某國中 114 學年度 七上 第一次段考 數學

觀念：正負數表示相反意義的量（1-1）
① 兩塔高度差：468 − 508 = −40（比101低 40 公尺）
② 每 5 公尺記 1 單位：40 ÷ 5 = 8
③ 因為是「低」，記為 −8。
⚠️ 陷阱：(D) −40 是公尺數，忘了換成「每5公尺記1」。

觀念：指數記法（1-4）
「6 個 −2 連乘」＝(−2)×(−2)×(−2)×(−2)×(−2)×(−2)＝(−2)⁶。
‧ (A)(B) 6×(−2)、(−2)×6 是「6 個 −2 相加」＝ −12。
‧ (C) −2⁶ ＝ −(2⁶)＝ −64，底數只有 2，負號在外面。
‧ (D) (−2)⁶ ＝ 64 ✅ 底數要連負號一起括起來。

觀念：數線與數的大小（1-1）
−225 ＝ −2.4，位在 −3 與 −2 之間；3.5 位在 3 與 4 之間。
兩數之間的整數：−2、−1、0、1、2、3，共 6 個。
⚠️ 別漏掉 0，也別把 −3 算進去（−3 < −2.4）。

觀念：數線上兩點距離 ＝ |大數 − 小數| ＝ |a − b|（1-2）
|(−2) − (−5)| 就是坐標 −2 與 −5 兩點的距離。
坐標 −2 是 B 點、−5 是 D 點，所以是 BD 的長度。
驗算：|(−2)−(−5)| ＝ |3| ＝ 3，而 B、D 相距 3 ✅

觀念：中點坐標 ＝ (a + b) ÷ 2（1-2）
C ＝ [(−2) + 10] ÷ 2 ＝ 8 ÷ 2 ＝ 4。
另解：AB 長 ＝ 10 − (−2) ＝ 12，一半是 6，從 A 往右 6：−2 + 6 ＝ 4。

觀念：指數比大小（1-4）
甲：底數 1.2 > 1，乘愈多次愈大 → 1.2³ < 1.2⁴ < 1.2⁵ ✅
乙：−2³＝−8，−2⁴＝−16，−2⁵＝−32；負數絕對值愈大愈小 → −8 > −16 > −32 ✅
丙：(−2)³＝−8，(−2)⁴＝16，(−2)⁵＝−32；−8 > 16 錯 ❌
丁：底數 0.2 介於 0 與 1，乘愈多次愈小 → 0.008 > 0.0016 > 0.00032，原式方向相反 ❌
正確的是 甲乙。

觀念：相反數、絕對值、數線（1-1、1-2）
(甲) ❌ 一左一右不一定等距，例如 a＝−1、b＝3 就不是相反數。
(乙) ❌ 原點右邊離愈遠愈大，左邊離愈遠反而愈小（−10 < −1）。
(丙) ❌ 0 的相反數就是 0。
(丁) ❌ 最小正整數 1、最大負整數 −1：1 − (−1) ＝ 2。
(戊) ❌ |a| − |−b| ＝ |a| − |b|，而 a − (−b) ＝ a + b，一般不相等（例 a＝1、b＝1：0 ≠ 2）。
(己) ❌ −(−10) ＝ 10，10 的相反數是 −10。
全部錯，正確 0 個。

觀念：運算規則（交換、結合、分配）（1-3）
(A) ❌ (a−b)−c ＝ a−b−c；a−(b−c) ＝ a−b+c。減法沒有結合律。
(B) ❌ 除法對「除數」不能分配，例 12÷(4−2)＝6，但 12÷4−12÷2＝3−6＝−3。
(C) ❌ (a÷b)÷c ＝ a÷(b×c)，不是 a÷(b÷c)。除法沒有結合律。
(D) ✅ (a−b)÷c ＝ (a−b)×(1/c) ＝ a÷c − b÷c，被除數可以拆開（分配律）。

觀念：整數乘法的正負判斷（1-3）
四種取法：
‧ 2×3×(−5) ＝ −30
‧ 2×3×(−6) ＝ −36
‧ 2×(−5)×(−6) ＝ 60
‧ 3×(−5)×(−6) ＝ 90
最大 a ＝ 90（兩個負數＋較大的正數），最小 b ＝ −36（一個負數且絕對值最大）。
a − b ＝ 90 − (−36) ＝ 126。

觀念：絕對值的幾何意義（1-2）
‧ |a| ＝ A 到原點 O 的距離，即 AO
‧ |a − b| ＝ A 到 B 的距離，即 AB
題意：AO > AB，也就是 B 比 O 更靠近 A。
(A) 順序 A、B、O：B 夾在 A 與 O 之間，AO > AB ✅
(B) A、O、B：B 在 O 外側，AB > AO ❌
(C) B、A、O：圖中 AB 很長、AO 很短，AB > AO ❌
(D) A、O、B：AB > AO ❌
答案 (A)。

觀念：負因數個數決定正負（1-3）
負數是 −2、−4、−6、…、−50，共 50 ÷ 2 ＝ 25 個。
負數個數 25 是奇數 → 乘積為 負 數。

觀念：兩點距離（1-2）
B 可能在 A 的右邊或左邊 10 單位：
‧ 右邊：−3 + 10 ＝ 7
‧ 左邊：−3 − 10 ＝ −13
答案 7 或 −13（兩個都要寫才給分）。

觀念：數線上比大小（1-1）
‧ −5.68 在 −6 與 −5 之間，比它小的整數 −6、−7、… 中最大的是 a ＝ −6
‧ −225 ＝ −2.4，在 −3 與 −2 之間，比它大的整數 −2、−1、… 中最小的是 b ＝ −2
a × b ＝ (−6)×(−2) ＝ 12。
⚠️ 常見錯：把 a 寫成 −5（−5 比 −5.68 大）。

觀念：減去一數＝加上它的相反數（1-2）
(−15) − (−7) + 5 + (−6)
＝ −15 + 7 + 5 − 6
＝ (−15 − 6) + (7 + 5)
＝ −21 + 12 ＝ −9

觀念：分配律逆用，提出公因數（1-3）
兩項都有 (−58)：
＝ (−58) × [(−31) + 131]
＝ (−58) × 100
＝ −5800

觀念：整數加減（1-2）
先算中括號：(−765) − (−294) ＝ −765 + 294 ＝ −471
再加：−471 + 771 ＝ 300
（另解：−765 + 771 ＝ 6，6 + 294 ＝ 300，搭配湊整更快。）

觀念：指數的底數看括號（1-4）
‧ (−1)³ ＝ (−1)×(−1)×(−1) ＝ −1
‧ (−1²) ＝ −(1×1) ＝ −1（只有 1 被平方，負號在外）
−1 + (−1) ＝ −2

觀念：四則運算順序──先乘除、後加減（1-3）
先算乘除：(−24) ÷ 12 ＝ −2；2 × 8 ＝ 16
原式 ＝ (−12) − (−2) + 16 − 6
＝ −12 + 2 + 16 − 6
＝ 0

觀念：絕對值與括號由內而外（1-2）
① |34 − 43| ＝ |−9| ＝ 9
② 小括號：12 − 30 ＝ −18
③ 中括號：−(−1) − 2 ＝ 1 − 2 ＝ −1
④ 大括號：(−18) − (−1) ＝ −18 + 1 ＝ −17
⑤ 9 − (−17) ＝ 9 + 17 ＝ 26

觀念：含指數的四則運算：先指數、再乘除、後加減（1-4）
① 先算指數：(−3)² ＝ 9；(−5²) ＝ −25；2³ ＝ 8；(−2)² ＝ 4
② 絕對值內：72 ÷ 9 + (−25) × 8 ＝ 8 + (−200) ＝ −192
③ |−192| ＝ 192
④ 192 ÷ 4 ＝ 48
⚠️ (−5²) 是 −25，不是 25。

觀念：括號 → 指數 → 乘除 → 加減（1-4）
① 中括號內：(−2)³ ＝ −8，(−8) ÷ (−4) ＝ 2，8 + 2 ＝ 10
② (−2)² ＝ 4，4 × 10 ＝ 40
③ |−5| ＝ 5
④ 30 − 40 + 5 ＝ −5

觀念：找公因數 28，用分配律簡化（1-3）
56 ＝ 28×2，112 ＝ 28×4：
‧ 56 × (−234) ＝ 28 × (−468)
‧ (−112) × 33 ＝ 28 × (−132)
原式 ＝ 28 × [(−468) + (−132) + 620]
＝ 28 × 20
＝ 560

觀念：利用已知乘積＋判斷正負（1-3）
‧ 正負：5 個負數（奇數個）→ 結果為負
‧ 數值：6×7×8×9 ＝ 60480 ÷ (4×5) ＝ 60480 ÷ 20 ＝ 3024
　3024 × 10 ＝ 30240
答案 −30240

觀念：絕對值的兩種可能＋乘積正負（1-2、1-3）
|a| ＝ 6 → a ＝ 6 或 −6；|−b| ＝ |b| ＝ 4 → b ＝ 4 或 −4
a × b < 0 → a、b 異號：
‧ a ＝ 6、b ＝ −4：a + b ＝ 2
‧ a ＝ −6、b ＝ 4：a + b ＝ −2
答案 2 或 −2

觀念：絕對值不等式與整數個數（1-2）
設甲數為 n，|x| < n 的整數是 −(n−1)、…、−1、0、1、…、(n−1)
個數 ＝ (n−1) 個負數 ＋ 1 個 0 ＋ (n−1) 個正數 ＝ 2n − 1
2n − 1 ＝ 37 → n ＝ 19
驗算：|x| < 19 → −18 ~ 18，共 18+1+18 ＝ 37 ✅

觀念：拆數＋分配律（1-3）
把 6667 拆成 6666 + 1：
5555 × 6667 ＝ 5555 × 6666 + 5555
原式 ＝ 5555 × 6666 + 4445 × 6666 + 5555 − 15555
＝ (5555 + 4445) × 6666 − 10000
＝ 10000 × 6666 − 10000
＝ 66660000 − 10000
＝ 66650000

觀念：指數成長（倒推法）（1-4）
每 10 天變 2 倍 → 往回推 10 天就是「一半」。
第 100 天長滿（全部），那麼前一個 10 天（第 90 天）時是全部的 1/2。
答案 90 天。
⚠️ 常見錯：100 ÷ 2 ＝ 50 天，那是把「倍增」誤當成「每天長一樣多」。
驗算：第 90 天量 × 2 ＝ 第 100 天量（滿園）✅

觀念：在數線上標點（1-1）
先由 0、1 確定單位長＝每一格 1，往右為正、往左為負。
‧ A(5)：0 右邊第 5 格
‧ B(3.5)：3 與 4 正中間
‧ C(−435) ＝ −4.6：在 −5 與 −4 之間，較靠近 −5（距 −4 有 0.6 格）
‧ D(−23) ≈ −0.67：在 −1 與 0 之間，靠近 −1（把該格三等分，取離 0 第 2 等分）

觀念：正負數表示上升／下降（1-2）
上升記 +、下降記 −：
0 + 8 + (−2) ＝ 6（公尺）

觀念：規律＋注意「白天就爬到頂」不會再下滑（1-2、1-3）
每一整天（一晝一夜）淨上升 8 − 2 ＝ 6 公尺。
第 n 天早上出發時高度 ＝ 6 × (n − 1)，當天白天最高到 6(n − 1) + 8。
‧ 第 4 天：早上 18 m，白天到 26 m（未到 31）
‧ 第 5 天：早上 24 m，白天到 24 + 8 ＝ 32 m ≥ 31 ✅
所以第 5 天爬到牆頂。
⚠️ 常見錯：31 ÷ 6 ≈ 5.17 → 答第 6 天。錯在最後一天白天就到頂，不用再扣晚上的 2 公尺。

觀念：正負數應用（1-3 四則運算）
彩球記 +100，白球記 −50：
1000 + 7 × 100 + 5 × (−50)
＝ 1000 + 700 − 250
＝ 1450 元

觀念：從條件推出球數，再計算（1-3）
① 共 10 + 14 ＝ 24 顆，兩組輪流抽到完 → 每組各抽 12 顆。
② 籌備組獎金不變 → 加碼淨額 0：設抽到彩球 x 顆、白球 (12 − x) 顆
　100x − 50(12 − x) ＝ 0 → 150x ＝ 600 → x ＝ 4
　籌備組：彩球 4、白球 8（驗算 400 − 400 ＝ 0 ✅）
③ 販賣組：彩球 10 − 4 ＝ 6 顆、白球 14 − 8 ＝ 6 顆
④ 1000 + 6 × 100 + 6 × (−50) ＝ 1000 + 600 − 300 ＝ 1300 元
（還沒學方程式也可用試的：彩球 1 顆 +100 要 2 顆白球 −100 抵銷，故白球是彩球的 2 倍，4 + 8 ＝ 12。）