某國中 114 學年度 七上 第一次段考 數學

觀念：正負數與數線三要素（1-1）
‧ (A) ✗ 0 既不是正數也不是負數。
‧ (B) ✅ 負整數 −1、−2、−3…，−1 離 0 最近，所以最大。
‧ (C) ✗ 單位長可以自己訂，不一定是 1 公分。
‧ (D) ✗ 向左為正向時，愈左邊的數愈大。
⚠️ 常見錯：以為「最大的負整數」是 −∞ 或 −9。

觀念：整數的加減（1-2）
‧ (A) (−2)＋3 ＝ 1 ✗
‧ (B) (−4)＋(−6) ＝ −10 ✗（同號相加，符號不變）
‧ (C) (−3)−4 ＝ (−3)＋(−4) ＝ −7 ✅
‧ (D) (−9)−(−3) ＝ (−9)＋3 ＝ −6 ✗
⚠️ 減一個負數＝加它的相反數。

觀念：整數乘法的符號規則（1-3）
① 負號個數：(−5)、(−6)、(−8) 共 3 個（奇數）→ 結果為負。
② 數值：5×6×7×8×9×10 ＝ 15120×10 ＝ 151200
③ 答案 −151200。
⚠️ 別忘了最後還多乘一個 10。

觀念：科學記號 a×10ⁿ，1 ≤ a ＜ 10（1-4）
‧ (A) ✗ 52.4 不在 1～10 之間，應寫成 5.24×10⁸。
‧ (B) ✅ 2.7×10⁻⁵ ＝ 0.000027，介於 0 與 1 之間。
‧ (C) ✗ 8.3×10⁻⁹：從小數點後第 9 位開始出現非 0 數字。
‧ (D) ✗ 先比指數：−5 ＞ −7，所以 1.8×10⁻⁵ 大於 9.8×10⁻⁷。
⚠️ 口訣：10⁻ⁿ → 小數點後第 n 位出現第一個非 0 數字。

觀念：絕對值＝到原點的距離（1-1）
看四個點離 0 有多遠：B 最近，A 次之，C 再遠，D 離原點最遠。
所以 D 點的絕對值最大。
⚠️ 負數愈小（愈左邊），絕對值反而愈大。

觀念：大數的科學記號（1-4）
6000000000：6 後面有 9 個 0 → 6×10⁹
a ＝ 6，b ＝ 9，a＋b ＝ 15。
⚠️ 數 0 的個數要仔細，可以三位一撇：6,000,000,000。

觀念：負數的乘方——偶次方為正、奇次方為負（1-4）
① b 是 29 次方（奇數）→ 負數，最小。
② a、c 是偶次方 → 正數，即 2.9³⁰ 和 2.9²⁸。
　底數 2.9 ＞ 1，次方愈大值愈大 → c ＜ a。
③ 所以 b ＜ c ＜ a。

觀念：絕對值不等式（1-1）
133 ＝ 413，所以 |p| ＜ 4.33…
|p| 可以是 0、1、2、3、4
p ＝ −4、−3、−2、−1、0、1、2、3、4，共 9 個。
⚠️ 別漏掉 0，也別只算正的（只算正的會誤選 4）。

觀念：乘方、絕對值、零次方、相反數（1-1、1-4）
‧ 甲 ＝ (−2)⁴ ＝ 16
‧ 乙 ＝ |−9| ＝ 9
‧ 丙 ＝ 10⁰ ＝ 1（任何非 0 數的 0 次方都是 1）
‧ 丁 ＝ −13 的相反數 ＝ 13
16 最大 → 甲。
⚠️ 10⁰ 不是 0，也不是 10。

觀念：數線上的分數（1-1）
① −3 到 −2 長 1，分成五等分，每格 15。
② A 在 −3 往右第 2 格：−3 ＋ 25 ＝ −235
　（也可以想成 −2 往左第 3 格：−2 − 35 ＝ −235）
⚠️ 常見錯：從 −2 往左數 2 格誤答 −225。

觀念：正負數表示相反意義的量（1-1）
78 − 85 ＝ −7，比基準退步 7 分 → 記為 −7。
⚠️ 基準是第一次的 85 分，不是第二次的 90 分。

觀念：整數加減與絕對值（1-2）
|−36| ＝ 36
(−25) − 11 ＋ 36 ＝ (−36) ＋ 36 ＝ 0

觀念：指數運算（1-4）
(−2)⁵ ＝ −32（奇次方為負）
5² ＝ 25
−32 ＋ 25 ＝ −7
⚠️ 5² 是 5×5＝25，不是 10。

觀念：四則運算——先乘除後加減（1-3）
① 先算除法：24 ÷ (−6) ＝ −4
② (−12) − (−4) − 2 ＝ −12 ＋ 4 − 2 ＝ −10
⚠️ 不能從左算到右先做 (−12)−24。

觀念：含指數的四則運算（1-3、1-4）
① (−3)² ＝ 9，5² ＝ 25，−6² ＝ −36
② 9×4 − 3×25 − (−36)÷2
③ ＝ 36 − 75 − (−18)
④ ＝ 36 − 75 ＋ 18 ＝ −21
⚠️ −6² ＝ −(6×6) ＝ −36，和 (−6)² ＝ 36 不一樣。

觀念：數線上兩點距離（1-2）
B 可能在 A 的右邊或左邊，兩種都要寫：
‧ 右邊：−6 ＋ 6 ＝ 0
‧ 左邊：−6 − 6 ＝ −12
答案 0 或 −12。
⚠️ 只寫一個答案會被扣分。

觀念：相反數（1-1）
甲的相反數是 −5 → 甲 ＝ 5
乙的相反數是 3 → 乙 ＝ −3
甲 − 乙 ＝ 5 − (−3) ＝ 5 ＋ 3 ＝ 8

觀念：中點坐標＝(a＋b)÷2（1-2）
B ＝ [(−10) ＋ (−4)] ÷ 2 ＝ (−14) ÷ 2 ＝ −7
驗算：−10 到 −7 距離 3，−7 到 −4 距離 3 ✅

觀念：數線上的距離與比例分配（1-2）
① 兩人相距：22 − (−18) ＝ 40
② 同時出發到相遇，走的時間相同，路程比 ＝ 速率比 ＝ 甲：乙 ＝ 3：1
③ 甲走了 40 × 34 ＝ 30，從 −18 往右 30：−18 ＋ 30 ＝ 12
驗算：乙走 40 × 14 ＝ 10，22 − 10 ＝ 12 ✅

觀念：用數線比例估計大數（1-4 科學記號）
① 拿 OA 當尺量 OB：在原卷的圖中，OB 大約是 OA 的 20 多倍。
② B ≈ 20 × 10⁶ ＝ 2×10⁷ → (C)
③ 檢查其他選項：(A)、(B) 只有 OA 的 2、4 倍，B 點會很靠近 A；(D) 4×10⁸ 是 400 倍，太遠。

觀念：指數的意義——每摺一次厚度變 2 倍（1-4）
對摺 3 次 → 厚度變 2³ ＝ 8 倍
0.01 × 8 ＝ 0.08 公分
⚠️ 不是 0.01 × 3 ＝ 0.03（那是「3 張疊起來」）。

觀念：指數的倍增（1-4）
由表：對摺 20 次 ≈ 104.86 公尺，之後每多摺一次就 ×2：
‧ 21 次 ≈ 209.7 公尺
‧ 22 次 ≈ 419.4 公尺（還不到 509）
‧ 23 次 ≈ 838.9 公尺 ✅ 超過 509
答案 23 次。
⚠️ 要用「公尺」那一欄和 509 公尺比，單位別混用。

觀念：整數應用＋科學記號（1-3、1-4）
傳單重點：原價 6000 元、驚爆價限量 50 個、前 20 個每個再折 200 元、售完以原價打九折。
① 第一天 10 個賣 48000 元 → 每個 48000 ÷ 10 ＝ 4800 元（這是前 20 個的價格）
② 驚爆價 ＝ 4800 ＋ 200 ＝ 5000 元 → 第 21～50 個每個 5000 元
③ 售完後原價九折：6000 × 0.9 ＝ 5400 元 → 第 51～70 個
④ 總銷售額：
　20 × 4800 ＝ 96000
　30 × 5000 ＝ 150000
　20 × 5400 ＝ 108000
　合計 96000 ＋ 150000 ＋ 108000 ＝ 354000 元
⑤ 科學記號：3.54×10⁵ 元
⚠️ 第 21～50 個是 30 個，不是 29 個；第 51～70 個是 20 個。

觀念：整數乘法與符號（1-3）
得分對照：1→−1、2→4、3→6、4→−4、5→10、6→12
‧ 小安（3、5、4）：6 × 10 × (−4) ＝ −240
‧ 阿翔（1、1、5）：(−1) × (−1) × 10 ＝ 10
10 − (−240) ＝ 250 → 阿翔高 250 分。

觀念：乘積最小＝負的且絕對值最大（1-3）
得分對照：1→−1、2→4、3→6、4→−4、5→10、6→12
① 要最小 → 乘積必須是負數 → 紅色（負分）出現奇數次。
② 只用 1 個紅色：取絕對值最大的 −4，另兩次取最大的 12：12 × 12 × (−4) ＝ −576
③ 比較 3 個紅色：(−4)×(−4)×(−4) ＝ −64，比 −576 大。
所以最小總分是 −576。

觀念：負負得正（1-3）
得分對照：1→−1、2→4、3→6、4→−4、5→10、6→12
① 萱萱前兩次：1 → −1，2 → 4，乘積 (−1) × 4 ＝ −4（目前是負的）。
② 目前最高分是阿翔的 10 分，萱萱要超過 10。
③ 第三次要乘負數才會變正：
　‧ 擲 1：(−4) × (−1) ＝ 4，不到 10
　‧ 擲 4：(−4) × (−4) ＝ 16 ＞ 10 ✅
結論：有可能，第三次擲出 4 點就能得 16 分，成為最高分。