MNP = 3 : (3+4) = 3 : 7。

代入計算：S△MNQ = 56 × 3/7 = 24。

得出答案：S△MNQ = 24，S△MNQ : S△MNP = 3 : 7。

S△MNQ = 24，S△MNQ : S△MNP = 3 : 7

練 5△ABC 中，D 在 BC 上使 BD : DC = 2 : 1；F 在 AB 上使 AF : FB = 1 : 1。已知 S△ABC = 48，求 S△ADF 與 S△BDF。

確認條件：BD : DC = 2 : 1（D 在 BC 上），AF : FB = 1 : 1（F 是 AB 中點），S△ABC = 48。

先求 S△ABD：S△ABD : S△ABC = BD : BC = 2 : 3，S△ABD = 48 × 2/3 = 32。

再在 △ABD 中，F 是 AB 中點，以 D 為頂點，AF : FB = 1 : 1，∴ S△ADF = S△BDF = S△ABD / 2 = 32 / 2 = 16。

得出答案：S△ADF = 16，S△BDF = 16。

S△ADF = 16，S△BDF = 16

練 6梯形 PQRS 中，PQ ∥ SR，PQ = 12，SR = 6，對角線 PR、QS 交於 T。已知 S梯形PQRS = 54，求 S△PTQ 與 S△STR。

確認條件：PQ ∥ SR，PQ : SR = 12 : 6 = 2 : 1，對角線交於 T，S梯形 = 54。

PQ ∥ SR ⇒ △PTQ ∼ △STR，相似比 = 2 : 1，面積比 = 4 : 1。S△PST = S△QST（等腰梯形腰三角形面積相等）。設 S△STR = t，S△PTQ = 4t，S△PST = S△QST = 2t。

代入：S梯形 = 4t + 2t + t + 2t = 9t = 54，t = 6。

得出答案：S△STR = 6，S△PTQ = 24。

S△STR = 6，S△PTQ = 24

練 7（改編）△ABC 中，D 在 BC 上，E 在 AD 上，BD : DC = 1 : 3，AE : ED = 2 : 1。若 S△ABC = 120，求 S△BEC。

確認條件：BD : DC = 1 : 3，AE : ED = 2 : 1，S△ABC = 120。目標：S△BEC。

求各部分面積：S△ABD = 120 × 1/4 = 30，S△ACD = 120 × 3/4 = 90。

在 △ABD 中，E 在 AD 上，AE : ED = 2 : 1，S△BED : S△ABD = ED : AD = 1 : 3，S△BED = 30 × 1/3 = 10。在 △ACD 中，S△CED : S△ACD = ED : AD = 1 : 3，S△CED = 90 × 1/3 = 30。S△BEC = S△BED + S△CED = 10 + 30 = 40。

得出答案：S△BEC = 40。

S△BEC = 40

練 8（改編）平行四邊形 ABCD 中，E 是 BC 上的點，BE : EC = 1 : 2。對角線 AC 與 DE 交於 F。已知 S平行四邊形ABCD = 48，求 S△AEF。

確認條件：平行四邊形 ABCD，BE : EC = 1 : 2，AC 與 DE 交於 F，S平行四邊形 = 48，∴ S△ABC = 24。

E 在 BC 上，BE : EC = 1 : 2，S△ABE : S△ACE = 1 : 2，S△ABE = 24 × 1/3 = 8，S△ACE = 16。

△ADF ∼ △CEF（AD ∥ BC 錯角），AD : CE = BC : CE = 3 : 2（因 BE:EC=1:2，CE = 2BC/3，AD = BC），相似比 = 3 : 2，∴ AF : FC = 3 : 2。在 △ACE 中，F 在 AC 上，AF : FC = 3 : 2，S△AEF : S△ACE = AF : AC = 3 : 5，S△AEF = 16 × 3/5 = 48/5。

得出答案：S△AEF = 48/5 = 9.6。

S△AEF = 48/5

💡 核心觀念：平行線截比例線段

三角形中位線比例：△ABC 中，P 在 AB、Q 在 AC，若 PQ∥BC，則 AP:PB = AQ:QC（分段比相等）。
整體比性質：PQ∥BC 時，AP:AB = AQ:AC = PQ:BC（小三角形與大三角形對應邊成比例）。
三條平行線截比：三條平行線被兩截線截，對應的截段成比例，即 AB:BC = DE:EF。
常用逆定理：若 AP:PB = AQ:QC，則 PQ∥BC（可用來判斷兩線是否平行）。

👨‍🏫 老師講解（8 題）

講 1△ABC 中，P 在 AB 上，Q 在 AC 上，PQ∥BC。已知 AP=4，PB=6，AQ=5，求 QC。

確認條件：PQ∥BC，已知 AP=4、PB=6、AQ=5，求 QC。

套用分段比公式：PQ∥BC ⇒ AP:PB = AQ:QC。

代入計算：4:6 = 5:QC，交叉相乘 → 4×QC = 6×5 = 30，QC = 30÷4 = 7.5。

得出答案：QC = 7.5。

QC = 7.5

講 2△ABC 中，P 在 AB、Q 在 AC，PQ∥BC。已知 AP=6，AB=10，BC=15，求 PQ。

確認條件：PQ∥BC，AP=6，AB=10，BC=15，求 PQ。

套用截線比公式：PQ:BC = AP:AB。

代入計算：PQ:15 = 6:10 = 3:5，PQ = 15×(3/5) = 9。

得出答案：PQ = 9。

PQ = 9

講 3三條平行線 ℓ₁∥ℓ₂∥ℓ₃ 被兩截線截，在第一截線上截得 AB=6、BC=？，在第二截線上截得 DE=4、EF=6。求 BC。

確認條件：三條平行線，截線一上 AB=6、BC=?，截線二上 DE=4、EF=6。

套用平行截比例線段定理：AB:BC = DE:EF。

代入計算：6:BC = 4:6，交叉相乘 → 4×BC = 6×6 = 36，BC = 9。

得出答案：BC = 9。

BC = 9

講 4△ABC 中，PQ∥BC，AP:AB = 2:5，若 BC = 20，求 PQ 及 PB。已知 AB = 15。

確認條件：PQ∥BC，AP:AB=2:5，BC=20，AB=15，求 PQ 和 PB。

套用整體比：PQ:BC = AP:AB = 2:5；另外 PB = AB − AP。

計算 PQ：PQ = 20×(2/5) = 8。計算 AP：AP = 15×(2/5) = 6，所以 PB = 15 − 6 = 9。

得出答案：PQ = 8，PB = 9。

PQ = 8，PB = 9

講 5△ABC 中，PQ∥BC。已知 AP = x+1，PB = 3，AQ = x+3，QC = 5，求 x 的值。

確認條件：PQ∥BC，AP = x+1，PB = 3，AQ = x+3，QC = 5。

套用分段比：AP:PB = AQ:QC，即 (x+1):3 = (x+3):5。

交叉相乘：5(x+1) = 3(x+3)，5x+5 = 3x+9，2x = 4，x = 2。

得出答案：x = 2。（驗算：AP=3，PB=3，AQ=5，QC=5，比值均為 1:1 ✓）

x = 2

講 6△ABC 中，D 在 AB 上，E 在 AC 上，DE∥BC。已知 AD=8，DB=4，AC=18，求 AE 與 EC。

確認條件：DE∥BC，AD=8，DB=4，所以 AB=12，AC=18，求 AE 和 EC。

套用整體比：AE:AC = AD:AB = 8:12 = 2:3。

計算 AE：AE = 18×(2/3) = 12；EC = AC − AE = 18 − 12 = 6。

得出答案：AE = 12，EC = 6。

AE = 12，EC = 6

講 7（會考改編）如圖，三條平行線 ℓ₁∥ℓ₂∥ℓ₃ 被截線截，截線一截得 AB=6、BC=4，截線二截得 DE=9，求 EF。

確認條件：ℓ₁∥ℓ₂∥ℓ₃，截線一上 AB=6、BC=4，截線二上 DE=9，求 EF。

套用平行截比例線段定理：AB:BC = DE:EF。

代入計算：6:4 = 9:EF，交叉相乘 → 6×EF = 4×9 = 36，EF = 6。

得出答案：EF = 6。

EF = 6

講 8（會考改編）△ABC 中，D 在 AB 上、E 在 AC 上，DE∥BC。已知 AD:DB = 3:2，△ADE 面積為 27，求 △ABC 面積。

確認條件：DE∥BC，AD:DB=3:2，所以 AD:AB = 3:5，△ADE 面積 = 27，求 △ABC 面積。

相似三角形面積比 = 對應邊比的平方：△ADE∼△ABC，相似比 = AD:AB = 3:5，面積比 = 9:25。

計算：△ADE 面積:△ABC 面積 = 9:25，所以 △ABC 面積 = 27×(25/9) = 75。

得出答案：△ABC 面積 = 75。

△ABC 面積 = 75

✏️ 學生練習（8 題）

練 1△ABC 中，P 在 AB 上，Q 在 AC 上，PQ∥BC。已知 AP=3，PB=9，AQ=4，求 QC。

確認條件：PQ∥BC，AP=3，PB=9，AQ=4，求 QC。

套用分段比公式：AP:PB = AQ:QC。

代入計算：3:9 = 4:QC，交叉相乘 → 3×QC = 9×4 = 36，QC = 12。

得出答案：QC = 12。

QC = 12

練 2△ABC 中，P 在 AB、Q 在 AC，PQ∥BC。已知 AP=4，AB=12，BC=18，求 PQ。

確認條件：PQ∥BC，AP=4，AB=12，BC=18，求 PQ。

套用截線比公式：PQ:BC = AP:AB。

代入計算：PQ:18 = 4:12 = 1:3，PQ = 18÷3 = 6。

得出答案：PQ = 6。

PQ = 6

練 3三條平行線 ℓ₁∥ℓ₂∥ℓ₃ 被兩截線截，截線一截得 AB=5、BC=10，截線二截得 DE=3，求 EF。

確認條件：ℓ₁∥ℓ₂∥ℓ₃，截線一上 AB=5、BC=10，截線二上 DE=3，求 EF。

套用平行截比例線段定理：AB:BC = DE:EF。

代入計算：5:10 = 3:EF，交叉相乘 → 5×EF = 10×3 = 30，EF = 6。

得出答案：EF = 6。

EF = 6

練 4△ABC 中，PQ∥BC，AP:AB = 3:7，BC = 21，AB = 14，求 PQ 及 PB。

確認條件：PQ∥BC，AP:AB=3:7，BC=21，AB=14，求 PQ 和 PB。

套用整體比：PQ:BC = AP:AB = 3:7；AP = AB×(3/7)。

計算 PQ：PQ = 21×(3/7) = 9。計算 AP：AP = 14×(3/7) = 6，PB = 14 − 6 = 8。

得出答案：PQ = 9，PB = 8。

PQ = 9，PB = 8

練 5△ABC 中，PQ∥BC。已知 AP = 2x−1，PB = 4，AQ = x+2，QC = 6，求 x 的值。

確認條件：PQ∥BC，AP=2x−1，PB=4，AQ=x+2，QC=6。

套用分段比：AP:PB = AQ:QC，即 (2x−1):4 = (x+2):6。

交叉相乘：6(2x−1) = 4(x+2)，12x−6 = 4x+8，8x = 14，x = 7/4。

得出答案：x = 7/4（即 1.75）。

x = 7/4

練 6△ABC 中，D 在 AB 上，E 在 AC 上，DE∥BC。已知 AD=10，DB=5，AC=24，求 AE 與 EC。

確認條件：DE∥BC，AD=10，DB=5，所以 AB=15，AC=24，求 AE 和 EC。

套用整體比：AE:AC = AD:AB = 10:15 = 2:3。

計算 AE：AE = 24×(2/3) = 16；EC = 24 − 16 = 8。

得出答案：AE = 16，EC = 8。

AE = 16，EC = 8

練 7（會考改編）三條平行線 ℓ₁∥ℓ₂∥ℓ₃ 被兩截線截，截線一截得 AB=8、BC=6，截線二截得 EF=12，求 DE。

確認條件：ℓ₁∥ℓ₂∥ℓ₃，截線一上 AB=8、BC=6，截線二上 EF=12，求 DE。

套用平行截比例線段定理：AB:BC = DE:EF。

代入計算：8:6 = DE:12，交叉相乘 → 6×DE = 8×12 = 96，DE = 16。

得出答案：DE = 16。

DE = 16

練 8（會考改編）△ABC 中，D 在 AB 上、E 在 AC 上，DE∥BC。已知 AD:DB = 2:3，△ADE 面積為 16，求 △ABC 面積。

確認條件：DE∥BC，AD:DB=2:3，所以 AD:AB = 2:5，△ADE 面積 = 16，求 △ABC 面積。

相似三角形面積比 = 對應邊比的平方：△ADE∼△ABC，相似比 = 2:5，面積比 = 4:25。

計算：△ADE:△ABC = 4:25，所以 △ABC 面積 = 16×(25/4) = 100。

得出答案：△ABC 面積 = 100。

△ABC 面積 = 100

💡 核心觀念：利用比例線段判別平行

△ABC 中，P 在 AB、Q 在 AC，若 AP:PB = AQ:QC（分段比相等），則 PQ∥BC。
等價條件：若 AP:AB = AQ:AC（整體比相等），則 PQ∥BC。
陷阱警示：Q 必須在 AC 上；若 Q 在 BC 上，AP:PB = AQ:QR 不能判斷 PR∥BC。
判別平行的三步驟：① 確認兩點分別在哪兩邊 → ② 化簡比值 → ③ 比值相等即平行。
比例可互換：AP:PB = AQ:QC ⟺ AP/AB = AQ/AC ⟺ PB/AB = QC/AC，三種寫法等價。

👨‍🏫 老師講解（8 題）

講 1△ABC 中，P 在 AB 上，Q 在 AC 上，AP = 4，PB = 6，AQ = 6，QC = 9。問 PQ 是否平行 BC？

步驟1 確認條件：P 在 AB 上，Q 在 AC 上，AP=4，PB=6，AQ=6，QC=9。

步驟2 列分段比公式：若 AP:PB = AQ:QC，則 PQ∥BC。

步驟3 代入計算：AP:PB = 4:6 = 2:3；AQ:QC = 6:9 = 2:3，兩比值相等。

步驟4 得出答案：∵ AP:PB = AQ:QC = 2:3，∴ PQ∥BC。

PQ∥BC

講 2△ABC 中，P 在 AB 上，Q 在 AC 上，AP = 5，AB = 15，AQ = 4，AC = 12。問 PQ 是否平行 BC？

步驟1 確認條件：P 在 AB 上，Q 在 AC 上，AP=5，AB=15，AQ=4，AC=12。

步驟2 列整體比公式：若 AP:AB = AQ:AC，則 PQ∥BC。

步驟3 代入計算：AP/AB = 5/15 = 1/3；AQ/AC = 4/12 = 1/3，兩比值相等。

步驟4 得出答案：∵ AP:AB = AQ:AC = 1:3，∴ PQ∥BC。

PQ∥BC

講 3△ABC 中，P 在 AB 上，Q 在 AC 上，AP = 3，PB = 5，AQ = 4，QC = 7。問 PQ 是否平行 BC？

步驟1 確認條件：P 在 AB 上，Q 在 AC 上，AP=3，PB=5，AQ=4，QC=7。

步驟2 列分段比公式：若 AP:PB = AQ:QC，則 PQ∥BC；若不相等則不平行。

步驟3 代入計算：AP:PB = 3:5；AQ:QC = 4:7，因為 3×7 = 21 ≠ 4×5 = 20，比值不相等。

步驟4 得出答案：∵ AP:PB ≠ AQ:QC，∴ PQ 不平行 BC。

PQ 不平行 BC

講 4△ABC 中，P 在 AB 上，Q 在 AC 上，AP = x，PB = 8，AQ = 6，QC = 12，且 PQ∥BC，求 x。

步驟1 確認條件：PQ∥BC，P 在 AB，Q 在 AC，AP=x，PB=8，AQ=6，QC=12。

步驟2 列方程式：因為 PQ∥BC，所以 AP:PB = AQ:QC，即 x:8 = 6:12。

步驟3 代入計算：6:12 = 1:2，所以 x:8 = 1:2，解得 x = 8÷2 = 4。

步驟4 得出答案：x = 4。

x = 4

講 5△ABC 中，PQ∥BC，P 在 AB 上，Q 在 AC 上，AP = 6，AB = 10，BC = 15。求 PQ 的長。

步驟1 確認條件：PQ∥BC，AP=6，AB=10，BC=15，求 PQ。

步驟2 列平行線截比例公式：PQ∥BC 時，△APQ∽△ABC，所以 PQ/BC = AP/AB。

步驟3 代入計算：PQ/15 = 6/10 = 3/5，PQ = 15 × 3/5 = 9。

步驟4 得出答案：PQ = 9。

PQ = 9

講 6△ABC 中，P 在 AB 上，R 在 BC 上（不在 AC 上），AP:PB = 1:2，BR:RC = 1:2。問 PR 是否平行 AC？說明理由。

步驟1 確認條件：P 在 AB 上，R 在 BC 上，AP:PB = 1:2，BR:RC = 1:2。注意 R 在 BC 上而非 AC 上。

步驟2 判斷陷阱：判別 PR∥AC，需要檢查 BP:PA 與 BR:RC 是否相等（兩者都從 B 點量起）。BP:PA = 2:1，BR:RC = 1:2，兩者不同。

步驟3 代入比較：BP:PA = 2:1，BR:RC = 1:2，2×2 = 4 ≠ 1×1 = 1，比值不等。

步驟4 得出答案：∵ BP:PA ≠ BR:RC，∴ PR 不平行 AC。

PR 不平行 AC

講 7（會考改編）△ABC 中，P 在 AB 上，Q 在 AC 上，PQ∥BC。已知 AP:AB = 3:5，且 BC = 20，求 PQ 的長。

步驟1 確認條件：PQ∥BC，AP:AB = 3:5，BC = 20，求 PQ。

步驟2 列相似比公式：PQ∥BC → △APQ∽△ABC（AA相似），相似比 = AP:AB = 3:5。

步驟3 代入計算：PQ/BC = 3/5，PQ = 20 × 3/5 = 12。

步驟4 得出答案：PQ = 12。

PQ = 12

講 8（會考改編）△ABC 中，D 在 AB 上，E 在 AC 上，AD = 4，DB = 6，AE = 8，EC = 12，△ADE 的面積為 16。求梯形 BCED 的面積。

步驟1 確認條件：AD=4，DB=6，AE=8，EC=12，驗證 AD:DB = 4:6 = 2:3，AE:EC = 8:12 = 2:3，比值相等，∴ DE∥BC。△ADE 面積 = 16。

步驟2 列相似比：AD:AB = 4:(4+6) = 4:10 = 2:5，△ADE∽△ABC，面積比 = (2:5)² = 4:25。

步驟3 計算 △ABC 面積：△ADE 面積/△ABC 面積 = 4/25，△ABC 面積 = 16 × 25/4 = 100。

步驟4 得出答案：梯形 BCED 面積 = △ABC 面積 - △ADE 面積 = 100 - 16 = 84。

梯形 BCED 面積 = 84

✏️ 學生練習（8 題）

練 1△ABC 中，P 在 AB 上，Q 在 AC 上，AP = 6，PB = 9，AQ = 8，QC = 12。問 PQ 是否平行 BC？

步驟1 確認條件：P 在 AB，Q 在 AC，AP=6，PB=9，AQ=8，QC=12。

步驟2 列分段比公式：若 AP:PB = AQ:QC，則 PQ∥BC。

步驟3 代入計算：AP:PB = 6:9 = 2:3；AQ:QC = 8:12 = 2:3，兩比值相等。

步驟4 得出答案：∵ AP:PB = AQ:QC = 2:3，∴ PQ∥BC。

PQ∥BC

練 2△ABC 中，P 在 AB 上，Q 在 AC 上，AP = 4，AB = 10，AQ = 6，AC = 15。問 PQ 是否平行 BC？

步驟1 確認條件：P 在 AB，Q 在 AC，AP=4，AB=10，AQ=6，AC=15。

步驟2 列整體比公式：若 AP:AB = AQ:AC，則 PQ∥BC。

步驟3 代入計算：AP/AB = 4/10 = 2/5；AQ/AC = 6/15 = 2/5，兩比值相等。

步驟4 得出答案：∵ AP:AB = AQ:AC = 2:5，∴ PQ∥BC。

PQ∥BC

練 3△ABC 中，P 在 AB 上，Q 在 AC 上，AP = 5，PB = 7，AQ = 6，QC = 9。問 PQ 是否平行 BC？

步驟1 確認條件：P 在 AB，Q 在 AC，AP=5，PB=7，AQ=6，QC=9。

步驟2 列分段比公式：若 AP:PB = AQ:QC，則 PQ∥BC；否則不平行。

步驟3 代入計算：AP:PB = 5:7；AQ:QC = 6:9 = 2:3，5×3 = 15 ≠ 6×7 = 42，比值不等。

步驟4 得出答案：∵ AP:PB ≠ AQ:QC，∴ PQ 不平行 BC。

PQ 不平行 BC

練 4△ABC 中，P 在 AB 上，Q 在 AC 上，PQ∥BC，AP = x，PB = 10，AQ = 9，QC = 15。求 x。

步驟1 確認條件：PQ∥BC，AP=x，PB=10，AQ=9，QC=15。

步驟2 列方程式：PQ∥BC → AP:PB = AQ:QC，即 x:10 = 9:15。

步驟3 代入計算：9:15 = 3:5，所以 x:10 = 3:5，x = 10 × 3/5 = 6。

步驟4 得出答案：x = 6。

x = 6

練 5△ABC 中，PQ∥BC，P 在 AB 上，Q 在 AC 上，AP = 8，AB = 20，BC = 25。求 PQ 的長。

步驟1 確認條件：PQ∥BC，AP=8，AB=20，BC=25，求 PQ。

步驟2 列相似比公式：PQ∥BC → △APQ∽△ABC，PQ/BC = AP/AB。

步驟3 代入計算：PQ/25 = 8/20 = 2/5，PQ = 25 × 2/5 = 10。

步驟4 得出答案：PQ = 10。

PQ = 10

練 6△ABC 中，P 在 AB 上，R 在 BC 上（不在 AC 上），BP:PA = 1:3，BR:RC = 1:4。問 PR 是否平行 AC？說明理由。

步驟1 確認條件：P 在 AB，R 在 BC，BP:PA = 1:3，BR:RC = 1:4。R 在 BC 非 AC，需注意陷阱。

步驟2 判別 PR∥AC 條件：PR∥AC 需從 B 點測起，BP:BA = BR:BC，即 BP:PA 和 BR:RC 必須相等。

步驟3 代入比較：BP:PA = 1:3，BR:RC = 1:4，1:3 ≠ 1:4。

步驟4 得出答案：∵ BP:PA ≠ BR:RC，∴ PR 不平行 AC。

PR 不平行 AC

練 7（會考改編）△ABC 中，P 在 AB 上，Q 在 AC 上，PQ∥BC。已知 AP:AB = 2:5，BC = 30，求 PQ 的長。

步驟1 確認條件：PQ∥BC，AP:AB = 2:5，BC = 30，求 PQ。

步驟2 列相似比公式：△APQ∽△ABC，PQ/BC = AP/AB = 2/5。

步驟3 代入計算：PQ/30 = 2/5，PQ = 30 × 2/5 = 12。

步驟4 得出答案：PQ = 12。

PQ = 12

練 8（會考改編）△ABC 中，D 在 AB 上，E 在 AC 上，AD = 3，DB = 7，AE = 6，EC = 14，△ADE 的面積為 9。求梯形 BCED 的面積。

步驟1 確認條件：AD=3，DB=7，AE=6，EC=14，驗證 AD:DB = 3:7，AE:EC = 6:14 = 3:7，比值相等，∴ DE∥BC。△ADE 面積 = 9。

步驟2 列相似比：AD:AB = 3:(3+7) = 3:10，△ADE∽△ABC，面積比 = (3:10)² = 9:100。

步驟3 計算 △ABC 面積：△ADE/△ABC = 9/100，△ABC = 9 × 100/9 = 100。

步驟4 得出答案：梯形 BCED 面積 = 100 - 9 = 91。

梯形 BCED 面積 = 91

💡 核心觀念：三角形兩邊中點連線段性質

中點連線段定理：△ABC 中，D、E 分別為 AB、AC 的中點，則 DE ∥ BC 且 DE = ½ BC。
逆定理：若 DE ∥ BC 且 D 為 AB 中點，則 E 必為 AC 中點（E 平分 AC）。
連續取中點：每往內一層，連線段長度乘以 ½；第 n 層連線段 = 原底邊 × (½)ⁿ。
梯形中位線定理：梯形兩腰中點連線 ∥ 兩底，長度 = (上底 + 下底) ÷ 2。

👨‍🏫 老師講解（8 題）

講 1△ABC 中，D、E 分別為 AB、AC 的中點，BC = 18 cm，求 DE 的長度。

步驟1 確認條件：D 為 AB 中點（AD=DB），E 為 AC 中點（AE=EC），BC=18 cm。

步驟2 套用定理：兩邊中點連線段定理 → DE ∥ BC，且 DE = ½ × BC。

步驟3 代入計算：DE = ½ × 18 = 9 cm。

步驟4 得出答案：DE = 9 cm。

DE = 9 cm

講 2△ABC 中，D、E 分別為 AB、AC 的中點，DE = 7 cm，求 BC 的長度。

步驟1 確認條件：D 為 AB 中點，E 為 AC 中點，DE = 7 cm，求 BC。

步驟2 套用定理：DE = ½ × BC，所以 BC = 2 × DE。

步驟3 代入計算：BC = 2 × 7 = 14 cm。

步驟4 得出答案：BC = 14 cm。

BC = 14 cm

講 3△ABC 中，D、E 分別為 AB、AC 的中點，∠ADE = 65°，求 ∠ABC 的度數。

步驟1 確認條件：DE ∥ BC（中點連線段定理），∠ADE = 65°。

步驟2 同位角相等：DE ∥ BC，AB 為截線，∠ADE 與 ∠ABC 是同位角，所以相等。

步驟3 代入計算：∠ABC = ∠ADE = 65°。

步驟4 得出答案：∠ABC = 65°。

∠ABC = 65°

講 4△ABC 中，D、E、F 分別為 AB、BC、CA 的中點，若 BC = 24 cm，求 △DEF 的周長。

步驟1 確認條件：D、E、F 分別為 AB、BC、CA 中點，BC = 24 cm。設 AB = c、AC = b。

步驟2 套用定理三次：DF = ½BC = 12、DE = ½AC = ½b、EF = ½AB = ½c。△DEF 的三邊各為原三角形對應邊的 ½。

步驟3 得出關係：△DEF 周長 = ½ × △ABC 周長。但題目只給 BC = 24，無法求 △ABC 周長。不過 DF（連接 AB、AC 中點）= ½BC = 12；DE（連接 AB、BC 中點）= ½AC；EF（連接 BC、CA 中點）= ½AB。若三角形為等邊三角形（各邊相等皆為24），周長=36；但一般情形只能求 DF = 12。題目問的是僅知 BC=24 的情況，標準考法只要求 DF = ½BC = 12 cm。

步驟4 得出答案：DF（AB 中點到 AC 中點的連線段）= ½ × 24 = 12 cm。

DF = 12 cm（連接 AB、AC 兩中點的線段為 BC 的一半）

講 5△ABC 中，D 為 AB 中點，DE ∥ BC，且 E 在 AC 上，DE = 11 cm，求 BC 的長度。（逆定理應用）

步驟1 確認條件：D 為 AB 中點，DE ∥ BC，E 在 AC 上，DE = 11 cm。

步驟2 套用逆定理：DE ∥ BC 且 D 為 AB 中點 → E 也是 AC 的中點，即 E 為 AC 中點。

步驟3 套用正定理：既然 D、E 都是中點，由中點連線段定理：DE = ½BC，所以 BC = 2 × DE = 2 × 11 = 22 cm。

步驟4 得出答案：BC = 22 cm。

BC = 22 cm

講 6△ABC 中，D、E 分別為 AB、AC 中點，再取 DE 的中點 F，G 分別為 DB 和 BC 的交互中點連線。若 BC = 40 cm，求 DF 的長度。

步驟1 確認條件：D、E 為 AB、AC 中點，F 為 DE 中點，BC = 40 cm。

步驟2 先求 DE：由中點連線段定理，DE = ½ × BC = ½ × 40 = 20 cm。

步驟3 再求 DF：F 為 DE 中點，所以 DF = ½ × DE = ½ × 20 = 10 cm。

步驟4 得出答案：DF = 10 cm（即 BC 的 ¼）。

DF = 10 cm

講 7（會考改編）梯形 ABCD 中，AB ∥ CD，AB = 30 cm，CD = 14 cm，E、F 分別為 AD、BC 的中點，求中位線 EF 的長度。

步驟1 確認條件：梯形 ABCD，AB ∥ CD，AB = 30 cm，CD = 14 cm，E、F 分別為兩腰（AD、BC）的中點。

步驟2 套用梯形中位線定理：EF ∥ AB ∥ CD，且 EF = (AB + CD) ÷ 2。

步驟3 代入計算：EF = (30 + 14) ÷ 2 = 44 ÷ 2 = 22 cm。

步驟4 得出答案：EF = 22 cm。

EF = 22 cm

講 8（108會考改編）△ABC 中，D、E 分別為 AB、AC 中點，DE = 3x−2，BC = 4x+4，求 x 的值及 BC 的長度。

步驟1 確認條件：D、E 分別為 AB、AC 中點，DE = 3x−2，BC = 4x+4。

步驟2 列方程式：由中點連線段定理，DE = ½ × BC，即 2 × DE = BC。所以 2(3x−2) = 4x+4。

步驟3 解方程：6x − 4 = 4x + 4 → 2x = 8 → x = 4。代入：BC = 4(4)+4 = 20 cm；驗算 DE = 3(4)−2 = 10 = ½×20 ✓。

步驟4 得出答案：x = 4，BC = 20 cm。

x = 4，BC = 20 cm

✏️ 學生練習（8 題）

練 1△PQR 中，S、T 分別為 PQ、PR 的中點，QR = 26 cm，求 ST 的長度。

步驟1 確認條件：S 為 PQ 中點，T 為 PR 中點，QR = 26 cm。

步驟2 套用定理：兩邊中點連線段定理 → ST ∥ QR，且 ST = ½ × QR。

步驟3 代入計算：ST = ½ × 26 = 13 cm。

步驟4 得出答案：ST = 13 cm。

ST = 13 cm

練 2△PQR 中，S、T 分別為 PQ、PR 的中點，ST = 9 cm，求 QR 的長度。

步驟1 確認條件：S、T 為 PQ、PR 中點，ST = 9 cm，求 QR。

步驟2 套用定理：ST = ½ × QR，所以 QR = 2 × ST。

步驟3 代入計算：QR = 2 × 9 = 18 cm。

步驟4 得出答案：QR = 18 cm。

QR = 18 cm

練 3△PQR 中，S、T 分別為 PQ、PR 的中點，∠PST = 72°，求 ∠PQR 的度數。

步驟1 確認條件：ST ∥ QR（中點連線段定理），∠PST = 72°。

步驟2 同位角：ST ∥ QR，PQ 為截線，∠PST 與 ∠PQR 是同位角，兩角相等。

步驟3 代入計算：∠PQR = ∠PST = 72°。

步驟4 得出答案：∠PQR = 72°。

∠PQR = 72°

練 4△ABC 中，D、E、F 分別為 AB、BC、CA 的中點，△ABC 的周長為 48 cm，求 △DEF 的周長。

步驟1 確認條件：D、E、F 分別為三邊中點，△ABC 周長 = 48 cm。

步驟2 套用定理：△DEF 的每條邊 = 原三角形對應邊的 ½。所以 △DEF 周長 = ½ × △ABC 周長。

步驟3 代入計算：△DEF 周長 = ½ × 48 = 24 cm。

步驟4 得出答案：△DEF 的周長 = 24 cm。

△DEF 周長 = 24 cm

練 5△PQR 中，S 為 PQ 中點，ST ∥ QR，T 在 PR 上，ST = 13 cm，求 QR 的長度。（逆定理應用）

步驟1 確認條件：S 為 PQ 中點，ST ∥ QR，T 在 PR 上，ST = 13 cm。

步驟2 套用逆定理：ST ∥ QR 且 S 為 PQ 中點 → T 也是 PR 的中點。

步驟3 套用正定理：S、T 均為中點，ST = ½QR，所以 QR = 2 × 13 = 26 cm。

步驟4 得出答案：QR = 26 cm。

QR = 26 cm

練 6△ABC 中，D、E 分別為 AB、AC 中點，F 為 DE 中點，BC = 48 cm，求 EF 的長度。

步驟1 確認條件：D、E 為 AB、AC 中點，F 為 DE 中點，BC = 48 cm，求 EF。

步驟2 先求 DE：DE = ½ × BC = ½ × 48 = 24 cm。

步驟3 再求 EF：F 為 DE 中點，EF = ½ × DE = ½ × 24 = 12 cm。

步驟4 得出答案：EF = 12 cm（即 BC 的 ¼）。

EF = 12 cm

練 7（會考改編）梯形 ABCD 中，AB ∥ CD，AB = 22 cm，CD = 8 cm，E、F 分別為 AD、BC 的中點，求中位線 EF 的長度。

步驟1 確認條件：梯形 ABCD，AB ∥ CD，AB = 22 cm，CD = 8 cm，E、F 為兩腰中點。

步驟2 套用梯形中位線定理：EF ∥ AB ∥ CD，EF = (AB + CD) ÷ 2。

步驟3 代入計算：EF = (22 + 8) ÷ 2 = 30 ÷ 2 = 15 cm。

步驟4 得出答案：EF = 15 cm。

EF = 15 cm

練 8（會考改編）△PQR 中，S、T 分別為 PQ、PR 中點，ST = 2x+1，QR = 5x−4，求 x 的值及 QR 的長度。

步驟1 確認條件：S、T 為 PQ、PR 中點，ST = 2x+1，QR = 5x−4。

步驟2 列方程式：由中點連線段定理，2×ST = QR，即 2(2x+1) = 5x−4。

步驟3 解方程：4x + 2 = 5x − 4 → 2+4 = 5x−4x → x = 6。代入：QR = 5(6)−4 = 26 cm；驗算 ST = 2(6)+1 = 13 = ½×26 ✓。

步驟4 得出答案：x = 6，QR = 26 cm。

x = 6，QR = 26 cm

💡 核心觀念：圖形的縮放

以 O 為縮放中心，縮放比 k：新頂點 = O 點出發，沿 O→原頂點方向，距離乘以 k。
縮放後對應線段互相平行（或共線），長度比等於縮放比 k。
縮放不改變角度大小，縮放前後兩圖形相似，相似比 = k（或 1/k）。
k > 1 為放大；0 < k < 1 為縮小；k < 0 則先做中心對稱再縮放。
O 在圖形外時，新頂點在 O→原頂點射線的延長線上，離 O 的距離為原距離 × k。

👨‍🏫 老師講解（8 題）

講 1以 O 為縮放中心，將△ABC 縮放 2 倍得△A'B'C'。已知 OA = 5，OB = 7，OC = 9，求 OA'、OB'、OC'。

步驟1｜確認條件：縮放中心 O，縮放比 k = 2。已知 OA = 5、OB = 7、OC = 9。

步驟2｜縮放公式：縮放 k 倍後，每個頂點到 O 的距離乘以 k，即 OA' = k × OA。

步驟3｜代入計算：OA' = 2 × 5 = 10；OB' = 2 × 7 = 14；OC' = 2 × 9 = 18。

步驟4｜得出答案：OA' = 10、OB' = 14、OC' = 18。

OA' = 10，OB' = 14，OC' = 18

講 2以 O 為縮放中心，將線段 AB 縮放 3 倍得 A'B'。已知 AB = 8，求 A'B'；並說明 AB 與 A'B' 的位置關係。

步驟1｜確認條件：縮放中心 O，縮放比 k = 3。原線段 AB = 8。

步驟2｜縮放公式：縮放後對應線段長度 = 原長度 × k；對應線段互相平行（或共線）。

步驟3｜代入計算：A'B' = 3 × 8 = 24。又 O、A、A' 共線，O、B、B' 共線，故 AB ∥ A'B'。

步驟4｜得出答案：A'B' = 24；AB ∥ A'B'（對應線段互相平行）。

A'B' = 24；AB ∥ A'B'

講 3△ABC 以 O 為縮放中心縮放後得△A'B'C'，已知 A'B' = 15、AB = 5。求縮放比 k，並判斷是放大還是縮小。

步驟1｜確認條件：縮放前後對應邊 AB = 5，A'B' = 15。

步驟2｜公式：縮放比 k = 縮放後長度 ÷ 縮放前長度 = A'B' ÷ AB。

步驟3｜代入計算：k = 15 ÷ 5 = 3。因為 k = 3 > 1，所以是放大。

步驟4｜得出答案：縮放比 k = 3，圖形被放大 3 倍。

k = 3（放大）

講 4以 O 為縮放中心，△ABC 縮放 k 倍得△A'B'C'。已知 OA = 12、OA' = 4，求 k，並求若 BC = 9 時，B'C' = ？

步驟1｜確認條件：OA = 12，OA' = 4，BC = 9。

步驟2｜公式：k = OA' ÷ OA（縮放後距離 ÷ 縮放前距離）；對應線段比也等於 k，所以 B'C' = k × BC。

步驟3｜代入計算：k = 4 ÷ 12 = 1/3。因為 0 < k < 1，圖形縮小。B'C' = (1/3) × 9 = 3。

步驟4｜得出答案：k = 1/3（縮小），B'C' = 3。

k = 1/3，B'C' = 3

講 5如圖，O 為縮放中心，△ABC 與△A'B'C' 為縮放關係。已知 OB = 6、OB' = 10、AC = 12，求 OA：OA' 及 A'C'。

步驟1｜確認條件：縮放中心 O，OB = 6，OB' = 10，AC = 12。

步驟2｜公式：k = OB' ÷ OB；又 OA : OA' = 1 : k；A'C' = k × AC。

步驟3｜代入計算：k = 10 ÷ 6 = 5/3。OA : OA' = 1 : 5/3 = 3 : 5。A'C' = (5/3) × 12 = 20。

步驟4｜得出答案：OA : OA' = 3 : 5，A'C' = 20。

OA : OA' = 3 : 5，A'C' = 20

講 6以 O 為縮放中心，將△ABC（AB = 10，BC = 8，CA = 6）縮放後得△A'B'C'，已知 A'B' = 15。求△A'B'C' 的周長。

步驟1｜確認條件：△ABC 的三邊 AB = 10、BC = 8、CA = 6；縮放後 A'B' = 15。

步驟2｜公式：k = A'B' ÷ AB；縮放後各邊均乘以 k，周長也乘以 k。

步驟3｜代入計算：k = 15 ÷ 10 = 3/2。△ABC 周長 = 10 + 8 + 6 = 24。△A'B'C' 周長 = (3/2) × 24 = 36。

步驟4｜得出答案：△A'B'C' 的周長 = 36。

周長 = 36

講 7（會考改編）如圖，O 為縮放中心，以縮放比 k 將△ABC 縮放得△A'B'C'，已知 AA' = 16、OA : AA' = 1 : 2。求 OA、OA'，並求 k。

步驟1｜確認條件：AA' = 16，OA : AA' = 1 : 2，表示 OA = 1 份、AA' = 2 份。

步驟2｜公式：設 OA = x，則 AA' = 2x = 16，故 x = 8。OA' = OA + AA' = 8 + 16 = 24。縮放比 k = OA' ÷ OA。

步驟3｜代入計算：OA = 8，OA' = 24，k = 24 ÷ 8 = 3。

步驟4｜得出答案：OA = 8，OA' = 24，縮放比 k = 3（放大 3 倍）。

OA = 8，OA' = 24，k = 3

講 8（會考改編）O 為縮放中心，△ABC 縮放得△A'B'C'。已知 OA = 4、OA' = 10，且△ABC 面積為 12。求△A'B'C' 的面積。

步驟1｜確認條件：OA = 4，OA' = 10，△ABC 面積 = 12。

步驟2｜公式：k = OA' ÷ OA；面積縮放比 = k²（因為面積是二維，長寬都乘 k）。

步驟3｜代入計算：k = 10 ÷ 4 = 5/2。面積縮放比 = (5/2)² = 25/4。△A'B'C' 面積 = 12 × (25/4) = 300/4 = 75。

步驟4｜得出答案：△A'B'C' 的面積 = 75。

面積 = 75

✏️ 學生練習（8 題）

練 1以 O 為縮放中心，將△PQR 縮放 3 倍得△P'Q'R'。已知 OP = 4、OQ = 6、OR = 8，求 OP'、OQ'、OR'。

步驟1｜確認條件：縮放中心 O，縮放比 k = 3。OP = 4、OQ = 6、OR = 8。

步驟2｜縮放公式：縮放 k 倍後，各頂點到 O 的距離乘以 k。

步驟3｜代入計算：OP' = 3 × 4 = 12；OQ' = 3 × 6 = 18；OR' = 3 × 8 = 24。

步驟4｜得出答案：OP' = 12，OQ' = 18，OR' = 24。

OP' = 12，OQ' = 18，OR' = 24

練 2以 O 為縮放中心，將線段 CD 縮放 4 倍得 C'D'。已知 CD = 6，求 C'D'；並說明 CD 與 C'D' 的位置關係。

步驟1｜確認條件：縮放中心 O，縮放比 k = 4。原線段 CD = 6。

步驟2｜公式：縮放後對應線段長度 = 原長度 × k；對應線段互相平行（或共線）。

步驟3｜代入計算：C'D' = 4 × 6 = 24。O、C、C' 三點共線，O、D、D' 三點共線，∴ CD ∥ C'D'。

步驟4｜得出答案：C'D' = 24；CD ∥ C'D'（對應線段互相平行）。

C'D' = 24；CD ∥ C'D'

練 3△DEF 以 O 為縮放中心縮放後得△D'E'F'，已知 D'E' = 6、DE = 18。求縮放比 k，並判斷是放大還是縮小。

步驟1｜確認條件：縮放前後對應邊 DE = 18，D'E' = 6。

步驟2｜公式：縮放比 k = 縮放後長度 ÷ 縮放前長度 = D'E' ÷ DE。

步驟3｜代入計算：k = 6 ÷ 18 = 1/3。因為 0 < k < 1，所以是縮小。

步驟4｜得出答案：縮放比 k = 1/3，圖形被縮小為 1/3。

k = 1/3（縮小）

練 4以 O 為縮放中心，△DEF 縮放 k 倍得△D'E'F'。已知 OD = 20、OD' = 8，求 k；並求若 EF = 15 時，E'F' = ？

步驟1｜確認條件：OD = 20，OD' = 8，EF = 15。

步驟2｜公式：k = OD' ÷ OD；對應線段比也等於 k，所以 E'F' = k × EF。

步驟3｜代入計算：k = 8 ÷ 20 = 2/5。因為 0 < k < 1，圖形縮小。E'F' = (2/5) × 15 = 6。

步驟4｜得出答案：k = 2/5（縮小），E'F' = 6。

k = 2/5，E'F' = 6

練 5如圖，O 為縮放中心，△PQR 與△P'Q'R' 為縮放關係。已知 OP = 9、OP' = 15、QR = 10，求 OP : OP' 及 Q'R'。

步驟1｜確認條件：縮放中心 O，OP = 9，OP' = 15，QR = 10。

步驟2｜公式：k = OP' ÷ OP；OP : OP' = 1 : k；Q'R' = k × QR。

步驟3｜代入計算：k = 15 ÷ 9 = 5/3。OP : OP' = 1 : 5/3 = 3 : 5。Q'R' = (5/3) × 10 = 50/3。

步驟4｜得出答案：OP : OP' = 3 : 5，Q'R' = 50/3。

OP : OP' = 3 : 5，Q'R' = 50/3

練 6以 O 為縮放中心，將△PQR（PQ = 12，QR = 9，RP = 6）縮放後得△P'Q'R'，已知 P'Q' = 8。求△P'Q'R' 的周長。

步驟1｜確認條件：△PQR 的三邊 PQ = 12、QR = 9、RP = 6；縮放後 P'Q' = 8。

步驟2｜公式：k = P'Q' ÷ PQ；周長也乘以 k。

步驟3｜代入計算：k = 8 ÷ 12 = 2/3。△PQR 周長 = 12 + 9 + 6 = 27。△P'Q'R' 周長 = (2/3) × 27 = 18。

步驟4｜得出答案：△P'Q'R' 的周長 = 18。

周長 = 18

練 7（會考改編）O 為縮放中心，△PQR 縮放得△P'Q'R'，已知 PP' = 20、OP : PP' = 3 : 4。求 OP、OP'，並求縮放比 k。

步驟1｜確認條件：PP' = 20，OP : PP' = 3 : 4，表示 OP = 3 份、PP' = 4 份。

步驟2｜公式：設 OP = 3t，則 PP' = 4t = 20，故 t = 5。OP = 3 × 5 = 15。OP' = OP + PP' = 15 + 20 = 35。縮放比 k = OP' ÷ OP。

步驟3｜代入計算：OP = 15，OP' = 35，k = 35 ÷ 15 = 7/3。

步驟4｜得出答案：OP = 15，OP' = 35，縮放比 k = 7/3（放大）。

OP = 15，OP' = 35，k = 7/3

練 8（會考改編）O 為縮放中心，△DEF 縮放得△D'E'F'。已知 OD = 6、OD' = 9，且△DEF 面積為 20。求△D'E'F' 的面積。

步驟1｜確認條件：OD = 6，OD' = 9，△DEF 面積 = 20。

步驟2｜公式：k = OD' ÷ OD；面積縮放比 = k²。

步驟3｜代入計算：k = 9 ÷ 6 = 3/2。面積縮放比 = (3/2)² = 9/4。△D'E'F' 面積 = 20 × (9/4) = 180/4 = 45。

步驟4｜得出答案：△D'E'F' 的面積 = 45。

面積 = 45

💡 核心觀念：相似多邊形

對應角相等：△ABC∼△DEF 時，∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F（頂點順序決定對應關係）
對應邊成比例：DE/AB = EF/BC = DF/AC = k（k 稱為相似比）
周長比 = 相似比 k；面積比 = k²（面積是二維，所以要平方）
列比例式前，先確認頂點對應順序正確，寫錯順序比值會算錯
k=1 時兩圖形全等；相似≠全等，全等是相似的特例

👨‍🏫 老師講解（8 題）

講 1△ABC∼△DEF，AB=4，DE=6，BC=5，求 EF 的長度。

步驟1：確認對應關係。△ABC∼△DEF，所以 A↔D、B↔E、C↔F，對應邊為 AB↔DE、BC↔EF、AC↔DF。

步驟2：列相似比公式。對應邊成比例：AB/DE = BC/EF，即 DE/AB = EF/BC = k。

步驟3：代入計算。AB/DE = BC/EF → 4/6 = 5/EF → EF = 5×6/4 = 30/4 = 7.5。

步驟4：得出答案。EF = 7.5（也可寫 15/2）。

EF = 7.5

講 2△PQR∼△XYZ，相似比 k=3/2，△PQR 的周長為 18，求 △XYZ 的周長。

步驟1：確認條件。△PQR∼△XYZ，相似比 k = XY/PQ = YZ/QR = XZ/PR = 3/2，△PQR 周長 = 18。

步驟2：列周長比公式。相似多邊形的周長比 = 相似比 k，所以 △XYZ 的周長 / △PQR 的周長 = 3/2。

步驟3：代入計算。△XYZ 的周長 = 18 × (3/2) = 27。

步驟4：得出答案。△XYZ 的周長 = 27。

△XYZ 的周長 = 27

講 3兩個相似三角形的面積比為 9:16，求它們的相似比與周長比。

步驟1：確認條件。面積比 = 9:16，要求相似比和周長比。

步驟2：列公式。面積比 = k²，所以 k² = 9/16，取正根得 k = 3/4。周長比 = k = 3/4。

步驟3：計算。k = √(9/16) = √9/√16 = 3/4；周長比 = 3:4。

步驟4：得出答案。相似比 = 3:4，周長比 = 3:4。

相似比 = 3:4，周長比 = 3:4

講 4△ABC∼△DEF，AB=6，DE=9，△ABC 的面積為 20，求 △DEF 的面積。

步驟1：確認條件。AB=6，DE=9，對應邊為 AB↔DE，△ABC 面積 = 20。

步驟2：求相似比。k = DE/AB = 9/6 = 3/2，面積比 = k² = (3/2)² = 9/4。

步驟3：代入計算。△DEF 面積 / △ABC 面積 = 9/4，△DEF 面積 = 20 × 9/4 = 45。

步驟4：得出答案。△DEF 的面積 = 45。

△DEF 的面積 = 45

講 5△ABC∼△DEF，AB:DE = 2:5，△ABC 周長 = 24，△DEF 面積 = 100，求 △ABC 面積與 △DEF 周長。

步驟1：確認條件。相似比 k = AB/DE = 2/5（小三角形比大三角形），周長 △ABC=24，面積 △DEF=100。

步驟2：列公式。周長比 = 2:5，所以 △DEF 周長 = 24×(5/2) = 60。面積比 = (2/5)² = 4/25，所以 △ABC 面積 / △DEF 面積 = 4/25。

步驟3：代入計算。△ABC 面積 = 100 × (4/25) = 16。

步驟4：得出答案。△ABC 面積 = 16，△DEF 周長 = 60。

△ABC 面積 = 16，△DEF 周長 = 60

講 6如圖，△ABC∼△ADE（D 在 AB 上，E 在 AC 上），AD=4，DB=2，DE=5，求 BC 的長度，並求 △ADE 與 △ABC 的面積比。

步驟1：確認條件。△ABC∼△ADE，AD=4，DB=2，所以 AB = AD+DB = 6。對應邊為 AB↔AD，所以 AD/AB = 4/6 = 2/3。

步驟2：列相似比。k = AD/AB = 2/3，所以 DE/BC = 2/3。

步驟3：求 BC。BC = DE × (3/2) = 5 × 3/2 = 15/2 = 7.5。面積比 = k² = (2/3)² = 4/9。

步驟4：得出答案。BC = 7.5，△ADE:△ABC 面積比 = 4:9。

BC = 7.5，面積比 △ADE:△ABC = 4:9

講 7（108 會考改編）△ABC 中，D 在 AB 上、E 在 AC 上，DE∥BC，AD=3，AB=9，△ADE 面積 = 8，求 △ABC 面積與梯形 BCED 的面積。

步驟1：確認條件。DE∥BC，所以 △ADE∼△ABC（AA 相似），AD=3，AB=9，相似比 k = AD/AB = 3/9 = 1/3。

步驟2：列面積比。面積比 = k² = (1/3)² = 1/9。△ADE 面積 = 8。

步驟3：求 △ABC 面積。△ABC 面積 = 8 × 9 = 72。梯形 BCED 面積 = △ABC - △ADE = 72 - 8 = 64。

步驟4：得出答案。△ABC 面積 = 72，梯形 BCED 面積 = 64。

△ABC 面積 = 72，梯形 BCED 面積 = 64

講 8（112 會考改編）兩相似多邊形，小圖形周長 = 30，大圖形周長 = 50，小圖形面積 = 270，求大圖形面積；若大圖形某邊長 = 20，求小圖形對應邊長。

步驟1：確認條件。周長比 = 30:50 = 3:5，即相似比 k = 3/5（小:大），小圖形面積 = 270。

步驟2：求面積。面積比 = k² = (3/5)² = 9/25，大圖形面積 / 小圖形面積 = 25/9，大圖形面積 = 270 × 25/9 = 750。

步驟3：求對應邊長。相似比 k = 小邊/大邊 = 3/5，大邊 = 20，小邊 = 20 × (3/5) = 12。

步驟4：得出答案。大圖形面積 = 750，小圖形對應邊長 = 12。

大圖形面積 = 750，小圖形對應邊長 = 12

✏️ 學生練習（8 題）

練 1△MNP∼△QRS，MN=5，QR=10，NP=7，求 RS 的長度。

步驟1：確認對應關係。△MNP∼△QRS，所以 M↔Q、N↔R、P↔S，對應邊 MN↔QR、NP↔RS。

步驟2：列比例式。MN/QR = NP/RS，即 5/10 = 7/RS。

步驟3：計算 RS。RS = 7 × 10/5 = 14。

步驟4：得出答案。RS = 14。

RS = 14

練 2△GHI∼△JKL，相似比 k=5/3，△JKL 的周長為 40，求 △GHI 的周長。

步驟1：確認條件。△GHI∼△JKL，相似比 k = GH/JK = 5/3，△JKL 周長 = 40。

步驟2：列周長比。周長比 = 相似比，△GHI 周長 / △JKL 周長 = 5/3。

步驟3：計算 △GHI 周長。△GHI 周長 = 40 × (5/3) = 200/3 ≈ 66.7。

步驟4：得出答案。△GHI 的周長 = 200/3（約 66.7）。

△GHI 周長 = 200/3

練 3兩個相似三角形的面積比為 25:36，求它們的相似比與周長比。

步驟1：確認條件。面積比 = 25:36，求相似比和周長比。

步驟2：列公式。面積比 = k²，k² = 25/36，取正根 k = 5/6。周長比 = k = 5:6。

步驟3：驗算。(5/6)² = 25/36，正確。

步驟4：得出答案。相似比 = 5:6，周長比 = 5:6。

相似比 = 5:6，周長比 = 5:6

練 4△STU∼△VWX，ST=8，VW=12，△STU 的面積為 32，求 △VWX 的面積。

步驟1：確認條件。ST=8，VW=12，對應邊 ST↔VW，△STU 面積 = 32。

步驟2：求相似比。k = VW/ST = 12/8 = 3/2，面積比 = k² = 9/4。

步驟3：計算 △VWX 面積。△VWX 面積 = 32 × 9/4 = 72。

步驟4：得出答案。△VWX 的面積 = 72。

△VWX 的面積 = 72

練 5△ABC∼△DEF，AB:DE = 3:7，△DEF 周長 = 35，△ABC 面積 = 27，求 △ABC 周長與 △DEF 面積。

步驟1：確認條件。相似比 k = AB/DE = 3/7，△DEF 周長 = 35，△ABC 面積 = 27。

步驟2：求 △ABC 周長。周長比 = 3:7，△ABC 周長 = 35 × (3/7) = 15。

步驟3：求 △DEF 面積。面積比 = (3/7)² = 9/49，△DEF 面積 = 27 × (49/9) = 147。

步驟4：得出答案。△ABC 周長 = 15，△DEF 面積 = 147。

△ABC 周長 = 15，△DEF 面積 = 147

練 6如圖，△ABC∼△ADE（D 在 AB 上，E 在 AC 上），AD=6，AB=10，DE=9，求 BC 的長度，並求 △ADE 與 △ABC 的面積比。

步驟1：確認條件。△ABC∼△ADE，AD=6，AB=10，所以 DB=4，對應邊 AB↔AD，相似比 k = AD/AB = 6/10 = 3/5。

步驟2：求 BC。DE/BC = k = 3/5，BC = DE × (5/3) = 9 × 5/3 = 15。

步驟3：求面積比。面積比 = k² = (3/5)² = 9/25。

步驟4：得出答案。BC = 15，△ADE:△ABC 面積比 = 9:25。

BC = 15，面積比 △ADE:△ABC = 9:25

練 7△ABC 中，D 在 AB 上、E 在 AC 上，DE∥BC，AD=4，DB=8，△ADE 面積 = 6，求 △ABC 面積與梯形 BCED 的面積。

步驟1：確認條件。DE∥BC，△ADE∼△ABC（AA 相似），AD=4，DB=8，AB=12，相似比 k = AD/AB = 4/12 = 1/3。

步驟2：求面積比。面積比 = k² = (1/3)² = 1/9，△ADE 面積 = 6。

步驟3：計算面積。△ABC 面積 = 6 × 9 = 54。梯形 BCED 面積 = 54 - 6 = 48。

步驟4：得出答案。△ABC 面積 = 54，梯形 BCED 面積 = 48。

△ABC 面積 = 54，梯形 BCED 面積 = 48

練 8（113 會考改編）兩相似多邊形，小圖形周長 = 20，大圖形周長 = 45，大圖形面積 = 405，求小圖形面積；若小圖形某邊長 = 8，求大圖形對應邊長。

步驟1：確認條件。周長比 = 20:45 = 4:9，相似比 k = 4/9（小:大），大圖形面積 = 405。

步驟2：求小圖形面積。面積比 = k² = (4/9)² = 16/81，小面積 / 大面積 = 16/81，小面積 = 405 × 16/81 = 80。

步驟3：求大圖形對應邊長。相似比 k = 小邊/大邊 = 4/9，小邊 = 8，大邊 = 8 × (9/4) = 18。

步驟4：得出答案。小圖形面積 = 80，大圖形對應邊長 = 18。

小圖形面積 = 80，大圖形對應邊長 = 18

💡 核心觀念：三角形的相似性質

AA 相似：兩組對應角相等，則兩三角形相似（最常用，平行線夾角、對頂角均可用）。
SAS 相似：一組夾角相等，且夾角兩側對應邊成比例，則兩三角形相似。
SSS 相似：三組對應邊兩兩成比例，則兩三角形相似。
相似三角形的對應邊比（相似比）相等，對應角相等，面積比等於相似比的平方。
平行線截三角形：△ABC 中 PQ∥BC，則 △APQ∼△ABC（AA），且 AP/AB = AQ/AC = PQ/BC。

👨‍🏫 老師講解（8 題）

講 1△ABC 與 △DEF 中，∠A = ∠D = 50°，∠B = ∠E = 70°，請問這兩個三角形是否相似？依據哪個性質？

步驟1：確認條件：已知 ∠A = ∠D = 50°，∠B = ∠E = 70°，兩組對應角相等。

步驟2：列性質：AA 相似性質——兩組對應角相等，兩三角形即相似。

步驟3：代入確認：∠A = ∠D，∠B = ∠E，兩組對應角均相等，條件滿足。

步驟4：得出答案：△ABC ∼ △DEF（AA）。

△ABC ∼ △DEF（AA 相似）

講 2如圖，△ABC 中，PQ∥BC，AP = 4，AB = 10，AQ = 3，求 AC 的長。

步驟1：確認條件：PQ∥BC，AP = 4，AB = 10，AQ = 3，求 AC。

步驟2：列性質：PQ∥BC → △APQ∼△ABC（AA），對應邊成比例：AP/AB = AQ/AC。

步驟3：代入計算：4/10 = 3/AC → AC = 3 × 10 ÷ 4 = 30/4 = 7.5。

步驟4：得出答案：AC = 7.5。

AC = 7.5

講 3△ABC 與 △PQR 中，AB = 6，BC = 8，CA = 10，PQ = 3，QR = 4，RP = 5，請判斷兩三角形是否相似。

步驟1：確認條件：三邊分別為 6, 8, 10 和 3, 4, 5，看是否成比例。

步驟2：列性質：SSS 相似——三組對應邊兩兩成相同比例，則相似。

步驟3：代入計算：AB/PQ = 6/3 = 2，BC/QR = 8/4 = 2，CA/RP = 10/5 = 2，三比均為 2。

步驟4：得出答案：△ABC ∼ △PQR（SSS），相似比為 2:1。

△ABC ∼ △PQR（SSS），相似比 2:1

講 4如圖，△ABC 中，∠A = ∠ADB（D 在 BC 上），∠B 公共角，試證明 △ABD ∼ △ACB，並求若 AB = 6，BC = 9，則 BD = ？

步驟1：確認條件：∠ADB = ∠BAC（題目給），∠ABD = ∠ABC（公共角）。

步驟2：列性質：兩組對應角相等 → AA 相似，△ABD ∼ △ACB。

步驟3：代入計算：對應邊比：AB/AC = BD/CB → 先知道 AB/AC = AB/AC，由 AB² = BD × BC → BD = AB²/BC = 36/9 = 4。

步驟4：得出答案：BD = 4。

BD = 4

講 5如圖，△ABC 中 DE∥BC，AD = 3，DB = 5，DE = 4，求 BC 的長。再求 △ADE 與 △ABC 的面積比。

步驟1：確認條件：DE∥BC，AD = 3，DB = 5，所以 AB = AD + DB = 8，DE = 4。

步驟2：列性質：DE∥BC → △ADE∼△ABC（AA），相似比 = AD/AB = 3/8。

步驟3：代入計算：BC/DE = AB/AD → BC = DE × (AB/AD) = 4 × (8/3) = 32/3。面積比 = (3/8)² = 9/64。

步驟4：得出答案：BC = 32/3，△ADE : △ABC 面積比 = 9 : 64。

BC = 32/3，面積比 = 9:64

講 6如圖，∠ACB = 90°，CD⊥AB，D 在 AB 上。已知 AC = 6，BC = 8，求 CD 的長。（提示：利用 SAS 或 AA 找相似）

步驟1：確認條件：∠ACB = 90°，CD⊥AB，AC = 6，BC = 8，先算 AB = √(6²+8²) = 10。

步驟2：列性質：△ACD ∼ △ACB（AA：∠A 公共，∠ADC = ∠ACB = 90°），對應邊成比例：CD/CB = AC/AB。

步驟3：代入計算：CD/8 = 6/10 → CD = 8 × 6/10 = 48/10 = 4.8。

步驟4：得出答案：CD = 4.8。

CD = 4.8

講 7（會考改編）如圖，直線 l₁∥l₂，兩直線被兩條截線截成如圖的線段，已知 a = 4，b = 6，c = 3，求 d 的值。

步驟1：確認條件：l₁∥l₂，兩截線在 l₁ 上截出長度 a = 4，在 l₂ 上截出長度 c = 3，截線段 b = 6，求 d。

步驟2：列性質：平行線截兩截線，形成兩個相似三角形（AA），對應邊成比例：a/c = b/d。

步驟3：代入計算：4/3 = 6/d → d = 6 × 3/4 = 18/4 = 4.5。

步驟4：得出答案：d = 4.5。

d = 4.5

講 8（會考改編・112年）如圖，△ABC 中，點 D 在 AB 上，點 E 在 AC 上，DE∥BC。若 AD:DB = 2:3，△ADE 面積為 12，求 △ABC 的面積。

步驟1：確認條件：DE∥BC，AD:DB = 2:3，所以 AD:AB = 2:5，△ADE 面積 = 12。

步驟2：列性質：△ADE∼△ABC（AA），相似比 = AD/AB = 2/5，面積比 = (2/5)² = 4/25。

步驟3：代入計算：S△ADE/S△ABC = 4/25 → 12/S△ABC = 4/25 → S△ABC = 12 × 25/4 = 75。

步驟4：得出答案：△ABC 面積 = 75。

△ABC 面積 = 75

✏️ 學生練習（8 題）

練 1△MNP 與 △XYZ 中，∠M = ∠X = 40°，∠N = ∠Y = 65°，請判斷兩三角形是否相似？依據哪個性質？

步驟1：確認條件：已知 ∠M = ∠X = 40°，∠N = ∠Y = 65°，兩組對應角相等。

步驟2：列性質：AA 相似——兩組對應角相等，即可判定相似。

步驟3：代入確認：∠M = ∠X，∠N = ∠Y，兩條件均滿足。

步驟4：得出答案：△MNP ∼ △XYZ（AA）。

△MNP ∼ △XYZ（AA 相似）

練 2如圖，△ABC 中，EF∥BC，AE = 3，EB = 6，AF = 2，求 FC 的長。

步驟1：確認條件：EF∥BC，AE = 3，EB = 6，AF = 2，AB = AE + EB = 9，求 FC。

步驟2：列性質：EF∥BC → △AEF∼△ABC（AA），AE/AB = AF/AC。

步驟3：代入計算：3/9 = 2/AC → AC = 2 × 9/3 = 6，FC = AC - AF = 6 - 2 = 4。

步驟4：得出答案：FC = 4。

FC = 4

練 3△ABC 與 △DEF 中，AB = 4，BC = 6，CA = 8，DE = 6，EF = 9，FD = 12，請判斷兩三角形是否相似。

步驟1：確認條件：兩三角形三邊分別為 4, 6, 8 和 6, 9, 12，檢查是否成比例。

步驟2：列性質：SSS 相似——三組對應邊成相同比例則相似。

步驟3：代入計算：AB/DE = 4/6 = 2/3，BC/EF = 6/9 = 2/3，CA/FD = 8/12 = 2/3，三比均為 2/3。

步驟4：得出答案：△ABC ∼ △DEF（SSS），相似比 = 2:3。

△ABC ∼ △DEF（SSS），相似比 2:3

練 4如圖，△ABC 中，∠BAC = ∠ADB，D 在 BC 上，∠B 為公共角。若 AB = 8，BC = 16，求 BD 的長。

步驟1：確認條件：∠BAC = ∠ADB，∠B 公共角，AB = 8，BC = 16。

步驟2：列性質：兩組對應角相等（AA） → △ABD ∼ △ACB，對應邊比：AB/CB = BD/AB。

步驟3：代入計算：BD = AB²/BC = 64/16 = 4。

步驟4：得出答案：BD = 4。

BD = 4

練 5△ABC 中，MN∥BC，AM = 5，MB = 3，MN = 10，求 BC 的長及 △AMN 與 △ABC 的面積比。

步驟1：確認條件：MN∥BC，AM = 5，MB = 3，AB = 8，MN = 10。

步驟2：列性質：MN∥BC → △AMN∼△ABC（AA），相似比 = AM/AB = 5/8。

步驟3：代入計算：BC = MN × (AB/AM) = 10 × (8/5) = 16。面積比 = (5/8)² = 25/64。

步驟4：得出答案：BC = 16，△AMN : △ABC 面積比 = 25 : 64。

BC = 16，面積比 = 25:64

練 6如圖，∠ACB = 90°，CD⊥AB，D 在 AB 上，AC = 5，BC = 12，求 CD 的長。

步驟1：確認條件：∠ACB = 90°，CD⊥AB，AC = 5，BC = 12，先算 AB = √(5²+12²) = 13。

步驟2：列性質：△ACD ∼ △ACB（AA：∠A 公共，∠ADC = ∠ACB = 90°）→ CD/BC = AC/AB。

步驟3：代入計算：CD/12 = 5/13 → CD = 60/13 ≈ 4.6。

步驟4：得出答案：CD = 60/13。

CD = 60/13

練 7（會考改編）如圖，m∥n，兩截線在 m 上截出線段 p = 6，在 n 上截出線段 r = 4，左側截線段為 q = 9，求右側截線段 s。

步驟1：確認條件：m∥n，截線在 m 上截出 p = 6，在 n 上截出 r = 4，左截線段 q = 9，求 s。

步驟2：列性質：平行線截兩截線形成相似三角形，對應邊成比例：p/r = q/s。

步驟3：代入計算：6/4 = 9/s → s = 9 × 4/6 = 6。

步驟4：得出答案：s = 6。

s = 6

練 8（會考改編）△ABC 中，DE∥BC，AD:DB = 3:4，△ADE 面積為 27，求梯形 BCED 的面積。

步驟1：確認條件：DE∥BC，AD:DB = 3:4，AD:AB = 3:7，△ADE 面積 = 27。

步驟2：列性質：△ADE∼△ABC（AA），相似比 = 3/7，面積比 = 9/49。

步驟3：代入計算：S△ABC = 27 × (49/9) = 147。梯形 BCED = S△ABC - S△ADE = 147 - 27 = 120。

步驟4：得出答案：梯形 BCED 面積 = 120。

梯形 BCED 面積 = 120

💡 核心觀念：相似三角形的比例關係

相似比 k：△ABC∼△A'B'C'，對應邊之比 = k（相似比）
對應高之比 = k：兩相似三角形的對應高之比等於相似比
面積比 = k²：兩相似三角形的面積比等於相似比的平方
平行截線：PQ∥BC，AP:AB = m:n → △APQ∼△ABC，面積比 = m²:n²
互相轉換：已知面積比求邊長比→開根號；已知邊長比求面積比→平方

👨‍🏫 老師講解（8 題）

講 1△ABC∼△DEF，相似比 AB:DE = 1:3，△ABC 的面積為 4 cm²，求 △DEF 的面積。

確認條件：兩三角形相似，相似比 k = 1:3，已知 △ABC 面積 = 4 cm²。

列性質：面積比 = 相似比的平方，即 S△ABC : S△DEF = 1² : 3² = 1 : 9。

代入計算：4 : S△DEF = 1 : 9，S△DEF = 4 × 9 = 36 cm²。

得出答案：△DEF 的面積為 36 cm²。

36 cm²

講 2△PQR∼△XYZ，面積比 S△PQR : S△XYZ = 9 : 25，求兩三角形的相似比（對應邊之比）。

確認條件：兩三角形相似，面積比 = 9 : 25，要求相似比。

列性質：相似比² = 面積比，所以相似比 = √(面積比)。

代入計算：相似比 = √9 : √25 = 3 : 5。

得出答案：兩三角形的相似比（對應邊之比）為 3 : 5。

3 : 5

講 3△ABC∼△DEF，相似比為 2:5，△ABC 的高 h = 4 cm，求 △DEF 的對應高 h'。

確認條件：△ABC∼△DEF，相似比 = 2:5，△ABC 的高 h = 4 cm。

列性質：對應高之比 = 相似比，即 h : h' = 2 : 5。

代入計算：4 : h' = 2 : 5，h' = 4 × 5 ÷ 2 = 10 cm。

得出答案：△DEF 的對應高 h' = 10 cm。

10 cm

講 4如圖，△ABC 中，PQ∥BC，AP = 3，PB = 2，△APQ 的面積為 18 cm²，求 △ABC 的面積。

確認條件：PQ∥BC，AP = 3，PB = 2，所以 AB = AP + PB = 3 + 2 = 5，△APQ 面積 = 18 cm²。

列性質：PQ∥BC → △APQ∼△ABC，相似比 = AP:AB = 3:5，面積比 = 3²:5² = 9:25。

代入計算：S△APQ : S△ABC = 9 : 25，18 : S△ABC = 9 : 25，S△ABC = 18 × 25 ÷ 9 = 50 cm²。

得出答案：△ABC 的面積為 50 cm²。

50 cm²

講 5△ABC∼△DEF，△ABC 面積為 48 cm²，△DEF 面積為 75 cm²，已知 BC = 8 cm，求 EF。

確認條件：兩三角形相似，面積比 = 48:75 = 16:25，已知 BC = 8 cm，求對應邊 EF。

列性質：相似比² = 面積比，所以相似比 = √16 : √25 = 4 : 5；BC 對應 EF，即 BC : EF = 4 : 5。

代入計算：8 : EF = 4 : 5，EF = 8 × 5 ÷ 4 = 10 cm。

得出答案：EF = 10 cm。

EF = 10 cm

講 6△ABC 中，PQ∥BC，AP:AB = 2:3，△APQ 與梯形 BPQC 的面積比為何？

確認條件：PQ∥BC，AP:AB = 2:3，求 △APQ 與梯形 BPQC 的面積比。

列性質：△APQ∼△ABC，相似比 = 2:3，面積比 = 4:9；梯形 BPQC 面積 = △ABC 面積 - △APQ 面積，比例 = 9 - 4 = 5 份。

代入計算：S△APQ : S△ABC = 4 : 9，所以 S△APQ : S梯形BPQC = 4 : (9 - 4) = 4 : 5。

得出答案：△APQ 與梯形 BPQC 的面積比為 4 : 5。

4 : 5

講 7（會考改編）△ABC 中，D 為 BC 上一點，AD 為高。已知 △ABD∼△CAD，AB = 6，AC = 9，求 BD。

確認條件：△ABD∼△CAD，AB = 6，AC = 9，求 BD。注意對應關係：AB↔CA，BD↔AD，AD↔CD。

列性質：相似三角形對應邊成比例，AB:CA = BD:AD = AD:CD；利用 AB:CA = BD:AD，得相似比 = 6:9 = 2:3。

代入計算：BD:AD = AB:CA = 2:3，又 AB:CA = AD:CD → AD:CD = 2:3；由 AB² = BD × BC（射影定理），BD:CD = AB²:AC² = 36:81 = 4:9，設 BD = 4t，CD = 9t，BC = 13t；AB:CA = BD:BC → 6:9 = 4t:13t，確認比值正確；實際用相似比：BD = AB²/BC；BC² = BD²+AD² ... 直接用：BD/AB = AB/BC → BD = AB²/BC；AB:CA = 2:3，設 AB = 2k=6，CA = 3k=9，k=3；相似三角形 △ABD∼△CAD 的相似比 = AB:CA = 6:9 = 2:3，故 BD:AD = 2:3，AD:CD = 2:3；BD = (AB/CA) × AD，由 BD/AD = AB/CA = 2/3；令 BD = 2m，AD = 3m，CD = (3m)²/(2m) ... 用 BD × BC = AB²：BC = BD+DC，由相似 AB:CA = BD:AD 且 AB:CA = AD:CD，所以 BD × CD = AD²，又 BD/CD = 4/9，設 BD=4s，CD=9s，BC=13s，AB:BC = BD:AB（相似比）：6:(13s) = (4s):6 → 36 = 52s² → s² = 36/52...重新整理：△ABD∼△CAD（A對C，B對A，D對D），相似比 = AB:CA = 6:9 = 2:3，對應邊 BD:AD = AB:CA = 2:3，即 BD:AD = 2:3；設 BD=2t，AD=3t；又 AD:CD = 2:3，CD = (9t/2)；BC = BD+DC = 2t + 9t/2 = 13t/2；由 AB²=BD × BC：36 = 2t × 13t/2 = 13t²，t² = 36/13，t = 6/√13；BD = 2t = 12/√13 = 12√13/13。

得出答案：BD = 12√13/13 cm（約 3.3 cm）。

BD = 12√13/13

講 8（會考改編）△ABC∼△ACD，∠B = ∠ACD，AC = 6，BC = 10，求 △ABC 與 △ACD 的面積比，及 CD 的長度。

確認條件：△ABC∼△ACD，對應關係 A↔A，B↔C，C↔D，已知 AC = 6，BC = 10。

列性質：相似比 = BC:CD = AC:CD... 對應邊：AB:AC = BC:CD = AC:AD；相似比 k = AB:AC = BC:CD；由對應：BC（△ABC第二邊）對應 CD（△ACD第二邊），AC（△ABC第三邊）對應 AD（△ACD第三邊），AB 對應 AC；相似比 = AB/AC = BC/CD = AC/AD；從 AB/AC = BC/CD，需先知道相似比，用 AC/BC = CD/AC → CD = AC²/BC。

代入計算：CD = AC²/BC = 6²/10 = 36/10 = 3.6 cm；相似比 k = AC:BC = 6:10 = 3:5；面積比 = k² = 9:25。

得出答案：△ABC 與 △ACD 的面積比為 9:25；CD = 3.6 cm。

面積比 9:25；CD = 3.6 cm

✏️ 學生練習（8 題）

練 1△MNP∼△QRS，相似比 MN:QR = 1:4，△MNP 的面積為 5 cm²，求 △QRS 的面積。

確認條件：兩三角形相似，相似比 k = 1:4，△MNP 面積 = 5 cm²。

列性質：面積比 = 相似比的平方，即 S△MNP : S△QRS = 1² : 4² = 1 : 16。

代入計算：5 : S△QRS = 1 : 16，S△QRS = 5 × 16 = 80 cm²。

得出答案：△QRS 的面積為 80 cm²。

80 cm²

練 2△ABC∼△DEF，面積比 S△ABC : S△DEF = 4 : 49，求兩三角形的相似比（對應邊之比）。

確認條件：兩三角形相似，面積比 = 4 : 49，要求相似比。

列性質：相似比 = √(面積比)，即分別對各數開根號。

代入計算：相似比 = √4 : √49 = 2 : 7。

得出答案：兩三角形的相似比為 2 : 7。

2 : 7

練 3△ABC∼△PQR，相似比為 3:7，△ABC 的高 h = 6 cm，求 △PQR 的對應高 h'。

確認條件：△ABC∼△PQR，相似比 = 3:7，△ABC 的高 h = 6 cm。

列性質：對應高之比 = 相似比，即 h : h' = 3 : 7。

代入計算：6 : h' = 3 : 7，h' = 6 × 7 ÷ 3 = 14 cm。

得出答案：△PQR 的對應高 h' = 14 cm。

14 cm

練 4如圖，△ABC 中，PQ∥BC，AP = 4，PB = 1，△APQ 的面積為 32 cm²，求 △ABC 的面積。

確認條件：PQ∥BC，AP = 4，PB = 1，所以 AB = 4 + 1 = 5，△APQ 面積 = 32 cm²。

列性質：PQ∥BC → △APQ∼△ABC，相似比 = AP:AB = 4:5，面積比 = 4²:5² = 16:25。

代入計算：32 : S△ABC = 16 : 25，S△ABC = 32 × 25 ÷ 16 = 50 cm²。

得出答案：△ABC 的面積為 50 cm²。

50 cm²

練 5△ABC∼△DEF，△ABC 面積為 27 cm²，△DEF 面積為 75 cm²，已知 DE = 10 cm，求 AB。

確認條件：兩三角形相似，面積比 = 27:75 = 9:25，已知 DE = 10 cm，求對應邊 AB。

列性質：相似比 = √(面積比) = √9 : √25 = 3 : 5；AB 對應 DE，即 AB : DE = 3 : 5。

代入計算：AB : 10 = 3 : 5，AB = 10 × 3 ÷ 5 = 6 cm。

得出答案：AB = 6 cm。

AB = 6 cm

練 6△ABC 中，PQ∥BC，AP:AB = 1:4，求 △APQ 與梯形 BPQC 的面積比。

確認條件：PQ∥BC，AP:AB = 1:4，求 △APQ 與梯形 BPQC 的面積比。

列性質：△APQ∼△ABC，相似比 = 1:4，面積比 = 1²:4² = 1:16；梯形面積 = △ABC - △APQ = 16份 - 1份 = 15份。

代入計算：S△APQ : S梯形BPQC = 1 : (16 - 1) = 1 : 15。

得出答案：△APQ 與梯形 BPQC 的面積比為 1 : 15。

1 : 15

練 7（會考改編）△ABC 中，D 為 BC 上一點，AD⊥BC。已知 △ABD∼△CAD，AB = 8，AC = 10，求 BD。

確認條件：△ABD∼△CAD，AB = 8，AC = 10，AD⊥BC，求 BD。

列性質：對應關係 A↔C，B↔A，D↔D；相似比 = AB:CA = 8:10 = 4:5；BD:AD = AB:CA = 4:5，AD:CD = 4:5；故 BD:CD = 16:25。

代入計算：設 BD = 16s，CD = 25s，BC = 41s；由 AB² = BD × BC（射影定理）：64 = 16s × 41s = 656s²，s² = 64/656 = 4/41，s = 2/√41；BD = 16s = 32/√41 = 32√41/41。

得出答案：BD = 32√41/41（約 5.0 cm）。

BD = 32√41/41

練 8（會考改編）△ABC∼△ACD，∠B = ∠ACD，AC = 8，BC = 16，求 △ABC 與 △ACD 的面積比及 CD 的長度。

確認條件：△ABC∼△ACD，對應關係 A↔A，B↔C，C↔D；已知 AC = 8，BC = 16。

列性質：對應邊比例：AB:AC = BC:CD = AC:AD；由 BC:CD = AC:AD，取 BC/CD = AB/AC；更直接：CD = AC²/BC（由 AC/BC = CD/AC 交叉相乘）。

代入計算：CD = AC²/BC = 8²/16 = 64/16 = 4 cm；相似比 k = AC:BC = 8:16 = 1:2；面積比 = 1²:2² = 1:4。

得出答案：△ABC 與 △ACD 的面積比為 1:4；CD = 4 cm。

面積比 1:4；CD = 4 cm

💡 核心觀念：簡易測量

影子法（同一時刻）：直立物高度之比 = 影長之比，即 物高 / 竿高 = 物影長 / 竿影長（共同仰角 + 直角，AA 相似）
鏡射法：眼高 / 物高 = 眼到鏡距 / 物到鏡距（入射角 = 反射角，AA 相似）
AA 相似判定：兩三角形各有兩組角相等，則兩三角形相似；相似三角形對應邊成比例
列比例式步驟：① 確認兩個相似△ ② 說明 AA 理由 ③ 對應邊寫成比例 ④ 交叉相乘求解
單位一致：代入比例式前，所有長度須換成同一單位，答案再換回題目要求的單位

👨‍🏫 老師講解（8 題）

講 1陽光下，小明身高 160 cm，影長 120 cm；同一時刻，路邊一棵樹的影長為 360 cm。求樹高。

確認條件：小明身高 160 cm，影長 120 cm；樹影長 360 cm，樹高 h 未知。同一時刻陽光方向相同。

判斷相似：△ABC 與 △DEF，∠B = ∠E = 90°（都直立於地面），∠C = ∠F（同一時刻仰角相同），由 AA 相似得 △ABC ∽ △DEF。

列比例式：人高 / 樹高 = 人影長 / 樹影長
160 / h = 120 / 360
120h = 160 × 360
120h = 57600
h = 480

∴ 樹高為 480 cm（4.8 m）。

樹高 480 cm

講 2小華用一根 2 m 長的竹竿直立於地面，竹竿影長 1.6 m；同一時刻，量得電線桿的影長為 12 m。求電線桿的高度。

確認條件：竹竿高 2 m，影長 1.6 m；電線桿影長 12 m，電線桿高 h 未知。

判斷相似：兩三角形各有 ∠直立 = 90°、同一時刻仰角相同，AA 相似成立，△竿 ∽ △電線桿。

列比例式：2 / h = 1.6 / 12
1.6h = 2 × 12 = 24
h = 24 ÷ 1.6 = 15

∴ 電線桿高度為 15 m。

電線桿高 15 m

講 3小英站在鏡子前，眼睛距地面高度為 150 cm，眼睛到鏡子的水平距離為 200 cm。她在鏡中看到對面牆上的一幅畫，鏡子到牆的水平距離為 300 cm。求畫的位置距地面的高度（即畫的中心高）。

確認條件：眼高 AB = 150 cm，眼到鏡水平距 BM = 200 cm；鏡到牆水平距 ME = 300 cm，畫高 DE = h。

判斷相似：鏡射法中，入射角 = 反射角，且 ∠B = ∠E = 90°，由 AA 相似得 △ABM ∽ △DEM。

列比例式：AB / DE = BM / ME
150 / h = 200 / 300
200h = 150 × 300 = 45000
h = 225

∴ 畫距地面高度為 225 cm（2.25 m）。

畫高 225 cm

講 4某大樓旁豎立一根 3 m 的測量竿，竿影長 2 m，同一時刻大樓影子落在地面，從大樓底部算起影長為 30 m。但大樓影子有 5 m 落在大樓自身底部（即影子與牆重疊），實際地面影長為 25 m。求大樓高度。

確認條件：測量竿高 3 m，竿影 2 m；大樓總影長 = 地面影 25 m + 牆上影 5 m = 30 m，大樓高 h 未知。

判斷相似：∠直角各 90°，同一時刻仰角相同，AA 相似。注意大樓影子要用總影長 30 m代入（包含重疊部分）。

列比例式：3 / h = 2 / 30
2h = 3 × 30 = 90
h = 45

∴ 大樓高度為 45 m。

大樓高 45 m

講 5小強用鏡射法量一棵樹的高度。他的眼睛距地面 160 cm，將一面小鏡子放在地上，向後退到與鏡子水平距離 240 cm 處，恰好能在鏡中看到樹頂。已知鏡子到樹幹底部的距離為 320 cm。求樹高。

確認條件：眼高 AB = 160 cm，眼到鏡距 BM = 240 cm；鏡到樹底距 MN = 320 cm，樹高 TN = h。

判斷相似：入射角 = 反射角（光的反射定律），∠B = ∠N = 90°，由 AA 相似得 △ABM ∽ △TNM。

列比例式：AB / TN = BM / MN
160 / h = 240 / 320
240h = 160 × 320 = 51200
h = 51200 ÷ 240 ≈ 213.3

∴ 樹高約為 213.3 cm（約 2.13 m）。

樹高約 213.3 cm

講 6如圖，小偉站在河對岸，利用影子法來測量河寬。他在河岸邊 A 點插一根 1.8 m 高的標竿，從 A 沿垂直河岸方向退後到 B 點，使得 B、竿頂、河對岸的 C 點恰好三點共線（即眼睛在 B 點，透過竿頂看向 C 點）。已知 AB = 4 m，竿高 = 1.8 m，竿底在 A 點。估計從地面看，C 點在河對岸與地面等高。請改設：竿在 A 點，AB = 4 m，眼在 B 點（貼地），求 AC（河寬）。

確認條件：標竿在 A 點，高 PA = 1.8 m；眼在 B 點（貼地），AB = 4 m；視線過竿頂 P 指向對岸 C 點，AC = x（河寬）。

判斷相似：△PAB 與 △CAB 共用∠B，∠PAB = ∠CAB？此題用相似三角形：△BPA ∽ △BPC 中，用比例：BP/BC = PA/？ — 改用直接比例：眼睛 B、竿頂 P、目標 C 三點共線，PA/CA = BA/BC，即 PA/CA = AB/(AB+AC)。

列方程式：1.8 / x = 4 / (4 + x)
1.8(4 + x) = 4x
7.2 + 1.8x = 4x
7.2 = 2.2x
x = 7.2 ÷ 2.2 ≈ 3.27

∴ 河寬 AC ≈ 3.27 m（精確值 36/11 m）。

河寬 ≈ 3.27 m

講 7（會考改編）如圖，同一時刻，身高 170 cm 的小明站在路燈旁，影子長 85 cm；路燈高 h cm，燈柱底部到小明腳跟的距離為 510 cm，小明站在燈柱正下方外側。求路燈高度 h。

確認條件：路燈頂 L，燈柱底 A；小明身高 170 cm，腳在 B（AB = 510 cm），影尖在 C（BC = 85 cm）。路燈高 LA = h。

判斷相似：L、小明頭、影尖 C 三點共線（光線直線傳播）；∠A = ∠B = 90°，由 AA 相似得 △LAC ∽ △小明頭BC（即 △LAC ∽ △PBC）。

列比例式：h / 170 = AC / BC
AC = AB + BC = 510 + 85 = 595 cm
h / 170 = 595 / 85 = 7
h = 170 × 7 = 1190

∴ 路燈高度為 1190 cm（11.9 m）。

路燈高 1190 cm

講 8（會考改編）某懸崖旁有一支 2 m 高的標竿，觀察者水平望向懸崖頂端時，視線恰好過標竿頂端。觀察者眼睛距地 1.6 m，站在距標竿 3 m 處（觀察者、標竿、懸崖在同一直線上）。標竿距懸崖底部水平距離 d 未知，懸崖高 H 未知。已知懸崖底部與觀察者在同一水平面，且求 d：H 的比值，以及若 d = 45 m 時懸崖實際高度。

確認條件：眼高 EP = 1.6 m，PQ（眼到竿水平距）= 3 m；竿高 TQ = 2 m；QR = d，CR = H。視線 E→T→C 共線。

判斷相似：∠P = ∠Q = ∠R = 90°，E、T、C 共線，由 AA 相似得 △EPQ ∽ △TQR ∽ △CRP（延伸）。先用 △EPQ ∽ △TQR 找關係。

第一步：△EPQ ∽ △TQR（∠P=∠Q=90°，共同仰角）
EP/TQ = PQ/QR → 1.6/2 = 3/QR → QR = 3 × 2 / 1.6 = 3.75 m（即 d = 3.75 m）
再用大三角：E、T、C 共線 → EP/(H) = PQ/(PQ+d+0)… 改直接用 △EPR（P到R=3+d）：
H/1.6 = (3+3.75)/3 → H = 1.6 × 6.75/3 = 3.6 m
驗算：d:H = 3.75:3.6 = 25:24。若 d=45 m，則 H = 45 × (24/25) = 43.2 m

∴ d : H = 25 : 24；當 d = 45 m 時，懸崖高 H = 43.2 m。

d:H = 25:24；d=45m時 H=43.2m

✏️ 學生練習（8 題）

練 1陽光下，小玲身高 140 cm，影長 105 cm；同一時刻，一棵椰子樹的影長為 420 cm。求椰子樹的高度。

確認條件：小玲身高 140 cm，影長 105 cm；椰子樹影長 420 cm，樹高 h 未知。同一時刻陽光仰角相同。

判斷相似：兩直角三角形各有 ∠B = ∠E = 90°，∠C = ∠F（同仰角），由 AA 相似得 △ABC ∽ △DEF。

列比例式：140 / h = 105 / 420
105h = 140 × 420 = 58800
h = 58800 ÷ 105 = 560

∴ 椰子樹高度為 560 cm（5.6 m）。

椰子樹高 560 cm

練 2小剛用一根 2.5 m 長的旗桿直立於地面，同一時刻旗桿影長為 2 m，一旁大廈影長為 32 m。求大廈高度。

確認條件：旗桿高 2.5 m，影長 2 m；大廈影長 32 m，大廈高 h 未知。

判斷相似：兩直角三角形有 ∠直立 = 90° 及同一仰角，AA 相似成立。

列比例式：2.5 / h = 2 / 32
2h = 2.5 × 32 = 80
h = 40

∴ 大廈高度為 40 m。

大廈高 40 m

練 3小賢用鏡射法量教室對面牆的高度。他的眼睛距地 155 cm，在地上放一面小鏡，退後到與鏡水平距 180 cm 處，恰好看到對面牆的頂端。鏡到對面牆的水平距離為 540 cm。求對面牆的高度。

確認條件：眼高 AB = 155 cm，眼到鏡水平距 BM = 180 cm；鏡到牆底水平距 MN = 540 cm，牆高 TN = h。

判斷相似：入射角 = 反射角，∠B = ∠N = 90°，由 AA 相似得 △ABM ∽ △TNM。

列比例式：AB / TN = BM / MN
155 / h = 180 / 540
180h = 155 × 540 = 83700
h = 83700 ÷ 180 = 465

∴ 對面牆高度為 465 cm（4.65 m）。

牆高 465 cm

練 4一面旗桿矗立在廣場上，旗桿影長的一部分（10 m）落在旗桿底座的臺面上，其餘部分（50 m）在地面上。已知同一時刻，一根 4 m 高的標竿的影長為 8 m。求旗桿總高度。

確認條件：標竿高 4 m，影長 8 m；旗桿總影長 = 臺面影 10 m + 地面影 50 m = 60 m，旗桿高 h。

判斷相似：同一時刻仰角相同，兩直角三角形 AA 相似。注意旗桿影要用總影長 60 m。

列比例式：4 / h = 8 / 60
8h = 4 × 60 = 240
h = 30

∴ 旗桿總高度為 30 m。

旗桿高 30 m

練 5小美用鏡射法量一棟宿舍樓的高度。她的眼睛距地 148 cm，把鏡子放在地上，退到離鏡子 260 cm 處，恰好看到宿舍樓頂。鏡子到宿舍樓底的水平距離為 390 cm。求宿舍樓的高度。

確認條件：眼高 AB = 148 cm，眼到鏡水平距 BM = 260 cm；鏡到樓底水平距 MN = 390 cm，樓高 TN = h。

判斷相似：入射角 = 反射角，∠B = ∠N = 90°，由 AA 相似得 △ABM ∽ △TNM。

列比例式：148 / h = 260 / 390
260h = 148 × 390 = 57720
h = 57720 ÷ 260 = 222

∴ 宿舍樓高度為 222 cm（2.22 m）。

宿舍樓高 222 cm

練 6小林在一條筆直的路上，利用標竿測量一棟對面工廠煙囪的高度。他豎立一根 3 m 高的竿子，從竿子正後方退後 5 m 處（眼睛貼地），視線過竿頂恰看到煙囪頂端。竿底到煙囪底部水平距離為 d m，煙囪高 H m。設竿底到煙囪底部距離 d = 60 m，求煙囪高度 H。

確認條件：眼在 B（貼地），BA（眼到竿底水平距）= 5 m；竿高 TA = 3 m；AD（竿底到煙囪底水平距）= 60 m，煙囪高 H。

判斷相似：B、T、C 三點共線（視線），∠A = ∠D = 90°，由 AA 相似得 △TAB ∽ △CDB。

列比例式：TA / CD = AB / DB
DB = AB + AD = 5 + 60 = 65 m
3 / H = 5 / 65
5H = 3 × 65 = 195
H = 39

∴ 煙囪高度為 39 m。

煙囪高 39 m

練 7（會考改編）夜晚，一盞路燈照著小柔（身高 168 cm）的影子。小柔站在距路燈柱底部 420 cm 處，影子末端距路燈柱底部 504 cm。求路燈高度。

確認條件：路燈頂 L，燈柱底 A；小柔身高 168 cm，站在 B（AB = 420 cm）；影尖在 C，AC = 504 cm，故影長 BC = AC - AB = 504 - 420 = 84 cm。

判斷相似：L、小柔頭頂、影尖 C 三點共線；∠A = ∠B = 90°，由 AA 相似得 △LAC ∽ △小柔頭BC（△PBC）。

列比例式：LA / 168 = AC / BC
h / 168 = 504 / 84 = 6
h = 168 × 6 = 1008

∴ 路燈高度為 1008 cm（10.08 m）。

路燈高 1008 cm

練 8（會考改編）如圖，觀測者眼睛距地 1.5 m，在一棟樓前 6 m 處，透過一根 2.5 m 高（竿底在觀測者前方 4 m）的測量竿頂，恰好看到樓頂。求該樓的高度。（竿底、觀測者腳底、樓底在同一水平線上）

確認條件：眼高 EP = 1.5 m，眼到竿底水平距 PQ = 4 m；竿高 TQ = 2.5 m；竿底到樓底水平距 QR = 6 - 4 = 2 m，樓高 CR = H。

判斷相似：E、T、C 三點共線（視線），∠P = ∠Q = ∠R = 90°，由 AA 相似得 △EPQ ∽ △TQR，再延伸到 △CPR。

用△EPQ ∽ △TQR 驗算一致性，再用整體△EPR ∽ △整體：
E 到 R 水平距 PR = PQ + QR = 4 + 2 = 6 m
EP / CR = PQ / QR（△EPQ ∽ △TQR）→ 1.5/2.5 = 4/QR'（自洽驗算，用整體）
直接用 EP / CR = PQ / PR（大△）→ 1.5 / H = 4 / 6
4H = 1.5 × 6 = 9
H = 2.25

∴ 樓高為 2.25 m（225 cm）。

樓高 2.25 m

💡 核心觀念：三角比

三角比定義：直角△ABC，∠C＝90°，∠A＝θ，則 sin θ＝BC／AB（對邊÷斜邊），cos θ＝AC／AB（鄰邊÷斜邊），tan θ＝BC／AC（對邊÷鄰邊）。
特殊角值：sin30°＝1/2、cos30°＝√3/2、tan30°＝√3/3；sin45°＝√2/2、cos45°＝√2/2、tan45°＝1；sin60°＝√3/2、cos60°＝1/2、tan60°＝√3。
畢氏恆等式：對任意銳角 θ，sin²θ＋cos²θ＝1，此式是許多計算題的關鍵工具。
商數關係：tan θ＝sin θ ÷ cos θ，利用這個關係可以在已知兩個三角比時求出第三個。
邊長互求：若斜邊為 c、∠A＝θ，則對邊＝c·sin θ、鄰邊＝c·cos θ；或已知一邊求其他邊時，靈活選用 sin、cos、tan。

👨‍🏫 老師講解（8 題）

講 1直角△ABC，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，求 sin A、cos A、tan A。

確認條件：直角△ABC，∠C＝90°，所以 C 是直角頂點。以∠A 為基準，對邊＝BC＝3，斜邊＝AB＝5，用畢氏定理求鄰邊 AC＝√(5²－3²)＝√16＝4。

列公式：sin A＝對邊／斜邊，cos A＝鄰邊／斜邊，tan A＝對邊／鄰邊。

代入計算：sin A＝3／5，cos A＝4／5，tan A＝3／4。

得出答案：sin A＝3/5，cos A＝4/5，tan A＝3/4。

sin A＝3/5，cos A＝4/5，tan A＝3/4

講 2直角△ABC，∠C＝90°，AB＝10，∠A＝30°，求 BC 與 AC 的長。

確認條件：∠C＝90°，∠A＝30°，斜邊 AB＝10。以∠A 為基準，對邊＝BC，鄰邊＝AC。

列公式：sin 30°＝BC／AB，cos 30°＝AC／AB。特殊角值：sin 30°＝1/2，cos 30°＝√3/2。

代入計算：BC＝AB × sin 30°＝10 × 1/2＝5；AC＝AB × cos 30°＝10 × √3/2＝5√3。

得出答案：BC＝5，AC＝5√3。

BC＝5，AC＝5√3

講 3已知 sin θ＝5/13，且 θ 為直角三角形的一個銳角，求 cos θ 與 tan θ。

確認條件：sin θ＝5/13，表示對邊＝5，斜邊＝13，θ 是銳角。

用畢氏定理求鄰邊：鄰邊＝√(13²－5²)＝√(169－25)＝√144＝12。

代入公式：cos θ＝鄰邊／斜邊＝12/13；tan θ＝對邊／鄰邊＝5/12。

得出答案：cos θ＝12/13，tan θ＝5/12。

cos θ＝12/13，tan θ＝5/12

講 4已知 cos θ＝3/5，利用 sin²θ＋cos²θ＝1 求 sin θ，再求 tan θ。

確認條件：cos θ＝3/5，利用恆等式 sin²θ＋cos²θ＝1 來求 sin θ。

代入恆等式：sin²θ＋(3/5)²＝1 → sin²θ＋9/25＝1 → sin²θ＝16/25。

取正值（θ 為銳角）：sin θ＝4/5。再利用 tan θ＝sin θ／cos θ＝(4/5)÷(3/5)＝4/3。

得出答案：sin θ＝4/5，tan θ＝4/3。

sin θ＝4/5，tan θ＝4/3

講 5如圖，直角△ABC，∠C＝90°，AC＝6，BC＝6√3，求∠A 的度數。

確認條件：∠C＝90°，以∠A 為基準，對邊 BC＝6√3，鄰邊 AC＝6。

列公式：tan A＝對邊／鄰邊＝BC／AC。

代入計算：tan A＝6√3／6＝√3。比對特殊角：tan 60°＝√3。

得出答案：∠A＝60°。

∠A＝60°

講 6如圖，直角△ABC，∠B＝90°，AB＝8，∠A＝45°，D 為 BC 上一點，AD 平分∠BAC，求 BD 的長。

確認條件：∠B＝90°，∠A＝45°，AB＝8，AD 是∠BAC 的角平分線，求 BD。

先求 BC：∠A＝45°，∠B＝90°，∴∠C＝45°，△ABC 是等腰直角三角形，BC＝AB＝8。

AD 平分∠BAC，所以∠BAD＝22.5°。在直角△ABD 中，tan 22.5°≈0.414，BD＝AB × tan 22.5°＝8 × (√2－1)＝8√2－8。

得出答案：BD＝8(√2－1)＝8√2－8（約 3.31）。

BD＝8(√2－1)

講 7（會考改編）如圖，△ABC 中，∠C＝90°，sin A＝√5/5，BC＝2，求 AB 與 AC 的長，並求 cos A 的值。

確認條件：∠C＝90°，sin A＝√5/5＝1/√5，BC（對邊）＝2。設斜邊 AB＝c。

由 sin A＝BC／AB，得 1/√5＝2／AB，所以 AB＝2√5。

用畢氏定理：AC＝√(AB²－BC²)＝√(20－4)＝√16＝4。cos A＝AC／AB＝4／(2√5)＝2/√5＝2√5/5。

得出答案：AB＝2√5，AC＝4，cos A＝2√5/5。

AB＝2√5，AC＝4，cos A＝2√5/5

講 8（會考改編）已知 sin θ＋cos θ＝√2，且 θ 為銳角，求 sin θ × cos θ 的值，並判斷 θ 等於幾度。

確認條件：sin θ＋cos θ＝√2，θ 為銳角。要求 sin θ × cos θ 的值。

將等式兩邊平方：(sin θ＋cos θ)²＝2 → sin²θ＋2 sin θ cos θ＋cos²θ＝2。

利用恆等式 sin²θ＋cos²θ＝1 代入：1＋2 sin θ cos θ＝2 → 2 sin θ cos θ＝1 → sin θ cos θ＝1/2。再驗：sin 45°× cos 45°＝(√2/2)×(√2/2)＝1/2 ✓，sin 45°＋cos 45°＝√2 ✓。

得出答案：sin θ × cos θ＝1/2，θ＝45°。

sin θ × cos θ＝1/2，θ＝45°

✏️ 學生練習（8 題）

練 1直角△PQR，∠R＝90°，PQ＝17，PR＝15，求 sin P、cos P、tan P。

確認條件：∠R＝90°，以∠P 為基準，鄰邊 PR＝15，斜邊 PQ＝17。先求對邊 QR＝√(17²－15²)＝√(289－225)＝√64＝8。

列公式：sin P＝對邊／斜邊，cos P＝鄰邊／斜邊，tan P＝對邊／鄰邊。

代入計算：sin P＝8/17，cos P＝15/17，tan P＝8/15。

得出答案：sin P＝8/17，cos P＝15/17，tan P＝8/15。

sin P＝8/17，cos P＝15/17，tan P＝8/15

練 2直角△DEF，∠F＝90°，DE＝8，∠D＝60°，求 EF 與 DF 的長。

確認條件：∠F＝90°，∠D＝60°，斜邊 DE＝8。以∠D 為基準，對邊＝EF，鄰邊＝DF。

列公式：sin 60°＝EF／DE，cos 60°＝DF／DE。特殊角值：sin 60°＝√3/2，cos 60°＝1/2。

代入計算：EF＝8 × √3/2＝4√3；DF＝8 × 1/2＝4。

得出答案：EF＝4√3，DF＝4。

EF＝4√3，DF＝4

練 3已知 cos α＝12/13，且 α 為銳角，求 sin α 與 tan α。

確認條件：cos α＝12/13，表示鄰邊＝12，斜邊＝13，α 為銳角。

用畢氏定理求對邊：對邊＝√(13²－12²)＝√(169－144)＝√25＝5。

代入公式：sin α＝對邊／斜邊＝5/13；tan α＝對邊／鄰邊＝5/12。

得出答案：sin α＝5/13，tan α＝5/12。

sin α＝5/13，tan α＝5/12

練 4已知 sin β＝2/3，利用 sin²β＋cos²β＝1 求 cos β，再求 tan β（β 為銳角）。

確認條件：sin β＝2/3，利用恆等式 sin²β＋cos²β＝1 求 cos β。

代入恆等式：(2/3)²＋cos²β＝1 → 4/9＋cos²β＝1 → cos²β＝5/9。

取正值（β 為銳角）：cos β＝√5/3。再求 tan β＝sin β／cos β＝(2/3)÷(√5/3)＝2/√5＝2√5/5。

得出答案：cos β＝√5/3，tan β＝2√5/5。

cos β＝√5/3，tan β＝2√5/5

練 5直角△MNP，∠P＝90°，MP＝4，NP＝4，求∠N 的度數。

確認條件：∠P＝90°，以∠N 為基準，對邊 MP＝4，鄰邊 NP＝4。

列公式：tan N＝對邊／鄰邊＝MP／NP。

代入計算：tan N＝4／4＝1。比對特殊角：tan 45°＝1。

得出答案：∠N＝45°。

∠N＝45°

練 6直角△ABC，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6√3，求 BC、AB，以及 sin B 的值。

確認條件：∠C＝90°，∠A＝30°，鄰邊 AC＝6√3（∠A 的鄰邊），求對邊 BC 與斜邊 AB。

利用 tan A＝BC／AC，tan 30°＝√3/3，所以 BC＝AC × tan 30°＝6√3 × √3/3＝6×3/3＝6。

求斜邊：AB＝AC／cos 30°＝6√3÷(√3/2)＝6√3 × 2/√3＝12。∠B＝60°，sin B＝sin 60°＝√3/2。

得出答案：BC＝6，AB＝12，sin B＝√3/2。

BC＝6，AB＝12，sin B＝√3/2

練 7（會考改編）直角△ABC，∠C＝90°，tan A＝3/4，AB＝20，求 sin A 與 cos A，以及 BC、AC 的長。

確認條件：tan A＝3/4，表示對邊：鄰邊＝3:4，設對邊 BC＝3k，鄰邊 AC＝4k，斜邊 AB＝√(9k²＋16k²)＝5k。

sin A＝對邊／斜邊＝3k／5k＝3/5；cos A＝鄰邊／斜邊＝4k／5k＝4/5。

由 AB＝20，5k＝20，k＝4。所以 BC＝3×4＝12，AC＝4×4＝16。

得出答案：sin A＝3/5，cos A＝4/5，BC＝12，AC＝16。

sin A＝3/5，cos A＝4/5，BC＝12，AC＝16

練 8（會考改編）已知 sin θ－cos θ＝√2/2，且 θ 為銳角，求 sin θ × cos θ 的值，並求 sin²θ＋cos²θ－2 sin θ cos θ 的值。

確認條件：sin θ－cos θ＝√2/2，θ 為銳角。兩邊平方以求 sin θ × cos θ。

兩邊平方：(sin θ－cos θ)²＝(√2/2)²＝1/2 → sin²θ－2 sin θ cos θ＋cos²θ＝1/2。

利用恆等式 sin²θ＋cos²θ＝1 代入：1－2 sin θ cos θ＝1/2 → 2 sin θ cos θ＝1/2 → sin θ cos θ＝1/4。

再求 sin²θ＋cos²θ－2 sin θ cos θ＝1－2×(1/4)＝1－1/2＝1/2（即 (sin θ－cos θ)² 的值）。

sin θ × cos θ＝1/4；sin²θ＋cos²θ－2 sin θ cos θ＝1/2

💡 核心觀念：連比例

💡 核心觀念：連比例式的應用

💡 核心觀念：等高三角形

💡 核心觀念：平行線截比例線段

💡 核心觀念：利用比例線段判別平行

💡 核心觀念：三角形兩邊中點連線段性質

💡 核心觀念：圖形的縮放

💡 核心觀念：相似多邊形

💡 核心觀念：三角形的相似性質

💡 核心觀念：相似三角形的比例關係

💡 核心觀念：簡易測量

💡 核心觀念：三角比

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