某國中 112 學年度 九上 第一次段考 數學

觀念：連比——把共同項 y 化成相同的數
① x：y＝2：3，y：z＝2：3，y 分別是 3 和 2，取最小公倍數 6。
② x：y＝2：3＝4：6（同乘 2）；y：z＝2：3＝6：9（同乘 3）。
③ 所以 x：y：z＝4：6：9。
⚠️ 常見錯：直接寫成 2：3：3，忘了先讓 y 一樣。

觀念：比例式設 k 法
① 設 x3＝y4＝z6＝k，則 x＝3k、y＝4k、z＝6k。
② 代入：3k－8k＋6k＝k＝10。
③ x＝3×10＝30。

觀念：先化成 a：b、a：c，再求連比
① 2a：b＝6：5 → 5×2a＝6b → 10a＝6b → a：b＝3：5。
② a：2c＝2：5 → 5a＝4c → a：c＝4：5。
③ 讓 a 相同（取 12）：a：b＝12：20，a：c＝12：15 → a：b：c＝12：20：15。
④ 設 a＝12k、b＝20k、c＝15k：
　2b＋ca＋b＝40k＋15k12k＋20k＝5532，選 (B)。
⚠️ 「2a：b」不是 a：b，要先處理係數 2。

觀念：「甲的 m 倍＝乙的 n 倍」→ 甲：乙＝n：m
① 2×大＝3×小 → 大：小＝3：2。
② 3×中＝4×小 → 中：小＝4：3。
③ 讓「小」相同（取 6）：大：小＝9：6，中：小＝8：6 → 大：中：小＝9：8：6。
④ 設 大＝9k、中＝8k、小＝6k；大－中＝k＝20。
⑤ 三人共 (9＋8＋6)k＝23×20＝460 元。
⚠️ 倍數和比要「交叉」：2 倍＝3 倍 → 比是 3：2，不是 2：3。

觀念：等高三角形面積比＝底邊比
① 設 BD：DC＝CE：EA＝1：t。
② △ABD 與 △ADC 同高（從 A 到 BC），面積比＝BD：DC → △ADC＝12t。
③ △ADE 與 △ADC 同高（從 D 到 AC），面積比＝EA：CA＝t：(1＋t)
　→ 2＝12t×t1＋t → 12t²＝2＋2t → 6t²－t－1＝0 → (3t＋1)(2t－1)＝0。
④ t＞0，所以 t＝12，△ADC＝12×12＝6。
⑤ △CDE＝△ADC－△ADE＝6－2＝4。
✔ 檢查：CE：EA＝4：2＝2：1，BD：DC＝12：6＝2：1，相符。

觀念：三角形內平行線截比例線段
‧ (A) ✅ 平行線截兩邊成比例：AP：PB＝AQ：QC。
‧ (B) ✅ 由 (A) 推得「一小段：全長」也成比例。
‧ (C) ✗ PQ：BC 要和「全長」比：PQ：BC＝AQ：AC（△APQ～△ABC），不是 AQ：QC。
⚠️ 口訣：底邊比要用「上段：全長」，不能用「上段：下段」。

觀念：平行線截比例線段的逆敘述
‧ (B) ✅ 兩邊被截成比例 → 一定平行。
‧ (C) ✅ AB：PB＝AC：QC 可推回 AP：PB＝AQ：QC → 平行。
‧ (A) ✗ 只知道「兩邊成比例」加上一個「不是夾角」的角（∠A 不在 PQ、AQ 之間），屬於 SSA，不能保證相似，圖中虛線那種斜的 PQ 也可能成立。
所以答案 (A)。

觀念：中點連線＝第三邊的一半
① D、E 是 AB、AC 中點 → DE＝12BC。
② I、J 將 BC 三等分 → IJ＝13BC。
③ 在 △DEF 中，G、H 是 DF、EF 中點 → GH＝12DE＝14BC。
④ 12：13：14，同乘 12 → 6：4：3。

觀念：相似多邊形＝對應角相等＋對應邊成比例
‧ (A) ✗ 頂角不同（如 30° 與 100°）就不相似。
‧ (B) ✗ 只有直角相等，另外兩角可以不同。
‧ (C) ✗ 角都是 90°，但長寬比可以不同（2×1 和 3×1）。
‧ (D) ✅ 正六邊形每個內角都是 120°，六邊等長，邊長比固定 → 一定相似。
⚠️ 「正多邊形」邊數相同就一定相似；長方形、菱形則不一定。

觀念：兩個等腰三角形共用底角 → AA 相似
① AB＝AC → ∠ABC＝∠C。
② BD＝BC → ∠BDC＝∠C。
③ △BCD 與 △ABC：∠C 共用，∠BDC＝∠ABC → △BCD～△ABC（AA）。
④ 對應邊成比例：DCBC＝BCAC → DC＝18×1827＝12。
⚠️ 找對應頂點：B↔A、C↔C、D↔B（底邊對腰）。

觀念：SSS 相似——三邊依大小排好再對應
① △ADC 三邊由小到大：CD＝4、AC＝6、AD＝8 → 2：3：4。
② △ABC 三邊由小到大：AC＝6、AB＝9、BC＝12 → 2：3：4。
③ 三邊成比例 → 兩三角形相似（SSS）。
④ ∠ADC 對的是中邊 AC（6）；△ABC 中對中邊 AB（9）的角是 ∠ACB。
⚠️ 技巧：「對應角」看它對面的邊排第幾大。

觀念：拆分式子後設 k
① 拆開：1－2a＝1－3b＝1＋5c。
② 同減 1：2a＝3b＝－5c＝1k。
③ a＝2k、b＝3k、c＝－5k → a：b：c＝2：3：(－5)。
⚠️ c 是「＋5」，移項後變 －5，比裡會出現負數。

觀念：平行四邊形裡的「X 型」相似
① AB∥DE → △FAB～△FDE，BF＝FE → AF＝FD，F 是 AD 中點。
② 所以 AF＝12AD＝12BC。
③ AF∥BC → △GAF～△GCB，GF：GB＝AF：BC＝1：2。
④ GF＝13BF＝13×6＝2。

觀念：相似三角形的應用（測量距離）
① ∠ACB＝∠AED（同位角相等）→ BC∥DE，且 ∠A 共用 → △ABC～△ADE（AA）。
② ABAD＝BCDE → ABAB＋8＝915。
③ 15AB＝9AB＋72 → 6AB＝72 → AB＝12。
💡 CE＝10 是多給的條件，可用來求 AC＝15，不影響答案。

觀念：梯形中平行線段長＝按高度比例增加
① 從下底到上底，高 30 公分，寬度增加 24－15＝9 公分。
② 水高 20 公分，佔全高的 2030＝23，寬度增加 9×23＝6 公分。
③ AB＝15＋6＝21 公分。
💡 也可以兩腰延長成三角形用相似算，結果相同。

觀念：兩組平行線 → 兩次比例線段，串起來
① △ABE 中 DF∥BE → AFAE＝ADAB。
② △ABC 中 DE∥BC → AEAC＝ADAB。
③ 所以 40x＝xx＋30（設 AE＝x）→ x²＝40x＋1200。
④ x²－40x－1200＝0 → (x－60)(x＋20)＝0 → x＝60。
⑤ EF＝60－40＝20。
💡 結論：AE²＝AF×AC（AE 是 AF 與 AC 的比例中項）。

觀念：錯角相等 → 平行 → X 型相似
① ∠ACB＝60°，∠DBE＝60°，兩者是錯角 → AC∥BD。
② △FBD～△FCA（AA），BF：FC＝BD：AC＝6：12＝1：2。
③ BF＝12×13＝4。
④ E 在 BC 上且 BE＝6，所以 EF＝6－4＝2。

觀念：相似三角形面積比＝邊長比的平方
① AD：AF：AB＝3：(3＋2)：(3＋2＋1)＝3：5：6。
② △ADE、△AFG、△ABC 都相似，面積比＝3²：5²：6²＝9：25：36。
③ △ADE＝9；四邊形 DEGF＝25－9＝16；四邊形 FGCB＝36－25＝11。
④ 連比 9：16：11，選 (C)。
⚠️ 常見錯：直接用 3：2：1 或 9：4：1，要先算「到 A 的總長」再平方相減。

觀念：平行線錯角＋對頂角 → AA 相似
① DE∥BC，BD 是截線 → 錯角 ∠EDM＝∠CBM。
②③ EC 與 BD 交於 M → 對頂角 ∠EMD＝∠CMB。
④ 兩組角相等 → AA 相似。
⚠️ 寫角要按對應順序：E↔C、M↔M、D↔B。

觀念：兩邊成比例且夾角相等 → SAS 相似
① AC＝4＋2＝6，AB＝3＋5＝8。
　AE：AC＝3：6＝1：2；AF：AB＝4：8＝1：2。
② ∠A 是兩個三角形的共用角（夾在兩邊之間）。
③ 兩邊成比例＋夾角相等 → SAS 相似。
⚠️ 注意對應：AE 對 AC、AF 對 AB（交叉對應），不是 AE 對 AB。