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📐 國中數學 1 上　第 2 章　因數、倍數與分數的運算

節→觀念，逐題點圓圈數字 1、2、3… 展開步驟解析；全部點開後自動顯示答案　‧　每觀念附段考題目練習（會考／題庫真題＋改編）

📖 目錄

第 2 章　因數、倍數與分數的運算
2-1 因數與倍數2-2 最大公因數與最小公倍數2-3 分數的四則運算2-4 指數律
第 2 章因數、倍數與分數的運算
2-1因數與倍數
觀念
1因數與倍數的意義

💡 概念說明

  • 對於 a、b、c 三個非零整數，若滿足 a÷b=c 或 a=b×c，則 b、c 是 a 的因數，a 是 b、c 的倍數。例如 6÷2=3，可知 6 是 2、3 的倍數，2、3 是 6 的因數。
  • 要找出一個數的所有因數，可把它拆成兩個正整數的乘積（寫成 a×b），由 1 開始一組一組往下配對，就不會遺漏。
  • 1 是任何整數的因數；任何整數也都是 1 的倍數。
  • 因為 0 不能當除數，所以 0 不是任何整數的因數；但 0 是任何非零整數的倍數。
  • 把一個數的因數由小到大排列，可看出頭尾相乘的配對關係（如 54：1×54、2×27、3×18、6×9）。
  • 在國中階段若沒有特別指明，因數指正因數，倍數指正倍數。
👨‍🏫 老師講解
講 1將 54 寫成 a×b（a、b 為正整數），並由小到大寫出 54 的所有因數。P.2
從 1 開始一組一組配對：54=1×54，接著 54=2×27。
再往下試：54=3×18，54=6×9，之後就沒有新的配對了。
把每組的兩個數蒐集起來，由小到大排好。
54 的因數有 1、2、3、6、9、18、27、54
講 2有一正整數 M 的所有因數由小到大排列為 1、2、3、a、6、b、15、M，求 a、b、M 的值。P.2
因數會頭尾配對，最小的 2 會和最大的 15 相乘得到 M，所以 M=2×15=30。
把 30 寫成兩數乘積：30=1×30=2×15=3×10=5×6。
對照排列，第 4 個是 a、第 6 個是 b，得 a=5、b=10。
M=30、a=5、b=10
講 3判斷下列說法是否正確：（1）1 是 35 的因數；（2）0 是 7 的倍數。P.2
1 是任何整數的因數，所以「1 是 35 的因數」正確。
0 是任何非零整數的倍數，因為 0=7×0，所以「0 是 7 的倍數」正確。
（1）正確；（2）正確
講 4有兩個正整數，乘積為 63、和為 16，求這兩個正整數。P.2
先把 63 拆成兩個正整數的乘積：63=1×63=3×21=7×9。
分別算每組的和：1+63=64、3+21=24、7+9=16。
只有 7 和 9 的和是 16，符合條件。
這兩個正整數是 7 和 9
✏️ 學生練習
練 1將 36 寫成 c×d（c、d 為正整數），並由小到大寫出 36 的所有因數。P.2
從 1 開始配對：36=1×36=2×18=3×12。
再往下：36=4×9=6×6，6×6 之後不再有新配對。
蒐集所有數字由小到大排列。
36 的因數有 1、2、3、4、6、9、12、18、36
練 2有一正整數 N 的所有因數由小到大排列為 1、2、c、8、N，求 c、N 的值。P.3
頭尾配對：最小的 2 乘最大的 8 得 N，所以 N=2×8=16。
把 16 寫成乘積：16=1×16=2×8=4×4。
對照排列，第 3 個是 c，得 c=4。
c=4、N=16
練 3判斷下列說法是否正確：（1）1 是 36 的因數；（2）0 是 12 的倍數。P.3
1 是任何整數的因數，所以「1 是 36 的因數」正確。
0=12×0，0 是任何非零整數的倍數，所以「0 是 12 的倍數」正確。
（1）正確；（2）正確
練 4有兩個正整數，乘積為 24、和為 10，求這兩個正整數。P.3
把 24 拆成兩個正整數的乘積：24=1×24=2×12=3×8=4×6。
分別算每組的和：25、14、11、10。
只有 4 和 6 的和是 10，符合條件。
這兩個正整數是 4 和 6
🏆 段考題目練習（6題）
考 1會考 107某文具店販售的筆記本每本售價均相等且超過 10 元。小錦購買筆記本的花費為 36 元，則小勳購買筆記本的花費可能為下列何者？
(A) 16 元　(B) 27 元　(C) 30 元　(D) 48 元P.3
36 的因數有 1、2、3、4、6、9、12、18、36；每本售價相等且超過 10 元，故每本可能為 12、18 或 36 元。
48=12×4，可買每本 12 元的筆記本 4 本，故 48 元可能。
(D)
考 2會考 110矩形蛋糕橫切、縱切成大小相同小塊，四周有焦脆邊，「所有側面都不焦脆」的內部小塊橫向×縱向個數為內部總數，橫向刀數=橫向內部塊數+1、縱向亦然。想恰好切出 60 個內部小塊，在不超過 20 刀下需切幾刀？寫出所有可能。P.3
設內部小塊橫向 h、縱向 v，h×v=60，總刀數=(h+1)+(v+1)。
6×10→18 刀；5×12→19 刀（其餘因數對總刀數皆>20）。
故需 18 刀或 19 刀。
18 刀或 19 刀
考 3題庫網·康軒期中2翠屏水果行欲將 348 顆芒果分裝成禮盒，若每個禮盒最多裝 12 顆芒果且每盒芒果數一樣多，則至少需要多少個禮盒？
(1) 29 個　(2) 30 個　(3) 31 個　(4) 32 個P.4
每盒顆數需為 348 的因數且不超過 12，取最大者 12（348÷12＝29 剛好整除）。
盒數最少＝348÷12＝29 個。
(1)
考 4題庫網·康軒期中2將正整數 N 的所有正因數由小到大排列如下：1、2、4、a、b、c、25、d、N，則 N 與 b 的值分別為何？
(1) N=100, b=10　(2) N=100, b=5　(3) N=50, b=10　(4) N=200, b=20P.4
含因數 4 與 25，故 N 是 100 的倍數；剛好 9 個因數取 N＝100，其因數為 1,2,4,5,10,20,25,50,100，對照可知 b＝10。
(1)
考 5題庫網·翰林期中2若 n 是正整數，36n 也是正整數，則滿足此條件的 n 共有幾個？
(1) 6　(2) 7　(3) 8　(4) 9P.4
36n 為正整數 → n 是 36 的因數；36＝2²×3²，因數個數＝(2+1)×(2+1)＝9 個。
(4)
考 6改編某商店每包糖果售價均相等且超過 8 元。小明買糖果共花 48 元，則小華買糖果的花費可能為下列何者？
(A) 15 元　(B) 20 元　(C) 36 元　(D) 50 元P.4
48 的因數有 1、2、3、4、6、8、12、16、24、48；每包售價相等且超過 8 元，故每包可能為 12、16、24 或 48 元。
花費必須是某個可能售價的整數倍：36=12×3，可買每包 12 元的糖果 3 包。
15、20、50 都無法寫成 12、16、24、48 的整數倍，故不可能。
(C)
觀念
22、5、4 的倍數判別法

💡 概念說明

  • 2 的倍數：個位數字是 0、2、4、6、8。2 的倍數又稱為偶數，不是 2 的倍數稱為奇數。
  • 5 的倍數：個位數字是 0 或 5。
  • 10 的倍數：個位數字是 0。因為此時個位是 0，同時符合 2 和 5 的判別，所以 10 的倍數一定同時是 2 和 5 的倍數。
  • 4 的倍數：末兩位數是「00」或末兩位數是 4 的倍數。（因為 100 是 4 的倍數，只要看末兩位即可）
  • 判別這些倍數時，只要檢查關鍵的末幾位數字，不必把整個數真的除完。
👨‍🏫 老師講解
講 1已知五位數 1234□ 同時是 2 的倍數，也是 5 的倍數，求 □ 中可填入的數。P.5
是 2 的倍數，個位可填 0、2、4、6、8。
是 5 的倍數，個位可填 0、5。
兩個條件都要成立，取共同的數字。
□ 中可填入 0
講 2判斷 201798 是不是 4 的倍數。P.5
看末兩位數，也就是 98。
算 98÷4=24…2，有餘數 2，表示 98 不是 4 的倍數。
末兩位不是 4 的倍數，整個數就不是 4 的倍數。
201798 不是 4 的倍數
講 3已知五位數 9176□ 是 4 的倍數，求 □ 中可填入的數。P.5
4 的倍數只看末兩位數，也就是 6□。
找出 60～69 中是 4 的倍數的：60、64、68。
所以個位 □ 可填 0、4、8。
□ 中可填入 0、4、8
講 4已知六位數 8654□2 是 4 的倍數，求 □ 中可填入的數。P.5
看末兩位數 □2。
找出十位為 □、個位為 2 且是 4 的倍數的兩位數：12、32、52、72、92。
對應的 □ 為 1、3、5、7、9。
□ 中可填入 1、3、5、7、9
✏️ 學生練習
練 1已知五位數 3728□ 同時是 2 的倍數，也是 5 的倍數，求 □ 中可填入的數。P.6
是 2 的倍數，個位可填 0、2、4、6、8。
是 5 的倍數，個位可填 0、5。
取兩者共同的數字。
□ 中可填入 0
練 2判斷 5566 是不是 4 的倍數。P.6
看末兩位數，也就是 66。
算 66÷4=16…2，有餘數 2，66 不是 4 的倍數。
末兩位不是 4 的倍數，整個數就不是。
5566 不是 4 的倍數
練 3已知五位數 2538□ 是 4 的倍數，求 □ 中可填入的數。P.6
4 的倍數只看末兩位數 8□。
找出 80～89 中是 4 的倍數的：80、84、88。
所以 □ 可填 0、4、8。
□ 中可填入 0、4、8
練 4已知六位數 7412□6 是 4 的倍數，求 □ 中可填入的數。P.6
看末兩位數 □6。
找出個位為 6 且是 4 的倍數的兩位數：16、36、56、76、96。
對應的 □ 為 1、3、5、7、9。
□ 中可填入 1、3、5、7、9
🏆 段考題目練習（6題）
考 1題庫網·南一期中2若五位數 4581□ 同時是 3 與 5 的倍數，則 □ 內可以填入哪一個數字？
(1) 0　(2) 2　(3) 5　(4) 8P.6
是 5 的倍數 → 個位為 0 或 5；是 3 的倍數 → 各位和 4+5+8+1+□＝18+□ 為 3 倍數，□∈{0,3,6,9}。
兩者交集為 0。
(1)
考 2改編已知五位數 4826□ 同時是 2 的倍數，也是 5 的倍數，求 □ 中可填入的數。P.7
是 2 的倍數，個位可填 0、2、4、6、8。
是 5 的倍數，個位可填 0、5。
取兩者共同的數字。
0
考 3改編判斷 73418 是不是 4 的倍數。P.7
4 的倍數只看末兩位數，也就是 18。
算 18÷4=4…2，有餘數 2，18 不是 4 的倍數。
末兩位不是 4 的倍數，整個數就不是 4 的倍數。
73418 不是 4 的倍數
考 4改編已知五位數 6234□ 是 4 的倍數，求 □ 中可填入的數。P.7
4 的倍數只看末兩位數 4□。
找出 40～49 中是 4 的倍數的：40、44、48。
所以 □ 可填 0、4、8。
0、4、8
考 5改編已知六位數 5127□4 是 4 的倍數，求 □ 中可填入的數。P.7
看末兩位數 □4。
找出個位為 4 且是 4 的倍數的兩位數：04、24、44、64、84。
對應的 □ 為 0、2、4、6、8。
0、2、4、6、8
考 6改編下列哪一個數是 4 的倍數？
(A) 3714　(B) 5162　(C) 7328　(D) 9046P.7
4 的倍數只看末兩位數。
14÷4、62÷4、46÷4 都有餘數，只有 28÷4=7 整除。
故 7328 是 4 的倍數。
(C)
觀念
33、9、11 的倍數判別法

💡 概念說明

  • 3 的倍數：各個數字和是 3 的倍數。
  • 9 的倍數：各個數字和是 9 的倍數。
  • 11 的倍數：「奇數位數字和」與「偶數位數字和」的差是 11 的倍數或 0。
  • 一個數若是 9 的倍數，就一定是 3 的倍數；但一個數是 3 的倍數，不一定是 9 的倍數（例如 12 是 3 的倍數，卻不是 9 的倍數）。
  • 判別 3、9 的倍數是把各位數字相加；判別 11 的倍數是把奇、偶位分別相加再相減。
👨‍🏫 老師講解
講 1判斷 3333999 是不是 9 的倍數。P.8
把各個數字相加：3+3+3+3+9+9+9=39。
看 39 是不是 9 的倍數：39÷9=4…3，不是 9 的倍數。
數字和不是 9 的倍數，整個數就不是 9 的倍數。
3333999 不是 9 的倍數
講 2已知六位數 24□005 是 9 的倍數，求 □ 中可填入的數。P.8
把各個數字相加：2+4+□+0+0+5=11+□。
因為整個數是 9 的倍數，所以 11+□ 也要是 9 的倍數。
□ 只能是 0～9，使 11+□=18 的 □ 是 7。
□ 中可填入 7
講 3已知六位數 30□010 是 3 的倍數，求 □ 中可填入的數。P.8
把各個數字相加：3+0+□+0+1+0=4+□。
整個數是 3 的倍數，所以 4+□ 也要是 3 的倍數。
□ 為 0～9，使 4+□ 是 3 的倍數（6、9、12）的 □ 是 2、5、8。
□ 中可填入 2、5、8
講 4已知六位數 2□0028 是 11 的倍數，求 □ 中可填入的數。P.8
奇數位（由右數第 1、3、5 位）數字和＝8+0+□=8+□。
偶數位（由右數第 2、4、6 位）數字和＝2+0+2=4。
兩者的差 (8+□)-4 要是 0 或 11 的倍數，使其等於 11 的 □ 是 7。
□ 中可填入 7
✏️ 學生練習
練 1判斷 111111111 是不是 9 的倍數。P.8
把各個數字相加：1+1+1+1+1+1+1+1+1=9。
9 是 9 的倍數。
數字和是 9 的倍數，整個數就是 9 的倍數。
111111111 是 9 的倍數
練 2已知六位數 283□32 是 9 的倍數，求 □ 中可填入的數。P.9
把各個數字相加：2+8+3+□+3+2=18+□。
整個數是 9 的倍數，所以 18+□ 也要是 9 的倍數。
□ 為 0～9，使 18+□ 是 9 的倍數（18 或 27）的 □ 是 0、9。
□ 中可填入 0、9
練 3已知四位數 4□32 是 3 的倍數，求 □ 中可填入的數。P.9
把各個數字相加：4+□+3+2=9+□。
整個數是 3 的倍數，所以 9+□ 也要是 3 的倍數。
□ 為 0～9，使 9+□ 是 3 的倍數的 □ 是 0、3、6、9。
□ 中可填入 0、3、6、9
練 4已知五位數 3□156 是 11 的倍數，求 □ 中可填入的數。P.9
奇數位（由右數第 1、3、5 位）數字和＝6+1+3=10。
偶數位（由右數第 2、4 位）數字和＝5+□。
兩者的差 10-(5+□)=5-□ 要是 0 或 11 的倍數，使其等於 0 的 □ 是 5。
□ 中可填入 5
🏆 段考題目練習（6題）
考 1會考 113甲、乙兩個最簡分數分別為 10a、18b，a、b 為正整數。若通分成相同分母後，甲的分子變為 50，乙的分子變為 54，則關於 a 的敘述何者正確？
(A) a 是 3 的倍數，也是 5 的倍數　(B) a 是 3 的倍數，但不是 5 的倍數　(C) a 是 5 的倍數，但不是 3 的倍數　(D) a 不是 3 的倍數，也不是 5 的倍數P.9
10a 為最簡分數，10 與 a 互質，a 不是 5 的倍數。
通分後 5a=3b，故 a 是 3 的倍數。
(B)
考 2題庫網·南一期中2判別以下數字，有幾個是 11 的倍數？ 8173、444、5555、72413、81928
(1) 2 個　(2) 4 個　(3) 3 個　(4) 5 個P.9
11 倍數判別：奇位數字和與偶位數字和之差為 11 的倍數。
8173、5555、72413、81928 皆符合，444 不符，共 4 個。
(2)
考 3題庫網·翰林期中2如果六位數 125□64 是 3 的倍數，那麼 □ 內可以填入下列哪一個數字？
(1) 0　(2) 2　(3) 4　(4) 5P.10
是 3 的倍數 → 各位數字和 1+2+5+□+6+4＝18+□ 為 3 倍數，□∈{0,3,6,9}；選項中只有 0 符合。
(1)
考 4改編已知六位數 51□204 是 9 的倍數，求 □ 中可填入的數。P.10
把各個數字相加：5+1+□+2+0+4=12+□。
整個數是 9 的倍數，所以 12+□ 也要是 9 的倍數。
□ 為 0～9，使 12+□=18 的 □ 是 6。
6
考 5改編已知五位數 7□125 是 3 的倍數，求 □ 中可填入的數。P.10
把各個數字相加：7+□+1+2+5=15+□。
整個數是 3 的倍數，所以 15+□ 也要是 3 的倍數。
□ 為 0～9，使 15+□ 是 3 的倍數（15、18、21、24）的 □ 是 0、3、6、9。
0、3、6、9
考 6改編已知六位數 4□0913 是 11 的倍數，求 □ 中可填入的數。P.10
奇數位（由右數第 1、3、5 位）數字和＝3+9+□=12+□。
偶數位（由右數第 2、4、6 位）數字和＝1+0+4=5。
兩者的差 (12+□)-5=7+□ 要是 0 或 11 的倍數，使其等於 11 的 □ 是 4。
4
觀念
4質數與合數

💡 概念說明

  • 一個大於 1 的整數，除了 1 和本身以外沒有其他因數，這樣的數稱為質數（如 2、11、17）。
  • 一個大於 1 的整數，除了 1 和本身以外還有其他因數，這樣的數稱為合數（如 4、15、51）。
  • 1 既不是質數也不是合數；最小的合數是 4。
  • 2 是最小的質數，也是質數中唯一的偶數。
  • 要判斷一個正整數是質數還是合數，只要看小於它的質數是否為它的因數即可。
  • 用質數篩檢法（篩法），在 1 到 100 中保留 2、3、5、7 並刪去它們的倍數，剩下的數都是質數（共 25 個）。
👨‍🏫 老師講解
講 1分別判斷 21 和 23 是質數還是合數。P.11
檢查 21：3 和 7 都是 21 的因數，除了 1 和本身外還有其他因數，所以 21 是合數。
檢查 23：把小於 23 的質數 2、3、5、7、11、13、17、19 逐一檢查，都不是 23 的因數。
23 除了 1 和本身找不到其他因數，所以 23 是質數。
21 是合數；23 是質數
講 2分別判斷 31 和 39 是質數還是合數。P.11
檢查 31：小於 31 的質數 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29 都不是 31 的因數。
所以 31 是質數。
檢查 39：3 和 13 都是 39 的因數，所以 39 是合數。
31 是質數；39 是合數
講 3用邊長為 1 的小正方形緊密排成矩形且不剩下：（1）12 個可排出幾種不同形狀的矩形？（2）13 個呢？P.11
矩形面積=長×寬，所以要把個數分解成兩個因數的乘積。
12=1×12=2×6=3×4，共有 3 種長寬組合，可排出 3 種矩形。
13 是質數，只有 13=1×13，所以只能排出 1 種矩形。
（1）3 種；（2）1 種
講 4用邊長為 1 的小正方形緊密排成矩形且不剩下，若有 36 個，可排出幾種不同形狀的矩形？P.11
把 36 分解成兩個因數的乘積。
36=1×36=2×18=3×12=4×9=6×6，共 5 種長寬組合。
每一種組合對應一種矩形。
可排出 5 種矩形
✏️ 學生練習
練 1分別判斷 27 和 29 是質數還是合數。P.11
檢查 27：3 和 9 都是 27 的因數，除了 1 和本身外還有其他因數，所以 27 是合數。
檢查 29：小於 29 的質數 2、3、5、7、11、13、17、19、23 都不是 29 的因數。
所以 29 是質數。
27 是合數；29 是質數
練 2分別判斷 41 和 51 是質數還是合數。P.11
檢查 41：小於 41 的質數 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37 都不是 41 的因數。
所以 41 是質數。
檢查 51：3 和 17 都是 51 的因數，所以 51 是合數。
41 是質數；51 是合數
練 3用邊長為 1 的小正方形緊密排成矩形且不剩下，若有 18 個，可排出幾種不同形狀的矩形？P.12
把 18 分解成兩個因數的乘積。
18=1×18=2×9=3×6，共 3 種長寬組合。
每一種組合對應一種矩形。
可排出 3 種矩形
練 4用邊長為 1 的小正方形緊密排成矩形且不剩下，若有 24 個，可排出幾種不同形狀的矩形？P.12
把 24 分解成兩個因數的乘積。
24=1×24=2×12=3×8=4×6，共 4 種長寬組合。
每一種組合對應一種矩形。
可排出 4 種矩形
🏆 段考題目練習（6題）
考 1會考 109下列何者可表示成兩個質數的乘積？
(A) 81　(B) 82　(C) 83　(D) 84P.12
81=34；82=2×41（2 與 41 皆為質數）；83 為質數；84=22×3×7。
故 82 可表示成兩質數乘積。
(B)
考 2改編下列何者可表示成兩個質數的乘積？
(A) 27　(B) 28　(C) 29　(D) 26P.12
27=33、28=22×7 都是三個質數相乘，29 本身是質數。
26=2×13，2 與 13 皆為質數，剛好是兩個質數的乘積。
(D)
考 3改編分別判斷 43 和 57 是質數還是合數。P.12
檢查 43：小於 43 的質數 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41 都不是 43 的因數，所以 43 是質數。
檢查 57：3 和 19 都是 57 的因數，除了 1 和本身外還有其他因數，所以 57 是合數。
43 是質數；57 是合數
考 4改編用邊長為 1 的小正方形緊密排成矩形且不剩下，若有 20 個，可排出幾種不同形狀的矩形？P.13
把 20 分解成兩個因數的乘積。
20=1×20=2×10=4×5，共 3 種長寬組合。
每一種組合對應一種矩形。
可排出 3 種矩形
考 5改編下列敘述何者正確？
(A) 1 是最小的質數　(B) 2 是唯一的偶數質數　(C) 所有奇數都是質數　(D) 最小的合數是 6P.13
1 既不是質數也不是合數，(A) 錯；9=3×3 是奇數卻是合數，(C) 錯；最小的合數是 4，(D) 錯。
2 是最小的質數，也是質數中唯一的偶數，(B) 正確。
(B)
考 6改編50 以內（含 50）的質數共有幾個？P.13
用篩檢法從 2 開始保留質數並刪去其倍數。
50 以內的質數為 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47。
數一數共有 15 個。
15 個
觀念
5質因數分解與標準分解式

💡 概念說明

  • 一個整數的因數如果也是質數，就稱為這個整數的質因數（例如 18 的因數中 2、3 是質數，即 18 的質因數）。
  • 每一個合數都可以分解成質因數的連乘積，這個過程稱為質因數分解，常用短除法來做。
  • 把質因數分解寫成指數形式，並將相異質因數由小排到大，這樣的表示法就是標準分解式。
  • 例如 72=2×2×2×3×3=23×32，表示 72 是 3 個 2 和 2 個 3 的連乘積。
  • 做題時先用短除法一直除到商為質數，再把相同的質因數用指數合併。
👨‍🏫 老師講解
講 1將 180 用標準分解式表示，並寫出所有的質因數。P.14
用短除法：180÷2=90，90÷2=45，45÷3=15，15÷3=5，5 是質數。
所以 180=2×2×3×3×5。
把相同質因數用指數合併：180=22×32×5。
180=22×32×5，質因數為 2、3、5
講 2將 105 與 150 分別用標準分解式表示，並寫出所有的質因數。P.14
105：105÷3=35，35÷5=7，7 是質數，所以 105=3×5×7。
150：150÷2=75，75÷3=25，25÷5=5，所以 150=2×3×5×5=2×3×52。
分別列出各自的質因數。
105=3×5×7，質因數為 3、5、7；150=2×3×52，質因數為 2、3、5
講 3把 2030 拆成 4 個相異正整數的乘積，再將這 4 個數分成 2 組、每組 2 個相加。若兩組的和分別代表「日」與「月」（且日、月要合理），求這組月與日。P.14
先做質因數分解：2030=2×5×7×29，剛好是 4 個相異質數。
把最大的 29 和別的數配對算和：29+2=31（合理的日），29+5=34、29+7=36 都太大不合。
剩下的 5+7=12 當作月分，所以是 12 月 31 日。
12 月 31 日
講 4將 2268 寫成標準分解式 2a×bc×d，求 a、b、c、d 依序排成的四碼 abcd。P.14
用短除法：2268÷2=1134，1134÷2=567，567÷3=189，189÷3=63，63÷3=21，21÷3=7。
所以 2268=22×34×7，對照 2a×bc×d 得 a=2、b=3、c=4、d=7。
依序排成四碼。
2268=22×34×7，abcd 為 2347
✏️ 學生練習
練 1將 200 用標準分解式表示，並寫出所有的質因數。P.14
用短除法：200÷2=100，100÷2=50，50÷2=25，25÷5=5，5 是質數。
所以 200=2×2×2×5×5。
用指數合併：200=23×52。
200=23×52，質因數為 2、5
練 2將 175 與 242 分別用標準分解式表示，並寫出所有的質因數。P.15
175：175÷5=35，35÷5=7，7 是質數，所以 175=5×5×7=52×7。
242：242÷2=121，121÷11=11，所以 242=2×11×11=2×112。
分別列出各自的質因數。
175=52×7，質因數為 5、7；242=2×112，質因數為 2、11
練 3將 12×3×57 做質因數分解，並以標準分解式表示。P.15
先把每個數各自分解：12=2×2×3，3=3，57=3×19。
全部相乘：2×2×3×3×3×19。
把相同質因數用指數合併，並由小到大排列。
12×3×57=22×33×19
練 4將 231192 寫成標準分解式 2a×b2×13c×19d，求 a、b、c、d 依序排成的四碼 abcd。P.15
用短除法：231192 連除 2 兩次得 57798，再除得…最後 231192=23×32×132×19。
對照 2a×b2×13c×19d，得 a=3、b=3、c=2、d=1。
依序排成四碼。
231192=23×32×132×19，abcd 為 3321
🏆 段考題目練習（6題）
考 1會考 111下列何者為 156 的質因數？
(A) 11　(B) 12　(C) 13　(D) 14P.15
156=22×3×13，質因數有 2、3、13。
故選 13。
(C)
考 2會考 112有多少個正整數是 18 的倍數，同時也是 216 的因數？
(A) 2　(B) 6　(C) 10　(D) 12P.15
18=2×32，216=23×33。
符合者為 2a×3b（1≤a≤3，2≤b≤3），共 6 個。
(B)
考 3會考 115正整數 M 除了 M 之外最大的因數是 22×11；正整數 N 除了 N 之外最大的因數是 3×13。甲：8 一定是 M 的因數；乙：9 一定是 N 的因數。何者正確？
(A) 甲、乙皆正確　(B) 甲、乙皆錯誤　(C) 甲正確，乙錯誤　(D) 甲錯誤，乙正確P.16
「除自身外最大的因數」=M÷(最小質因數)。
M÷(22×11)=最小質因數=2，M=23×11，8 是因數，甲對。
N÷(3×13) 可為 2（N=2×3×13），9 不是因數，乙錯。
(C)
考 4題庫網·康軒期中2下列哪一個數不是 6440 的質因數？
(1) 13　(2) 5　(3) 23　(4) 7P.16
6440＝23×5×7×23，質因數為 2、5、7、23；13 不在其中。
故選 13。
(1)
考 5題庫網·康軒期中2下列哪一個數是 3×72 的因數？
(1) 32×7　(2) 3×7　(3) 3×73　(4) 2×72P.16
3×72 的因數，質因數只能是 3（最多 1 個）與 7（最多 2 個）。
(2) 3×7 符合；(1) 有 32、(3) 有 73、(4) 有 2，皆不符。
(2)
考 6題庫網·南一期中2小華將他的生日 10 月 15 日寫成一個四位數 1015，並將 1015 的所有相異質因數由小到大排列作為密碼，請問該密碼為何？
(1) 57203　(2) 5729　(3) 1015　(4) 51113P.16
1015＝5×7×29，相異質因數由小到大為 5、7、29，接成密碼即 5729。
(2)
2-2最大公因數與最小公倍數
觀念
1公因數、最大公因數與互質

💡 概念說明

  • 幾個整數共同的因數，稱為這幾個整數的公因數。
  • 所有公因數中最大的數，稱為最大公因數（GCD），通常以符號 (a , b) 表示，例如 (12 , 18) = 6。
  • 幾個數的所有公因數，都會是最大公因數的因數（例如 12、18 的公因數 1、2、3、6 都是 6 的因數）。
  • 如果兩個整數的最大公因數為 1，就稱這兩個整數互質，例如 (16 , 35) = 1，所以 16 和 35 互質。
  • 互質的兩數不一定都是質數，例如 (8 , 9) = 1，但 8 和 9 都不是質數。
👨‍🏫 老師講解
講 1分別列出 12 和 18 的因數，並找出它們的最大公因數 (12 , 18)。P.17
12 的因數有：1、2、3、4、6、12。
18 的因數有：1、2、3、6、9、18。
兩者共同的因數（公因數）為 1、2、3、6。
公因數中最大的是 6，所以 (12 , 18) = 6。
(12 , 18) = 6
講 2求 36、48、92 三數的最大公因數 (36 , 48 , 92)。P.17
36 的因數：1、2、3、4、6、9、12、18、36。
48 的因數：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。
92 的因數：1、2、4、23、46、92。
三數共同的因數為 1、2、4，其中最大的是 4，所以 (36 , 48 , 92) = 4。
(36 , 48 , 92) = 4
講 3判斷 12 和 33 是否互質。P.17
先找出兩數的公因數：12 的因數有 1、2、3、4、6、12；33 的因數有 1、3、11、33。
共同的因數為 1 和 3，所以 (12 , 33) = 3。
因為最大公因數是 3，不等於 1，所以 12 和 33 不互質。
(12 , 33) = 3，不互質
講 4說明 8 和 9 是否互質？它們是不是質數？由此可得到什麼結論？P.18
8 的因數：1、2、4、8；9 的因數：1、3、9。
共同的因數只有 1，所以 (8 , 9) = 1，8 和 9 互質。
但 8 = 2×2×2、9 = 3×3，兩個都是合數，都不是質數。
所以「互質」不代表兩數都是質數，只要最大公因數為 1 就互質。
8、9 互質，但都不是質數
✏️ 學生練習
練 1分別列出 16 和 24 的因數，並找出它們的最大公因數 (16 , 24)。P.18
16 的因數有：1、2、4、8、16。
24 的因數有：1、2、3、4、6、8、12、24。
兩者共同的因數為 1、2、4、8。
公因數中最大的是 8，所以 (16 , 24) = 8。
(16 , 24) = 8
練 2求 24、36、60 三數的最大公因數 (24 , 36 , 60)。P.18
24 的因數：1、2、3、4、6、8、12、24。
36 的因數：1、2、3、4、6、9、12、18、36。
60 的因數：1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60。
三數共同的因數中最大的是 12，所以 (24 , 36 , 60) = 12。
(24 , 36 , 60) = 12
練 3判斷 15 和 28 是否互質。P.18
15 的因數：1、3、5、15；28 的因數：1、2、4、7、14、28。
共同的因數只有 1，所以 (15 , 28) = 1。
因為最大公因數是 1，所以 15 和 28 互質。
(15 , 28) = 1，互質
練 4判斷 9 和 25 是否互質？它們是不是質數？P.18
9 的因數：1、3、9；25 的因數：1、5、25。
共同的因數只有 1，所以 (9 , 25) = 1，9 和 25 互質。
但 9 = 3×3、25 = 5×5，兩個都是合數，都不是質數。
9、25 互質，但都不是質數
🏆 段考題目練習（6題）
考 1會考 108若正整數 a 和 420 的最大公因數為 35，則下列敘述何者正確？
(A) 20 可能是 a 的因數，25 可能是 a 的因數　(B) 20 可能是 a 的因數，25 不可能是 a 的因數　(C) 20 不可能是 a 的因數，25 可能是 a 的因數　(D) 20 不可能是 a 的因數，25 不可能是 a 的因數P.19
420=22×3×5×7，35=5×7，故 a 是 5 及 7 的倍數，且不含質因數 2、3。
20=22×5 含質因數 2，不可能是 a 的因數；25=52 只含質因數 5，可能是 a 的因數。
(C)
考 2題庫網·南一期中2下列哪一選項中的兩數互質？
(1) 15、35　(2) 18、25　(3) 143、33　(4) 39、91P.19
18＝2×3²、25＝5²，無共同質因數，最大公因數為 1，故互質。
其餘各組分別有公因數 5、11、13。
(2)
考 3改編分別列出 48 和 60 的因數，並找出它們的最大公因數 (48 , 60)。P.19
48 的因數：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。
60 的因數：1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60。
兩者共同的因數為 1、2、3、4、6、12。
公因數中最大的是 12，所以 (48 , 60) = 12。
(48 , 60) = 12，公因數為 1、2、3、4、6、12
考 4改編下列哪一組兩數互質？
(A) 21、49　(B) 16、27　(C) 24、30　(D) 35、42P.19
16=24、27=33，沒有共同質因數，最大公因數為 1，故互質。
其餘各組分別有公因數 7、6、7，最大公因數不是 1。
(B)
考 5改編判斷 14 和 45 是否互質。P.19
14 的因數：1、2、7、14；45 的因數：1、3、5、9、15、45。
共同的因數只有 1，所以 (14 , 45) = 1。
因為最大公因數是 1，所以 14 和 45 互質。
(14 , 45) = 1，互質
考 6改編關於「互質」的敘述，下列何者正確？
(A) 兩數互質，則兩數都一定是質數　(B) 兩數都是合數，就一定不會互質　(C) 相鄰的兩個正整數（如 8 和 9）一定互質　(D) 一個偶數和一個奇數一定互質P.20
(A) 錯：8、9 互質，但都不是質數。(B) 錯：8、9 都是合數卻互質。
(C) 對：相鄰兩正整數最大公因數必為 1，一定互質。(D) 錯：6（偶）與 9（奇）最大公因數為 3，不互質。
(C)
觀念
2求最大公因數（短除法、標準分解式）

💡 概念說明

  • 短除法：把幾個數並排，每一層都同時除以它們的公因數，一直除到沒有共同質因數為止。
  • 左邊所有除數的連乘積就是最大公因數。
  • 求三個數的最大公因數時，短除法必須是三數都有的公因數才能除。
  • 標準分解式法：先把各數寫成標準分解式，取共同的質因數，每個共同質因數取次方最小者，再相乘即為最大公因數。
  • 若各數沒有共同質因數，則最大公因數為 1（互質）。
👨‍🏫 老師講解
講 1用短除法求 36 和 84 的最大公因數 (36 , 84)。P.20
36、84 同除以 2，得 18、42。
18、42 再同除以 2，得 9、21。
9、21 再同除以 3，得 3、7；3 和 7 已沒有共同質因數，停止。
把左邊除數相乘：2×2×3 = 12，所以 (36 , 84) = 12。
(36 , 84) = 12
講 2用短除法求 54、72、84 的最大公因數 (54 , 72 , 84)。P.20
三數同除以 2，得 27、36、42。
27、36、42 再同除以 3，得 9、12、14。
9、12、14 三數已沒有共同質因數，停止。
把左邊除數相乘：2×3 = 6，所以 (54 , 72 , 84) = 6。
(54 , 72 , 84) = 6
講 3已知 a = 24×32、b = 23×3×5，用標準分解式求 (a , b)。P.21
找出共同的質因數：a、b 都含有 2 和 3（b 有 5 但 a 沒有，5 不取）。
質因數 2：a 是 24、b 是 23，取次方較小的 23。
質因數 3：a 是 32、b 是 31，取次方較小的 31。
相乘得 (a , b) = 23×3 = 24。
(a , b) = 23×3（即 24）
講 4求 (23×32×5 , 33×5)，並以標準分解式表示。P.21
兩數共同的質因數為 3 和 5（第一數的 2 只有它自己有，不取）。
質因數 3：分別為 32 與 33，取次方較小的 32。
質因數 5：兩數都是 51，取 51。
相乘得 (23×32×5 , 33×5) = 32×5（即 45）。
32×5（即 45）
✏️ 學生練習
練 1用短除法求 48 和 72 的最大公因數 (48 , 72)。P.21
48、72 同除以 2，得 24、36。
24、36 再同除以 2，得 12、18；再同除以 2，得 6、9。
6、9 再同除以 3，得 2、3；2 和 3 已沒有共同質因數，停止。
把左邊除數相乘：2×2×2×3 = 24，所以 (48 , 72) = 24。
(48 , 72) = 24
練 2用短除法求 24、60、84 的最大公因數 (24 , 60 , 84)。P.21
三數同除以 2，得 12、30、42。
12、30、42 再同除以 2，得 6、15、21。
6、15、21 再同除以 3，得 2、5、7；三數已沒有共同質因數，停止。
把左邊除數相乘：2×2×3 = 12，所以 (24 , 60 , 84) = 12。
(24 , 60 , 84) = 12
練 3已知 a = 23×32、b = 22×3×52，用標準分解式求 (a , b)。P.21
找出共同的質因數：a、b 都含有 2 和 3（b 有 5 但 a 沒有，不取）。
質因數 2：a 是 23、b 是 22，取次方較小的 22。
質因數 3：a 是 32、b 是 31，取次方較小的 31。
相乘得 (a , b) = 22×3 = 12。
(a , b) = 22×3（即 12）
練 4求 (2×5×11 , 3×52×11 , 32×5×112)，並以標準分解式表示。P.21
找出三數都有的質因數：只有 5 和 11 三個都含有（2、3 不是三數共有，不取）。
質因數 5：分別為 51、52、51，取次方最小的 51。
質因數 11：分別為 111、111、112，取次方最小的 111。
相乘得最大公因數 = 5×11（即 55）。
5×11（即 55）
🏆 段考題目練習（6題）
考 1改編用短除法求 60 和 90 的最大公因數 (60 , 90)。P.22
60、90 同除以 2，得 30、45。
30、45 再同除以 3，得 10、15；再同除以 5，得 2、3。
2 和 3 已沒有共同質因數，停止。
把左邊除數相乘：2×3×5 = 30，所以 (60 , 90) = 30。
(60 , 90) = 30
考 2改編用短除法求 48、72、120 的最大公因數 (48 , 72 , 120)。P.22
三數同除以 2，得 24、36、60；再同除以 2，得 12、18、30；再同除以 2，得 6、9、15。
6、9、15 再同除以 3，得 2、3、5。
2、3、5 已沒有共同質因數，停止。
把左邊除數相乘：2×2×2×3 = 24，所以 (48 , 72 , 120) = 24。
(48 , 72 , 120) = 24
考 3改編已知 a = 22×33×5、b = 23×3×52，用標準分解式求 (a , b)。P.22
找出共同的質因數：a、b 都含有 2、3、5。
質因數 2：a 是 22、b 是 23，取次方較小的 22。
質因數 3：a 是 33、b 是 31，取次方較小的 31；質因數 5：a 是 51、b 是 52，取 51。
相乘得 (a , b) = 22×3×5 = 60。
(a , b) = 22×3×5（即 60）
考 4改編求 (23×32×7 , 22×33)，並以標準分解式表示。
(A) 22×32　(B) 23×33　(C) 22×33×7　(D) 23×32×7P.22
共同的質因數只有 2 和 3（7 只有第一數有，不取）。
質因數 2：取次方較小的 22；質因數 3：取次方較小的 32。
相乘得 22×32（即 36）。
(A)
考 5改編用短除法求 84 和 126 的最大公因數 (84 , 126)。P.22
84、126 同除以 2，得 42、63。
42、63 再同除以 3，得 14、21；再同除以 7，得 2、3。
2 和 3 已沒有共同質因數，停止。
把左邊除數相乘：2×3×7 = 42，所以 (84 , 126) = 42。
(84 , 126) = 42
考 6改編求三數的最大公因數 (36 , 60 , 96)。
(A) 6　(B) 12　(C) 24　(D) 4P.22
三數同除以 2，得 18、30、48；再同除以 2，得 9、15、24；再同除以 3，得 3、5、8。
3、5、8 已沒有共同質因數，停止。
把左邊除數相乘：2×2×3 = 12，所以 (36 , 60 , 96) = 12。
(B)
觀念
3公倍數、最小公倍數與求法

💡 概念說明

  • 幾個整數共同的倍數，稱為這幾個整數的公倍數。
  • 公倍數中最小的（正）數，稱為最小公倍數（LCM），通常以符號 [a , b] 表示，例如 [4 , 6] = 12。
  • 幾個數的所有公倍數，都是最小公倍數的倍數。
  • 短除法求 LCM：一直除到任兩數都沒有共同質因數為止（三數時可只除其中兩數，除不到的數照抄），把所有除數與最底層的數字全部連乘就是最小公倍數。
  • 標準分解式求 LCM：列出所有出現過的質因數，每個質因數取次方最大者，再相乘。
👨‍🏫 老師講解
講 1分別列出 4 和 6 的倍數，並找出最小公倍數 [4 , 6]。P.23
4 的倍數：4、8、12、16、20、24、……。
6 的倍數：6、12、18、24、30、……。
兩者共同的倍數（公倍數）有 12、24、……。
公倍數中最小的是 12，所以 [4 , 6] = 12。
[4 , 6] = 12
講 2用短除法求 36 和 84 的最小公倍數 [36 , 84]。P.23
36、84 同除以 2，得 18、42；再同除以 2，得 9、21。
9、21 再同除以 3，得 3、7；3 和 7 已沒有共同質因數，停止。
把左邊所有除數與最底層數字相乘：2×2×3×3×7。
算得 [36 , 84] = 22×32×7 = 252。
[36 , 84] = 252
講 3用短除法求 54、72、84 的最小公倍數 [54 , 72 , 84]。P.23
三數同除以 2，得 27、36、42；再同除以 3，得 9、12、14。
9、12、14 中 12、14 還有公因數 2，除以 2（9 照抄），得 9、6、7。
9、6 還有公因數 3，除以 3（7 照抄），得 3、2、7；任兩數都互質，停止。
把所有除數與最底層數字相乘：2×3×2×3×3×2×7 = 23×33×7 = 1512。
[54 , 72 , 84] = 1512
講 4已知 a = 23×32×5、b = 3×52×7，用標準分解式求 [a , b]。P.23
列出所有出現過的質因數：2、3、5、7。
質因數 2：只有 a 有 23，取 23；質因數 3：a 是 32、b 是 31，取 32。
質因數 5：a 是 51、b 是 52，取 52；質因數 7：只有 b 有 7，取 7。
相乘得 [a , b] = 23×32×52×7。
[a , b] = 23×32×52×7
✏️ 學生練習
練 1分別列出 6 和 8 的倍數，並找出最小公倍數 [6 , 8]。P.24
6 的倍數：6、12、18、24、30、……。
8 的倍數：8、16、24、32、……。
兩者共同的倍數有 24、48、……。
公倍數中最小的是 24，所以 [6 , 8] = 24。
[6 , 8] = 24
練 2用短除法求 48 和 60 的最小公倍數 [48 , 60]。P.24
48、60 同除以 2，得 24、30；再同除以 2，得 12、15。
12、15 再同除以 3，得 4、5；4 和 5 已沒有共同質因數，停止。
把左邊所有除數與最底層數字相乘：2×2×3×4×5。
算得 [48 , 60] = 24×3×5 = 240。
[48 , 60] = 240
練 3用短除法求 12、18、20 的最小公倍數 [12 , 18 , 20]。P.24
三數同除以 2，得 6、9、10。
6、9、10 中 6、10 還有公因數 2，除以 2（9 照抄），得 3、9、5。
3、9 還有公因數 3，除以 3（5 照抄），得 1、3、5；任兩數都互質，停止。
把所有除數與最底層數字相乘：2×2×3×1×3×5 = 22×32×5 = 180。
[12 , 18 , 20] = 180
練 4已知 a = 3×5、b = 32×53、c = 22×3×5，用標準分解式求 [a , b , c]。P.24
列出所有出現過的質因數：2、3、5。
質因數 2：只有 c 有 22，取 22。
質因數 3：分別為 31、32、31，取次方最大的 32。
質因數 5：分別為 51、53、51，取次方最大的 53；相乘得 [a , b , c] = 22×32×53。
[a , b , c] = 22×32×53
🏆 段考題目練習（6題）
考 1題庫網·翰林期中2甲：「a 是 6 的倍數，也是 8 的倍數，則 a 一定是 48 的倍數。」乙：「a 是 6 的倍數，也是 5 的倍數，則 a 一定是 30 的倍數。」下列選項何者正確？
(1) 兩人皆正確　(2) 甲正確、乙錯誤　(3) 甲錯誤、乙正確　(4) 兩人皆錯誤P.24
同時是兩數的倍數 → 一定是「最小公倍數」的倍數。
[6,8]＝24（非 48），故甲錯；[6,5]＝30，故乙對。
(3)
考 2會考 114已知 a、b、c 皆為正整數，且 a、b 的最大公因數與最小公倍數分別為 11 與 88。甲：a、b、c 三數的最大公因數可能比 11 大；乙：a、b、c 三數的最小公倍數可能比 88 小。何者正確？
(A) 甲、乙皆正確　(B) 甲、乙皆錯誤　(C) 甲正確，乙錯誤　(D) 甲錯誤，乙正確P.25
(a,b,c) 必為 (a,b)=11 的因數，不大於 11，甲錯；[a,b,c] 必為 [a,b]=88 的倍數，不小於 88，乙錯。
(B)
考 3改編分別列出 6 和 9 的倍數，並找出最小公倍數 [6 , 9]。P.25
6 的倍數：6、12、18、24、……。
9 的倍數：9、18、27、36、……。
兩者共同的倍數有 18、36、……。
公倍數中最小的是 18，所以 [6 , 9] = 18。
[6 , 9] = 18
考 4改編用短除法求 24 和 36 的最小公倍數 [24 , 36]。P.25
24、36 同除以 2，得 12、18；再同除以 2，得 6、9。
6、9 再同除以 3，得 2、3；2 和 3 已沒有共同質因數，停止。
把左邊所有除數與最底層數字相乘：2×2×3×2×3。
算得 [24 , 36] = 23×32 = 72。
[24 , 36] = 72
考 5改編已知 a = 22×3×5、b = 2×33、c = 3×52，用標準分解式求 [a , b , c]。P.25
列出所有出現過的質因數：2、3、5。
質因數 2：分別為 22、21，取次方最大的 22。
質因數 3：分別為 31、33、31，取次方最大的 33；質因數 5：分別為 51、52，取 52。
相乘得 [a , b , c] = 22×33×52 = 2700。
[a , b , c] = 22×33×52（即 2700）
考 6改編用短除法求 10、15、18 的最小公倍數 [10 , 15 , 18]。
(A) 45　(B) 90　(C) 180　(D) 270P.25
10、18 有公因數 2，除以 2（15 照抄），得 5、15、9。
15、9 有公因數 3，除以 3（5 照抄），得 5、5、3；再把 5、5 除以 5（3 照抄），得 1、1、3。
任兩數都互質，停止。把所有除數與最底層數字相乘：2×3×5×1×1×3 = 90。
(B)
觀念
4最大公因數與最小公倍數的關係

💡 概念說明

  • 任意兩正整數的最大公因數與最小公倍數的乘積，等於這兩數的乘積：(a , b)×[a , b] = a×b。
  • 已知兩數乘積與其中一個（GCD 或 LCM），就能利用這個關係求出另一個。
  • 特別地，若 a、b 互質（(a , b) = 1），則 [a , b] = a×b。
  • 這個關係只適用於兩個數，三個以上的數不成立。
👨‍🏫 老師講解
講 1已知兩正整數 a、b，其中 a×b = 120、[a , b] = 60，求 a、b 兩數的最大公因數 (a , b)。P.26
利用公式 (a , b)×[a , b] = a×b。
代入：(a , b)×60 = 120。
兩邊同除以 60，得 (a , b) = 120÷60 = 2。
(a , b) = 2
講 2已知兩數的 (a , b) = 6、[a , b] = 36，求這兩數的乘積 a×b。P.26
利用公式 a×b = (a , b)×[a , b]。
代入：a×b = 6×36。
算得 a×b = 216。
a×b = 216
講 3以 12 和 18 為例，驗證 (12 , 18)×[12 , 18] = 12×18。P.26
先求最大公因數：(12 , 18) = 6。
再求最小公倍數：[12 , 18] = 36。
左式 = 6×36 = 216；右式 = 12×18 = 216。
兩邊相等，公式成立。
6×36 = 216 = 12×18，成立
講 4已知 a = 22×32、b = 22×3×7，先求 (a , b) 與 [a , b]，再驗證 (a , b)×[a , b] = a×b。P.26
共同質因數取次方小者：(a , b) = 22×3 = 12。
所有質因數取次方大者：[a , b] = 22×32×7 = 252。
(a , b)×[a , b] = 12×252 = 3024。
a×b = (22×32)×(22×3×7) = 24×33×7 = 3024，兩邊相等。
(a , b) = 12、[a , b] = 252，且 12×252 = 3024 = a×b
✏️ 學生練習
練 1已知兩正整數 a、b，其中 a×b = 200、[a , b] = 100，求 (a , b)。P.27
利用公式 (a , b)×[a , b] = a×b。
代入：(a , b)×100 = 200。
兩邊同除以 100，得 (a , b) = 200÷100 = 2。
(a , b) = 2
練 2已知兩數的 (a , b) = 8、[a , b] = 48，求這兩數的乘積 a×b。P.27
利用公式 a×b = (a , b)×[a , b]。
代入：a×b = 8×48。
算得 a×b = 384。
a×b = 384
練 3以 8 和 20 為例，驗證 (8 , 20)×[8 , 20] = 8×20。P.27
先求最大公因數：(8 , 20) = 4。
再求最小公倍數：[8 , 20] = 40。
左式 = 4×40 = 160；右式 = 8×20 = 160。
兩邊相等，公式成立。
4×40 = 160 = 8×20，成立
練 4已知兩正整數 a、b，其中 a×b = 360、(a , b) = 6，求 [a , b]。P.27
利用公式 (a , b)×[a , b] = a×b。
代入：6×[a , b] = 360。
兩邊同除以 6，得 [a , b] = 360÷6 = 60。
[a , b] = 60
🏆 段考題目練習（6題）
考 1會考 110若 a、b 為正整數，且 a×b=25×32×5，則下列何者不可能為 a、b 的最大公因數？
(A) 1　(B) 6　(C) 8　(D) 12P.27
設 (a,b)=c，則 a=cm、b=cn 且 (m,n)=1，a×b=c2×mn，故 c2 須為 a×b 的因數。
82=26，但 a×b 中 2 只有 25，26 無法整除，故 8 不可能是最大公因數。
(C)
考 2題庫網·康軒期中2已知兩正整數 a、b，其中 a×b＝3024、[a, b]＝252，則 a、b 的最大公因數＝？
(1) 6　(2) 12　(3) 18　(4) 24P.28
最大公因數×最小公倍數＝兩數乘積，故 (a,b)＝a×b÷[a,b]＝3024÷252＝12。
(2)
考 3改編已知兩正整數 a、b，其中 a×b = 180、[a , b] = 90，求 (a , b)。P.28
利用公式 (a , b)×[a , b] = a×b。
代入：(a , b)×90 = 180。
兩邊同除以 90，得 (a , b) = 180÷90 = 2。
(a , b) = 2
考 4改編已知兩數的 (a , b) = 9、[a , b] = 54，求這兩數的乘積 a×b。P.28
利用公式 a×b = (a , b)×[a , b]。
代入：a×b = 9×54。
算得 a×b = 486。
a×b = 486
考 5改編已知兩正整數 a、b，其中 a×b = 600、(a , b) = 10，求 [a , b]。P.28
利用公式 (a , b)×[a , b] = a×b。
代入：10×[a , b] = 600。
兩邊同除以 10，得 [a , b] = 600÷10 = 60。
[a , b] = 60
考 6改編已知兩數互質，且兩數的乘積為 143，求這兩數的最小公倍數。
(A) 1　(B) 11　(C) 13　(D) 143P.28
兩數互質時 (a , b) = 1，由公式 (a , b)×[a , b] = a×b。
代入：1×[a , b] = 143，所以 [a , b] = 143（即兩互質數的最小公倍數等於兩數乘積）。
(D)
觀念
5最大公因數與最小公倍數的應用問題

💡 概念說明

  • 分裝、剪裁、分組等「盡量分得多、又要平分且分完」的問題，求的是最大公因數。
  • 週期（幾天後再一起）、鋪磁磚拼正方形、公車同時發車等「再一次同時發生、且要最少」的問題，求的是最小公倍數。
  • 間隔（種樹、路燈）問題：先用 GCD 或 LCM 求出間隔距離，再算數量。
  • 判斷用哪個：想把東西分得越大越好就用 GCD；想把週期湊到再一次重合、越小越好就用 LCM。
  • 沿著封閉一圈（如長方形四周）種樹且四頂點都種時，棵數 = 周長 ÷ 間隔（間隔數等於棵數）。
👨‍🏫 老師講解
講 1水果店把 36 個梨子和 60 個蘋果分裝成禮盒，每盒水果個數要一樣多且全部分完，一盒最多可放幾個水果？P.29
「每盒一樣多且分完」表示每盒個數是 36 和 60 的公因數。
要「最多」，就是求 36 和 60 的最大公因數。
(36 , 60) = 2×2×3 = 12。
所以每盒最多可放 12 個水果。
一盒最多放 12 個
講 2小翊每 8 天、小妍每 10 天、小靖每 14 天各到公園跑步一次。今天三人都到公園，最少再幾天三人才會再度同一天到公園？P.29
三人再度同一天到，經過的天數要同時是 8、10、14 的公倍數。
要「最少」，就是求 8、10、14 的最小公倍數。
[8 , 10 , 14]：8 = 23、10 = 2×5、14 = 2×7，取各質因數最大次方。
[8 , 10 , 14] = 23×5×7 = 280，所以最少再 280 天。
最少再 280 天
講 3用若干塊長 60 公分、寬 50 公分的長方形磁磚，長邊接長邊、短邊接短邊緊密拼成一個正方形。正方形最小邊長為何？面積是多少平方公分？P.29
正方形邊長要同時是 60 和 50 的公倍數，邊長要最小就是求最小公倍數。
[60 , 50]：60 = 22×3×5、50 = 2×52，取各質因數最大次方。
[60 , 50] = 22×3×52 = 300，所以最小邊長 300 公分。
面積 = 300×300 = 90000 平方公分。
最小邊長 300 公分，面積 90000 平方公分
講 4有一塊長 315 公尺、寬 135 公尺的長方形土地，想在周圍種樹，相鄰兩樹距離要相等且四個頂點都種。相鄰兩樹最大距離是幾公尺？共要種幾棵樹？P.30
相鄰距離相等且最大，就是求 315 和 135 的最大公因數。
(315 , 135) = 5×3×3 = 45，所以最大間隔是 45 公尺。
長方形周長 = (315＋135)×2 = 900 公尺。
沿一圈種且頂點都種，棵數 = 周長÷間隔 = 900÷45 = 20，共種 20 棵。
最大距離 45 公尺，共種 20 棵
✏️ 學生練習
練 1把 48 顆糖果和 72 片餅乾分裝成同樣的袋子，每袋糖果一樣多、餅乾也一樣多且全部分完，一袋最多可裝幾顆糖果？P.30
「每袋一樣多且分完」表示每袋數量是 48 和 72 的公因數。
要「最多」，就是求 48 和 72 的最大公因數。
(48 , 72) = 2×2×2×3 = 24。
所以一袋最多可裝 24 顆糖果（同時餅乾也裝到最多）。
一袋最多裝 24 顆
練 2三路公車分別每 6 分鐘、9 分鐘、15 分鐘發車一次。若三車同時發車後，最少再幾分鐘會再次同時發車？P.30
再次同時發車經過的時間要同時是 6、9、15 的公倍數。
要「最少」，就是求 6、9、15 的最小公倍數。
[6 , 9 , 15]：6 = 2×3、9 = 32、15 = 3×5，取各質因數最大次方。
[6 , 9 , 15] = 2×32×5 = 90，所以最少再 90 分鐘。
最少再 90 分鐘
練 3用若干塊長 40 公分、寬 30 公分的長方形磁磚，緊密拼成一個正方形。正方形最小邊長為何？面積是多少平方公分？P.30
正方形邊長要同時是 40 和 30 的公倍數，邊長要最小就是求最小公倍數。
[40 , 30]：40 = 23×5、30 = 2×3×5，取各質因數最大次方。
[40 , 30] = 23×3×5 = 120，所以最小邊長 120 公分。
面積 = 120×120 = 14400 平方公分。
最小邊長 120 公分，面積 14400 平方公分
練 4有一塊長 420 公尺、寬 252 公尺的長方形土地，想在周圍種樹，相鄰兩樹距離相等且四頂點都種。相鄰兩樹最大距離是幾公尺？共要種幾棵樹？P.30
相鄰距離相等且最大，就是求 420 和 252 的最大公因數。
(420 , 252) = 2×2×3×7 = 84，所以最大間隔是 84 公尺。
長方形周長 = (420＋252)×2 = 1344 公尺。
棵數 = 周長÷間隔 = 1344÷84 = 16，共種 16 棵。
最大距離 84 公尺，共種 16 棵
🏆 段考題目練習（6題）
考 1會考 114A、B 兩種長方形紙片尺寸為 16×5、18×5 公分，貼成大長方形，奇數層 A、偶數層 B、最後一層為 A。(1) 第一層最少幾個 A？(2) 每組 A:B=4:3，若第一層 A 數量同(1)，判斷能否恰好用完並說明。P.31
(1) 每層長需為 [16,18]=144，144÷16=9，A 最少 9 個。
(2) 設 B 有 x 層、A 有 x+1 層，9(x+1):8x=4:3 得 5x=27，非整數，故不可能。
(1) 9 個；(2) 不可能
考 2題庫網·康軒期中2江翠國中安排 90 位本校學生與 126 位新加坡學生交流，將學生分成若干組，要求每組本校學生人數相等、新加坡學生人數也相等，且每人都分到組。若每組總人數介於 20 到 30 人之間，則每組共有多少位學生？
(1) 22　(2) 24　(3) 26　(4) 28P.31
分組數 g 需同時整除 90 與 126，故 g 是 (90,126)＝18 的因數；每組人數＝90+126g＝216g，要 20~30 → g＝9，每組 216÷9＝24 人。
(2)
考 3題庫網·康軒期中2三角形公園三邊長分別為 150 公尺、120 公尺、90 公尺，沿周圍種樹，相鄰兩棵樹距離相等且三頂點都要種樹，則樹與樹之間的最長距離為多少公尺？
(1) 10 公尺　(2) 20 公尺　(3) 30 公尺　(4) 40 公尺P.31
樹距需同時整除三邊長，最長距離＝(150,120,90) 的最大公因數＝30 公尺。
(3)
考 4題庫網·南一期中2有一貨櫃內部長、寬、高分別為 480 公分、300 公分、180 公分。若想將此貨櫃裝滿大小相同的正方體禮盒且不留縫隙，則在禮盒邊長最大的情況下，總共需要多少個禮盒？
(1) 60　(2) 180　(3) 120　(4) 240P.31
正方體邊長最大＝(480,300,180) 的最大公因數＝60；個數＝(480÷60)×(300÷60)×(180÷60)＝8×5×3＝120。
(3)
考 5改編有一條 84 公分長的紅緞帶和一條 126 公分長的藍緞帶，要各自剪成一樣長且最長的小段，都不剩下。每一小段最長幾公分？兩條緞帶共剪成幾段？P.32
每段一樣長且剪完，段長是 84 和 126 的公因數；要「最長」就求最大公因數。
(84 , 126)：84 = 22×3×7、126 = 2×32×7，取共同質因數次方小者，(84 , 126) = 2×3×7 = 42。
紅緞帶分成 84÷42 = 2 段，藍緞帶分成 126÷42 = 3 段。
所以每段最長 42 公分，共剪成 2＋3 = 5 段。
每段最長 42 公分，共 5 段
考 6改編兩座燈塔，一座每 12 秒閃一次燈，另一座每 18 秒閃一次燈。若某一刻兩座燈塔同時閃燈，則最少再過幾秒兩座燈塔會再次同時閃燈？
(A) 6 秒　(B) 36 秒　(C) 72 秒　(D) 216 秒P.32
再次同時閃燈經過的秒數要同時是 12 和 18 的公倍數，要「最少」就求最小公倍數。
[12 , 18]：12 = 22×3、18 = 2×32，取各質因數最大次方，[12 , 18] = 22×32 = 36。
所以最少再過 36 秒兩座燈塔會再次同時閃燈。
(B)
2-3分數的四則運算
觀念
1分數的加減運算（通分）

💡 概念說明

  • 同分母相加減時，分母不變，把分子直接相加或相減。
  • 異分母相加減時，要先通分（化成相同分母，通常取分母的最小公倍數），再把分子相加減。
  • 含負分數時，可把負號放到分子，用第1章的整數加減規則來算，例如 (−75)+(−95)=((−7)+(−9))/5。
  • 帶分數加減可先化成假分數再算，也可以把整數部分與分數部分分開算再合併。
  • 算完的結果記得約分成最簡分數，假分數也可寫成帶分數。
👨‍🏫 老師講解
講 1計算 (−78) − (−38)P.33
同分母，分母8不變，分子做 (−7)−(−3)。
減去負數等於加正數：(−7)−(−3)=(−7)+3=−4。
得到 −48，約分（分子分母同除以4）。
化成最簡分數 −12。
−12
講 2計算 (−56) − 118P.33
分母不同要先通分，6和8的最小公倍數是24。
−56=−2024，118=3324。
相減：−20−3324=−5324。
−5324 是假分數，也可寫成帶分數 −2524。
−5324（或 −2524）
講 3計算 23 − (−34) + (−16)P.33
分母3、4、6的最小公倍數是12，先通分。
23=812，−34=−912，−16=−212。
式子變成 812 −(−912) + (−212) = 812 + 912 − 212。
分子相加減 8+9−212=1512，約分得 54（即114）。
54（或 114）
講 4計算 (−234) + 127P.33
先把帶分數化成假分數：−234=−114，127=97。
分母4和7的最小公倍數是28，先通分。
−114=−7728，97=3628。
相加 −77+3628=−4128，即 −11328。
−4128（或 −11328）
✏️ 學生練習
練 1計算 (−910) − (−310)P.33
同分母，分母10不變，分子做 (−9)−(−3)。
(−9)−(−3)=(−9)+3=−6。
得到 −610，分子分母同除以2約分。
化成最簡分數 −35。
−35
練 2計算 (−34) − 76P.33
分母4和6的最小公倍數是12，先通分。
−34=−912，76=1412。
相減：−9−1412=−2312。
化成帶分數為 −11112。
−2312（或 −11112）
練 3計算 34 − (−23) + (−56)P.34
分母4、3、6的最小公倍數是12，先通分。
34=912，−23=−812，−56=−1012。
式子變成 912 + 812 − 1012。
分子相加減 9+8−1012=712，已是最簡分數。
712
練 4計算 (−156) + 214P.34
先化假分數：−156=−116，214=94。
分母6和4的最小公倍數是12，先通分。
−116=−2212，94=2712。
相加 −22+2712=512。
512
🏆 段考題目練習（6題）
考 1會考 108算式 -53-(-16) 之值為何？
(A) -32　(B) -43　(C) -116　(D) -49P.34
-53-(-16)=-53+16=-106+16=-96=-32。
(A)
考 2會考 110已知 a=-5223，b=6263，c=-7293，判斷下列各式之值何者最大？
(A) |a+b+c|　(B) |a+b-c|　(C) |a-b+c|　(D) |a-b-c|P.34
化簡各式：(C) |a-b+c|=|-(5223+6263+7293)|=5223+6263+7293，為三個正分數相加，絕對值最大。
(C)
考 3會考 111算式 922+1118-(2322-718) 之值為何？
(A) 411　(B) 910　(C) 19　(D) 54P.34
=922+1118-2322+718=(922-2322)+(1118+718)=-1422+1=822=411。
(A)
考 4會考 112已知 a=-1，b=-134，c=-158，下列關於 a、b、c 三數的大小關係，何者正確？
(A) a>c>b　(B) a>b>c　(C) b>c>a　(D) c>b>aP.35
b=-134=-168。
因 -1>-158>-168，故 a>c>b。
(A)
考 5會考 113算式 37-(-14) 之值為何？
(A) 1928　(B) 528　(C) 411　(D) 23P.35
37-(-14)=37+14=1228+728=1928。
(A)
考 6改編算式 (−74) − (−23) 之值為何？
(A) −512　(B) −1312　(C) −2912　(D) 1312P.35
減去負數等於加正數：−74 − (−23) = −74 + 23。
分母4和3的最小公倍數是12，通分：−74=−2112，23=812。
−21+812 = −1312。
(B)
觀念
2分數的乘法運算（含約分）

💡 概念說明

  • 分數相乘：分子×分子當新分子，分母×分母當新分母。
  • 含帶分數相乘時，要先把帶分數化成假分數再相乘。
  • 先判斷正負號：兩分數同號相乘得正、異號相乘得負，再算數字部分。
  • 計算時可先約分再相乘（分子與分母交叉約去公因數）比較簡便。
  • 多個分數連乘時：偶數個負數相乘得正、奇數個負數相乘得負，先定符號再算。
👨‍🏫 老師講解
講 1計算 (−32) × 14P.36
一正一負相乘，結果為負。
數字部分：分子3×1=3，分母2×4=8。
得到 −38。
3和8互質，已是最簡分數。
−38
講 2計算 (−37) × (−1415)P.36
兩個負數相乘，結果為正。
計算 37 × 1415，可先約分：14和7約去7，3和15約去3。
約分後為 11 × 25 = 25。
結果為正，答案是 25。
25
講 3計算 (−213) × (−521) × (−115)P.36
有3個負數（奇數個），乘積為負。
帶分數化假分數：−213=−73，−115=−65。
算數字 73 × 521 × 65，逐步約分：73×521=59，59×65=23。
加上負號，得 −23。
−23
講 4計算 (−23) × (−23) × (−23) × (−23)P.36
有4個負數（偶數個）相乘，乘積為正。
數字部分即 (23)4。
分子 2×2×2×2=16，分母 3×3×3×3=81。
得到 1681。
1681
✏️ 學生練習
練 1計算 821 × (−74)P.36
一正一負相乘，結果為負。
算 821 × 74，先約分：7和21約去7，8和4約去4。
約分後為 23 × 11 = 23。
加上負號，得 −23。
−23
練 2計算 (−169) × (−2728)P.36
兩個負數相乘，結果為正。
算 169 × 2728，先約分：27和9約去9，16和28約去4。
約分後為 41 × 37 = 127。
結果為正，得 127（即157）。
127（或 157）
練 3計算 (−123) × 16 × (−145)P.37
有2個負數（偶數個），乘積為正。
帶分數化假分數：−123=−53，−145=−95。
算數字 53 × 16 × 95，逐步約分：53×16=518，518×95=12。
結果為正，得 12。
12
練 4計算 (−12) × (−12) × (−12) × (−12) × (−12)P.37
有5個負數（奇數個）相乘，乘積為負。
數字部分即 (12)5。
分子1，分母 2×2×2×2×2=32。
加上負號，得 −132。
−132
🏆 段考題目練習（6題）
考 1會考 11418 段變速自行車，前齒輪 22、33、44 齒三種，後齒輪 14、16、18、21、24、28 齒六種，齒輪比=前齒輪齒數/後齒輪齒數。下列哪個齒輪比有最多種前後齒輪組合？
(A) 116　(B) 117　(C) 118　(D) 119P.37
117=2214=3321=4428，共 3 種，最多。
(B)
考 2改編計算 (−49) × 38＝？
(A) −13　(B) −16　(C) 16　(D) −29P.37
一正一負相乘，結果為負。
算 49 × 38，先約分：3和9約去3、4和8約去4，得 13 × 12 = 16。
加上負號，得 −16。
(B)
考 3改編計算 (−512) × (−815)＝？
(A) −29　(B) 49　(C) 29　(D) 19P.37
兩個負數相乘，結果為正。
算 512 × 815，先約分：5和15約去5、8和12約去4，得 13 × 23 = 29。
結果為正，得 29。
(C)
考 4改編計算 (−214) × (−415) × (−123)＝？
(A) 1　(B) −35　(C) −53　(D) −1P.38
有3個負數（奇數個），乘積為負。
帶分數化假分數：−214=−94，−123=−53。
算數字 94 × 415 × 53：94×415=35，35×53=1。
加上負號，得 −1。
(D)
考 5改編計算 (−35) × (−35) × (−35)＝？
(A) 27125　(B) −27125　(C) −925　(D) 925P.38
有3個負數（奇數個）相乘，乘積為負。
數字部分即 (35)3，分子 3×3×3=27，分母 5×5×5=125。
加上負號，得 −27125。
(B)
考 6改編計算 (−1415) × (−1021)＝？
(A) 49　(B) −49　(C) 29　(D) 2845P.38
兩個負數相乘，結果為正。
算 1415 × 1021，先約分：14和21約去7、10和15約去5，得 23 × 23 = 49。
結果為正，得 49。
(A)
觀念
3分數的除法運算（顛倒相乘）

💡 概念說明

  • 把一個分數的分子和分母對調，得到的新分數就是它的倒數；互為倒數的兩數相乘等於1。
  • 帶分數或整數要先寫成假分數，再對調分子分母求倒數（例如 −2 的倒數是 −12）；0沒有倒數。
  • 除以一個不為0的分數，等於乘以這個分數的倒數（顛倒相乘）。
  • 遇到帶分數的除法，要先化成假分數再顛倒相乘。
  • 符號規則和乘法一樣：同號相除得正、異號相除得負，可先定符號再算。
👨‍🏫 老師講解
講 1計算 56 ÷ (−313)P.39
先把帶分數化假分數：−313=−103。
除以 −103 等於乘以它的倒數 −310。
一正一負，結果為負：−(56 × 310)。
約分計算 56×310=14，得 −14。
−14
講 2計算 (−98) ÷ (−34) ÷ 13P.39
把每個除法都改成乘以倒數：(−98) × (−43) × 3。
符號判斷：有2個負數，結果為正。
算數字 98 × 43 × 3，先約分 98×43=32。
32 × 3=92，得 92（即412）。
92（或 412）
講 3寫出 325 的倒數。P.39
帶分數要先化成假分數才能求倒數。
325 = 3×5+25 = 175。
把分子和分母對調。
得到倒數 517。
517
講 4計算 (−23) ÷ 135P.39
帶分數化假分數：135=85。
除以 85 等於乘以倒數 58。
一負一正，結果為負：−(23 × 58)。
算 23×58=1024=512，得 −512。
−512
✏️ 學生練習
練 1計算 78 ÷ (−213)P.39
帶分數化假分數：−213=−73。
除以 −73 等於乘以倒數 −37。
一正一負，結果為負：−(78 × 37)。
約分計算 78×37=38，得 −38。
−38
練 2計算 (−34) ÷ (−116) ÷ (−94)P.39
帶分數化假分數：−116=−76。
把除法改成乘倒數：(−34) × (−67) × (−49)。
符號判斷：有3個負數，結果為負。
算數字 34×67×49=27，加負號得 −27。
−27
練 3寫出 −47 的倒數。P.40
求倒數就是把分子和分母對調。
−47 的分子是−4、分母是7。
對調後為 7−4。
整理負號寫成 −74。
−74
練 4計算 (−56) ÷ 212P.40
帶分數化假分數：212=52。
除以 52 等於乘以倒數 25。
一負一正，結果為負：−(56 × 25)。
約分計算 56×25=13，得 −13。
−13
🏆 段考題目練習（6題）
考 1改編計算 38 ÷ (−916)＝？
(A) 23　(B) −23　(C) −32　(D) −16P.40
除以 −916 等於乘以倒數 −169。
一正一負，結果為負：−(38 × 169)。
約分：3和9約去3、16和8約去8，得 13 × 21 = 23。
加上負號，得 −23。
(B)
考 2改編計算 (−56) ÷ (−212)＝？
(A) −13　(B) 13　(C) 3　(D) −3P.40
帶分數化假分數：−212=−52。
除以 −52 等於乘以倒數 −25。
兩個負數相乘，結果為正：56 × 25。
約分計算 56×25=13，得 13。
(B)
考 3改編315 的倒數為何？
(A) 516　(B) 165　(C) −516　(D) 135P.40
帶分數要先化成假分數：315=3×5+15=165。
把分子和分母對調。
得到倒數 516。
(A)
考 4改編計算 (−712) ÷ 116＝？
(A) 12　(B) −12　(C) −13　(D) −772P.40
帶分數化假分數：116=76。
除以 76 等於乘以倒數 67。
一負一正，結果為負：−(712 × 67)。
約分計算 712×67=12，得 −12。
(B)
考 5改編計算 (−89) ÷ (−23) ÷ (−43)＝？
(A) 1　(B) −1　(C) −13　(D) 3P.41
把每個除法都改成乘以倒數：(−89) × (−32) × (−34)。
符號判斷：有3個負數，結果為負。
算數字 89 × 32 × 34：89×32=43，43×34=1。
加上負號，得 −1。
(B)
考 6改編−38 的倒數為何？
(A) 83　(B) −83　(C) −38　(D) 38P.41
求倒數就是把分子和分母對調。
−38 對調後為 8−3。
整理負號寫成 −83。
(B)
觀念
4正負分數的四則混合運算與運算順序

💡 概念說明

  • 運算順序：先算括號，再算乘除，最後算加減；同一級由左而右依序計算。
  • 遇到除以分數時，先化成乘以倒數，再依順序計算。
  • 去括號規則：括號前是「−」時，去括號後括號內每一項都要變號。
  • 計算中出現小數時，可先把小數化成分數（例如 0.6=35、1.5=32）再一起算。
  • 善用乘法對加減的分配律（a×c+b×c=(a+b)×c）常可讓計算更簡便。
👨‍🏫 老師講解
講 1計算 17 + (−17 − 29)P.41
括號前是加號，去括號後各項不變號。
式子變成 17 − 17 − 29。
17 − 17 = 0。
剩下 0 − 29 = −29。
−29
講 2計算 32 ÷ (−0.6) × (−35) − 12P.41
先把小數化分數：−0.6=−35。
由左而右算乘除：32 ÷ (−35)=32 × (−53)=−52。
再 −52 × (−35)=+32。
最後算減法：32 − 12 = 1。
1
講 3計算 3911 × (−57) − 1911 × (−57)P.42
兩項都乘以相同的 (−57)，用分配律提出來。
= (3911 − 1911) × (−57)。
括號內 3911 − 1911 = 2。
2 × (−57) = −114。
−114
講 4計算 915 × 239 + 915 × (−39)P.42
兩項都有相同的 915，用分配律提出來。
= 915 × [239 + (−39)] = 915 × 200。
把帶分數化假分數：915=465。
465 × 200 = 46 × 40 = 1840。
1840
✏️ 學生練習
練 1計算 1591 + (−1213 − 891)P.42
括號前是加號，去括號後各項不變號：1591 − 1213 − 891。
先把同分母的 1591 − 891 = 791 = 113。
剩下 113 − 1213。
1−1213 = −1113。
−1113
練 2計算 (−13) × (35 + 1.5) ÷ (−215)P.42
先算括號：把1.5化成32，35 + 32 = 610 + 1510 = 2110。
式子變成 (−13) × 2110 ÷ (−215)。
除以 −215 改成乘 −521：(−13) × 2110 × (−521)。
符號為正，約分計算得 16。
16
練 3計算 20014 × 423 − 20014 × 23P.42
兩項都有相同的 20014，用分配律提出來。
= 20014 × (423 − 23) = 20014 × 400。
拆成 (200 + 14) × 400 = 200×400 + 14×400。
= 80000 + 100 = 80100。
80100
練 4計算 14 ÷ (−112) × 43P.42
帶分數化假分數：−112=−32。
除以 −32 改成乘 −23：14 × (−23) × 43。
符號判斷：1個負數，結果為負。
算數字 14×23×43=29，加負號得 −29。
−29
🏆 段考題目練習（6題）
考 1會考 107已知 a=(314-215)-116，b=314-(215-116)，c=314-215-116，判斷下列敘述何者正確？
(A) a=c，b=c　(B) a=c，b≠c　(C) a≠c，b=c　(D) a≠c，b≠cP.43
去括號後 a=314-215-116=c；b=314-(215-116)=314-215+116≠c。
故 a=c、b≠c。
(B)
考 2題庫網·康軒期中2計算 899−(3599−1722)＝？
(1) −1011　(2) −2322　(3) 2322　(4) 12P.43
899−3599+1722＝−2799+1722＝−311+1722＝−622+1722＝1122＝12。
(4)
考 3改編計算 15 + (−15 − 47)＝？
(A) 47　(B) −47　(C) −27　(D) 25P.43
括號前是加號，去括號後各項不變號：15 − 15 − 47。
15 − 15 = 0。
剩下 0 − 47 = −47。
(B)
考 4改編計算 52 ÷ (−0.5) × (−25) − 34＝？
(A) −54　(B) 54　(C) 14　(D) 114P.43
先把小數化分數：−0.5=−12。
由左而右算乘除：52 ÷ (−12)=52 × (−2)=−5。
再 −5 × (−25)=+2。
最後算減法：2 − 34 = 54。
(B)
考 5改編計算 437 × (−38) − 237 × (−38)＝？
(A) 76　(B) −38　(C) −76　(D) −152P.43
兩項都乘以相同的 (−38)，用分配律提出來。
= (437 − 237) × (−38)。
括號內 437 − 237 = 2。
2 × (−38) = −76。
(C)
考 6改編計算 714 × 138 + 714 × (−38)＝？
(A) 700　(B) 725　(C) 750　(D) 2900P.44
兩項都有相同的 714，用分配律提出來。
= 714 × [138 + (−38)] = 714 × 100。
把帶分數化假分數：714=294。
294 × 100 = 29004 = 725。
(B)
觀念
5分數運算的應用問題

💡 概念說明

  • 解題先找出已知的實際量（例如已用掉、已喝掉的重量）以及它占全部的分率。
  • 求全部的量時用：全部量 = 部分量 ÷ 該部分占的分率（用除法把整體還原回來）。
  • 常見步驟：先用減法算出差量，再用除法還原出整體，最後再求所問的量。
  • 遇到「某量是另一量的幾分之幾倍」時，常先算出差所占的分率（用 1 − 該分率）。
  • 畫圖或把各量關係列成算式，能幫助看清楚「部分」與「全部」的對應。
👨‍🏫 老師講解
講 1一臺農用無人機裝滿農藥時共重45公斤，若每分鐘噴灑量相等、噴飛50分鐘可噴完。某次裝滿噴飛20分鐘後，無人機與剩餘農藥共重37公斤，求無人機未裝農藥時的重量。P.44
先算噴掉的農藥：45 − 37 = 8 公斤。
這8公斤占裝滿農藥的分率：2050 = 25。
用除法還原裝滿農藥的重量：8 ÷ 25 = 8 × 52 = 20 公斤。
未裝農藥時 = 總重 − 農藥 = 45 − 20 = 25 公斤。
25公斤
講 2有一瓶果汁，連瓶子共重930公克。喝了23瓶的果汁後，剩餘的果汁連瓶子共重430公克，求空瓶子重多少公克？P.44
先算喝掉的果汁：930 − 430 = 500 公克。
這500公克占果汁全部的 23。
用除法還原果汁原重：500 ÷ 23 = 500 × 32 = 750 公克。
空瓶重 = 總重 − 果汁 = 930 − 750 = 180 公克。
180公克
講 3康康國中圖書館今年添購了450本新書，且添購新書前的數量是添購後的710倍，試問添購前圖書館共有多少本書？P.45
添購前是添購後的 710，所以「新添購的書」占添購後的 1 − 710 = 310。
這310對應450本新書。
用除法求添購後的總數：450 ÷ 310 = 450 × 103 = 1500 本。
添購前 = 添購後 − 新書 = 1500 − 450 = 1050 本。
1050本
講 4一桶油用掉35後，還剩下24公升，這桶油原來有多少公升？P.45
用掉35，所以剩下的占全部的 1 − 35 = 25。
這25對應剩下的24公升。
用除法還原原有的量：24 ÷ 25 = 24 × 52 = 60 公升。
所以這桶油原有60公升。
60公升
✏️ 學生練習
練 1一臺灑水車裝滿水時共重60公斤，若每分鐘灑水量相等、連續灑40分鐘可灑完。某次裝滿灑水10分鐘後，車與剩餘的水共重54公斤，求灑水車未裝水時的重量。P.45
先算灑掉的水：60 − 54 = 6 公斤。
這6公斤占裝滿水的分率：1040 = 14。
用除法還原裝滿水的重量：6 ÷ 14 = 6 × 4 = 24 公斤。
未裝水時 = 總重 − 水 = 60 − 24 = 36 公斤。
36公斤
練 2有一瓶蜂蜜，連瓶子共重1200公克。用掉34瓶的蜂蜜後，剩餘的蜂蜜連瓶子共重450公克，求空瓶子重多少公克？P.45
先算用掉的蜂蜜：1200 − 450 = 750 公克。
這750公克占蜂蜜全部的 34。
用除法還原蜂蜜原重：750 ÷ 34 = 750 × 43 = 1000 公克。
空瓶重 = 總重 − 蜂蜜 = 1200 − 1000 = 200 公克。
200公克
練 3某社團今年招募了120名新社員，且招募前的人數是招募後的58倍，試問招募前社團共有多少人？P.45
招募前是招募後的 58，所以「新招募的人」占招募後的 1 − 58 = 38。
這38對應120名新社員。
用除法求招募後的人數：120 ÷ 38 = 120 × 83 = 320 人。
招募前 = 招募後 − 新社員 = 320 − 120 = 200 人。
200人
練 4一條繩子剪掉27後，還剩下20公尺，這條繩子原來長多少公尺？P.46
剪掉27，所以剩下的占全長的 1 − 27 = 57。
這57對應剩下的20公尺。
用除法還原原本的長度：20 ÷ 57 = 20 × 75 = 28 公尺。
所以這條繩子原長28公尺。
28公尺
🏆 段考題目練習（6題）
考 1題庫網·康軒期中2小忠有容量一樣的一桶水與一桶濃縮果汁，用勺子舀一瓢水放入濃縮果汁中，再從濃縮果汁中舀相同容量的液體放回水中，最後測得其中一桶的水佔此桶容量的 2341，請問另一桶的水佔容量的多少？
(1) 1841　(2) 2341　(3) 12　(4) 無法判斷P.46
兩桶容量相同，水的總量＝1 桶（4141）。
水只分布在兩桶中，若一桶水佔 2341，另一桶水＝4141−2341＝1841。
(1)
考 2題庫網·康軒期中2小江買了 4 瓶果汁，每瓶容量為 223 公升。他要將果汁分裝到容量為 35 公升的玻璃杯中且每杯都要裝滿，請問總共可倒滿多少個完整的玻璃杯？
(1) 15　(2) 16　(3) 17　(4) 18P.46
果汁總量＝4×83＝323 公升；323÷35＝323×53＝1609≈17.7，可倒滿 17 個完整杯。
(3)
考 3改編一臺清洗車裝滿水時共重50公斤，若每分鐘用水量相等、連續噴30分鐘可用完。某次裝滿噴12分鐘後，車與剩餘的水共重46公斤，求清洗車未裝水時的重量。
(A) 36公斤　(B) 40公斤　(C) 10公斤　(D) 46公斤P.46
先算用掉的水：50 − 46 = 4 公斤。
這4公斤占裝滿水的分率：1230 = 25。
用除法還原裝滿水的重量：4 ÷ 25 = 4 × 52 = 10 公斤。
未裝水時 = 總重 − 水 = 50 − 10 = 40 公斤。
(B)
考 4改編有一瓶沙拉油，連瓶子共重800公克。用掉25瓶的油後，剩餘的油連瓶子共重600公克，求空瓶子重多少公克？
(A) 500公克　(B) 200公克　(C) 300公克　(D) 250公克P.47
先算用掉的油：800 − 600 = 200 公克。
這200公克占油全部的 25。
用除法還原油原重：200 ÷ 25 = 200 × 52 = 500 公克。
空瓶重 = 總重 − 油 = 800 − 500 = 300 公克。
(C)
考 5改編某社團今年招募了90名新社員，且招募前的人數是招募後的47倍，試問招募前社團共有多少人？
(A) 210人　(B) 120人　(C) 90人　(D) 150人P.47
招募前是招募後的 47，所以「新招募的人」占招募後的 1 − 47 = 37。
這37對應90名新社員。
用除法求招募後的人數：90 ÷ 37 = 90 × 73 = 210 人。
招募前 = 招募後 − 新社員 = 210 − 90 = 120 人。
(B)
考 6改編一條繩子剪掉38後，還剩下25公尺，這條繩子原來長多少公尺？
(A) 40公尺　(B) 32公尺　(C) 25公尺　(D) 45公尺P.47
剪掉38，所以剩下的占全長的 1 − 38 = 58。
這58對應剩下的25公尺。
用除法還原原本的長度：25 ÷ 58 = 25 × 85 = 40 公尺。
所以這條繩子原長40公尺。
(A)
2-4指數律
觀念
1商的乘方（分數與負數的乘方）

💡 概念說明

  • 分數的乘方：把分子、分母各自乘方，即 (ab)n = anbn（b≠0）。
  • 例如 (23)4 = 2434 = 1681。
  • 底數是負數時，先判斷正負號：負數的偶次方為正、奇次方為負。
  • 例如 (−2)4 = 16（偶次方為正）、(−2)3 = −8（奇次方為負）。
  • 計算 (−ab)n 時，可先把負號連同分數一起乘方，再判斷結果正負。
  • 分數乘方常先寫成「分子n / 分母n」，需要時再約分。
👨‍🏫 老師講解
講 1計算 (35)2 的值。P.48
分數的乘方，分子分母各自平方。
分子 32 = 9，分母 52 = 25。
所以 (35)2 = 925。
925
講 2計算 (−23)3 的值。P.48
底數為負數，3 是奇次方，結果為負。
分子 (−2)3 = −8，分母 33 = 27。
所以 (−23)3 = −827。
−827
講 3計算 (−12)4 的值。P.48
底數為負數，4 是偶次方，結果為正。
分子 (−1)4 = 1，分母 24 = 16。
所以 (−12)4 = 116。
116
講 4在 □ 中填入適當的數，使等號成立：(27)5 = 2□/7□。P.48
分數的乘方，分子分母都要乘 5 次方。
即 (27)5 = 2575。
所以兩個 □ 都填 5。
□ 皆填 5
✏️ 學生練習
練 1計算 (25)2 的值。P.48
分子分母各自平方。
分子 22 = 4，分母 52 = 25。
所以 (25)2 = 425。
425
練 2計算 (−34)3 的值。P.48
底數為負、3 是奇次方，結果為負。
分子 (−3)3 = −27，分母 43 = 64。
所以 (−34)3 = −2764。
−2764
練 3計算 (−13)4 的值。P.49
底數為負、4 是偶次方，結果為正。
分子 (−1)4 = 1，分母 34 = 81。
所以 (−13)4 = 181。
181
練 4在 □ 中填入適當的數，使等號成立：(59)6 = 5□/9□。P.49
分子分母都要乘 6 次方。
即 (59)6 = 5696。
所以兩個 □ 都填 6。
□ 皆填 6
🏆 段考題目練習（6題）
考 1會考 112(-3)3 之值為何？
(A) -27　(B) -9　(C) 9　(D) 27P.49
(-3)3=(-3)×(-3)×(-3)=-27。
(A)
考 2改編計算 (23)3 之值為何？
(A) 69　(B) 827　(C) 89　(D) 627P.49
分數的乘方，分子分母各自乘方。
分子 23 = 8，分母 33 = 27。
所以 (23)3 = 827。
(B)
考 3改編計算 (−4)3 之值為何？
(A) −12　(B) −64　(C) 64　(D) 12P.49
底數為負，3 是奇次方，結果為負。
(−4)3 = (−4)×(−4)×(−4) = −64。
(B)
考 4改編計算 (−12)4 之值為何？
(A) −116　(B) 18　(C) 116　(D) −18P.49
底數為負，4 是偶次方，結果為正。
分子 (−1)4 = 1，分母 24 = 16。
所以 (−12)4 = 116。
(C)
考 5改編計算 (−25)2 之值為何？
(A) 425　(B) −425　(C) 410　(D) −410P.50
底數為負，2 是偶次方，結果為正。
分子 (−2)2 = 4，分母 52 = 25。
所以 (−25)2 = 425。
(A)
考 6改編計算 (−32)3 之值為何？
(A) 278　(B) −96　(C) −278　(D) −276P.50
底數為負，3 是奇次方，結果為負。
分子 (−3)3 = −27，分母 23 = 8。
所以 (−32)3 = −278。
(C)
觀念
2同底數指數的乘法 am×an = am+n

💡 概念說明

  • 底數相同的乘方相乘，底數不變、指數相加：am × an = am+n（a≠0）。
  • 因為 am 是 m 個 a 相乘、an 是 n 個 a 相乘，合起來共有 (m+n) 個 a 相乘。
  • 例如 52 × 54 = 52+4 = 56。
  • 底數可以是分數或負數，只要底數相同就能把指數相加。
  • 例如 (−6)3 × (−6)4 = (−6)3+4 = (−6)7。
  • 底數不同時不可用此規律，例如 23 × 32 不能合併。
👨‍🏫 老師講解
講 1用指數表示 32 × 35。P.50
底數同為 3，指數相加。
指數 2 + 5 = 7。
所以 32 × 35 = 37。
37
講 2在 □ 中填入適當的數：(−6)3 × (−6)4 = (−6)□。P.51
底數同為 (−6)，指數相加。
指數 3 + 4 = 7。
所以 □ = 7。
□ = 7
講 3在 □ 中填入適當的數：(12)3 × (12)5 = (12)□。P.51
底數同為 12，指數相加。
指數 3 + 5 = 8。
所以 □ = 8。
□ = 8
講 4化簡 a4 × a × a3（a≠0）。P.51
a 就是 a1。
底數都是 a，指數全部相加 4 + 1 + 3 = 8。
所以 a4 × a × a3 = a8。
a8
✏️ 學生練習
練 1用指數表示 53 × 54。P.51
底數同為 5，指數相加。
指數 3 + 4 = 7。
所以 53 × 54 = 57。
57
練 2在 □ 中填入適當的數：(−23)2 × (−23)5 = (−23)□。P.51
底數同為 (−23)，指數相加。
指數 2 + 5 = 7。
所以 □ = 7。
□ = 7
練 3在 □ 中填入適當的數：(14)2 × (14)6 = (14)□。P.51
底數同為 14，指數相加。
指數 2 + 6 = 8。
所以 □ = 8。
□ = 8
練 4化簡 x5 × x × x2（x≠0）。P.51
x 就是 x1。
底數都是 x，指數全部相加 5 + 1 + 2 = 8。
所以 x5 × x × x2 = x8。
x8
🏆 段考題目練習（6題）
考 1改編用指數表示 32 × 35。
(A) 37　(B) 310　(C) 97　(D) 33P.52
底數同為 3，指數相加。
指數 2 + 5 = 7。
所以 32 × 35 = 37。
(A)
考 2改編用指數表示 43 × 46。
(A) 418　(B) 169　(C) 49　(D) 43P.52
底數同為 4，指數相加。
指數 3 + 6 = 9。
所以 43 × 46 = 49。
(C)
考 3改編(−6)3 × (−6)4 = (−6)□，□ 應填多少？
(A) 7　(B) 12　(C) 1　(D) 34P.52
底數同為 (−6)，指數相加。
指數 3 + 4 = 7。
所以 □ = 7。
(A)
考 4改編(12)3 × (12)5 = (12)□，□ 應填多少？
(A) 15　(B) 8　(C) 2　(D) 53P.52
底數同為 12，指數相加。
指數 3 + 5 = 8。
所以 □ = 8。
(B)
考 5改編化簡 a4 × a × a3（a≠0）。
(A) a7　(B) a12　(C) a8　(D) a9P.52
a 就是 a1。
底數都是 a，指數全部相加 4 + 1 + 3 = 8。
所以 a4 × a × a3 = a8。
(C)
考 6改編用指數表示 25 × 24 × 2。
(A) 210　(B) 29　(C) 810　(D) 220P.53
2 就是 21。
底數同為 2，指數全部相加 5 + 4 + 1 = 10。
所以 25 × 24 × 2 = 210。
(A)
觀念
3同底數指數的除法 am÷an = am−n 與 a0=1

💡 概念說明

  • 底數相同的乘方相除（m≥n），底數不變、指數相減：am ÷ an = am−n（a≠0）。
  • 例如 (−2)5 ÷ (−2)2 = (−2)5−2 = (−2)3。
  • 當 m = n 時，am ÷ am = a0；而任何不為 0 的數除以自己都等於 1。
  • 因此規定 a0 = 1（a≠0），例如 100 = 1、(−3)0 = 1。
  • 底數可以是分數或負數，例如 (34)6 ÷ (34)2 = (34)4。
  • 此規律讓四個指數律在指數為 0 時也都成立。
👨‍🏫 老師講解
講 1在 □ 中填入適當的數：(−2)5 ÷ (−2)2 = (−2)□。P.53
底數同為 (−2)，指數相減。
指數 5 − 2 = 3。
所以 □ = 3。
□ = 3
講 2在 □ 中填入適當的數：(34)6 ÷ (34)2 = (34)□。P.53
底數同為 34，指數相減。
指數 6 − 2 = 4。
所以 □ = 4。
□ = 4
講 3計算 73 ÷ 73 的值。P.53
底數同為 7，指數相減 3 − 3 = 0，得 70。
規定不為 0 的數的 0 次方等於 1。
所以 73 ÷ 73 = 70 = 1。
1
講 4計算 (−5)0 + 100 的值。P.54
任何不為 0 的數的 0 次方都等於 1。
(−5)0 = 1，100 = 1。
所以 1 + 1 = 2。
2
✏️ 學生練習
練 1在 □ 中填入適當的數：(−9)8 ÷ (−9)2 = (−9)□。P.54
底數同為 (−9)，指數相減。
指數 8 − 2 = 6。
所以 □ = 6。
□ = 6
練 2在 □ 中填入適當的數：(25)7 ÷ (25)4 = (25)□。P.54
底數同為 25，指數相減。
指數 7 − 4 = 3。
所以 □ = 3。
□ = 3
練 3計算 64 ÷ 64 的值。P.54
底數同為 6，指數相減 4 − 4 = 0，得 60。
不為 0 的數的 0 次方等於 1。
所以 64 ÷ 64 = 60 = 1。
1
練 4計算 (−8)0 − 20 的值。P.54
任何不為 0 的數的 0 次方都等於 1。
(−8)0 = 1，20 = 1。
所以 1 − 1 = 0。
0
🏆 段考題目練習（6題）
考 1會考 11056 是 53 的多少倍？
(A) 2　(B) 3　(C) 25　(D) 125P.54
56÷53=56-3=53=125。
(D)
考 2題庫網·翰林期中2535 是 533 的多少倍？
(1) 2 倍　(2) 5 倍　(3) 25 倍　(4) 125 倍P.55
535÷533＝535−33＝52＝25，故為 25 倍。
(3)
考 3題庫網·康軒期中2房間裡有 2 個木箱，每個木箱裡有 8 個紙箱，每個紙箱內有 8 個禮盒，每個禮盒內有 8 包拐杖糖。將所有拐杖糖平分給全校 32 班，則每班可拿到多少包拐杖糖？（請用 2 的乘方表示）
(1) 24　(2) 25　(3) 26　(4) 27P.55
拐杖糖總數＝2×8×8×8＝2×83＝2×29＝210；÷32＝210÷25＝25。
(2)
考 4改編(−2)5 ÷ (−2)2 = (−2)□，□ 應填多少？
(A) 3　(B) 7　(C) 10　(D) 2P.55
底數同為 (−2)，指數相減。
指數 5 − 2 = 3。
所以 □ = 3。
(A)
考 5改編計算 73 ÷ 73 之值為何？
(A) 0　(B) 7　(C) 1　(D) 76P.55
底數同為 7，指數相減 3 − 3 = 0，得 70。
不為 0 的數的 0 次方等於 1。
所以 73 ÷ 73 = 70 = 1。
(C)
考 6改編計算 (−5)0 + 100 之值為何？
(A) 0　(B) 1　(C) 2　(D) 20P.55
任何不為 0 的數的 0 次方都等於 1。
(−5)0 = 1，100 = 1。
所以 1 + 1 = 2。
(C)
觀念
4指數的乘方與積的乘方 (am)n、(a×b)m

💡 概念說明

  • 乘方的乘方：(am)n = am×n，指數相乘（a≠0）。
  • 例如 (54)2 = 54×2 = 58。
  • 兩數相乘的乘方：(a×b)m = am × bm，各因數各自乘方再相乘。
  • 例如 (7×11)4 = 74 × 114。
  • 要分清楚：(am)n 是指數相乘，而 am × an 是指數相加。
  • 括號內含負號時要一起乘方，例如 [(−7)5]3 = (−7)5×3 = (−7)15。
👨‍🏫 老師講解
講 1在 □ 中填入適當的數：(54)2 = 5□。P.56
乘方的乘方，指數相乘。
指數 4 × 2 = 8。
所以 □ = 8。
□ = 8
講 2在 □ 中填入適當的數：[(−7)5]3 = (−7)□。P.56
乘方的乘方，指數相乘。
指數 5 × 3 = 15。
所以 □ = 15。
□ = 15
講 3在 □ 中填入適當的數：(7×11)4 = 7□ × 11□。P.56
積的乘方，每個因數各自乘 4 次方。
即 (7×11)4 = 74 × 114。
所以兩個 □ 都填 4。
□ 皆填 4
講 4化簡 (a3)2 × a4（a≠0）。P.56
先算乘方的乘方：(a3)2 = a3×2 = a6。
再與 a4 相乘，指數相加 6 + 4 = 10。
所以結果為 a10。
a10
✏️ 學生練習
練 1在 □ 中填入適當的數：(32)5 = 3□。P.57
乘方的乘方，指數相乘。
指數 2 × 5 = 10。
所以 □ = 10。
□ = 10
練 2在 □ 中填入適當的數：[(−4)2]4 = (−4)□。P.57
乘方的乘方，指數相乘。
指數 2 × 4 = 8。
所以 □ = 8。
□ = 8
練 3在 □ 中填入適當的數：(2×9)3 = 2□ × 9□。P.57
積的乘方，每個因數各自乘 3 次方。
即 (2×9)3 = 23 × 93。
所以兩個 □ 都填 3。
□ 皆填 3
練 4化簡 (x4)2 × x3（x≠0）。P.57
先算乘方的乘方：(x4)2 = x4×2 = x8。
再與 x3 相乘，指數相加 8 + 3 = 11。
所以結果為 x11。
x11
🏆 段考題目練習（6題）
考 1會考 109算式 23×53 之值為何？
(A) 30　(B) 90　(C) 1000　(D) 1000000P.57
23×53=(2×5)3=103=1000。
(C)
考 2改編(54)2 = 5□，□ 應填多少？
(A) 6　(B) 8　(C) 16　(D) 42P.57
乘方的乘方，指數相乘。
指數 4 × 2 = 8。
所以 □ = 8。
(B)
考 3改編[(−7)5]3 = (−7)□，□ 應填多少？
(A) 8　(B) 2　(C) 15　(D) 125P.58
乘方的乘方，指數相乘。
指數 5 × 3 = 15。
所以 □ = 15。
(C)
考 4改編(7×11)4 = 7□ × 11□，□ 應填多少？
(A) 4　(B) 8　(C) 1　(D) 11P.58
積的乘方，每個因數各自乘 4 次方。
即 (7×11)4 = 74 × 114。
所以兩個 □ 都填 4。
(A)
考 5改編化簡 (a3)2 × a4（a≠0）。
(A) a24　(B) a10　(C) a9　(D) a14P.58
先算乘方的乘方：(a3)2 = a3×2 = a6。
再與 a4 相乘，指數相加 6 + 4 = 10。
所以結果為 a10。
(B)
考 6改編計算 (23)2 之值為何？
(A) 32　(B) 64　(C) 12　(D) 128P.58
乘方的乘方，指數相乘：(23)2 = 23×2 = 26。
26 = 64。
所以值為 64。
(B)
觀念
5指數律綜合運算（含負底數）

💡 概念說明

  • 綜合運算時先算乘方，再用指數律化簡（先乘除、後加減，有括號先算括號）。
  • 可綜合運用四個指數律：相乘指數相加、相除指數相減、乘方指數相乘、積的乘方各自乘方。
  • 遇到負底數，先判斷正負號：(−a)n 偶次方為正、奇次方為負。
  • 例如 (−2)3 = −8、(−5)6 為正數。
  • 注意 −26 只有 2 乘方、負號不乘方，即 −26 = −(26) = −64。
  • 利用 (a×b)m = am × bm 可反向合併，例如 56 × 26 = (5×2)6 = 106。
👨‍🏫 老師講解
講 1計算 (22×5)4 ÷ (52)2 的值。P.59
積的乘方：(22×5)4 = 22×4 × 54 = 28 × 54。
乘方的乘方：(52)2 = 54。
28 × 54 ÷ 54 = 28 × 50 = 256 × 1。
所以值為 256。
256
講 2計算 34 × 36 ÷ (33)2 的值。P.59
先合併乘法：34 × 36 = 34+6 = 310。
乘方的乘方：(33)2 = 36。
310 ÷ 36 = 310−6 = 34。
所以值為 34 = 81。
81
講 3計算 (103)6 × (−32)6 ÷ (−5)6 的值。P.59
指數相同可用積的乘方合併：(103)6 × (−32)6 = [(103)×(−32)]6。
(103)×(−32) = −5，所以前兩項 = (−5)6。
(−5)6 ÷ (−5)6 = (−5)0 = 1。
所以值為 1。
1
講 4計算 (−5)6 × (−26) 的值。P.59
(−5)6 為偶次方，等於 56（正）。
−26 是 26 取負，即 −(26)，所以式子 = 56 × [−(26)] = −(56 × 26)。
積的乘方反向合併：56 × 26 = (5×2)6 = 106。
所以值為 −106 = −1000000。
−1000000
✏️ 學生練習
練 1計算 (32×2)2 ÷ (32)2 的值。P.59
積的乘方：(32×2)2 = 34 × 22。
乘方的乘方：(32)2 = 34。
34 × 22 ÷ 34 = 22 × 30 = 4 × 1。
所以值為 4。
4
練 2計算 23 × 27 ÷ (24)2 的值。P.59
先合併乘法：23 × 27 = 23+7 = 210。
乘方的乘方：(24)2 = 28。
210 ÷ 28 = 210−8 = 22。
所以值為 22 = 4。
4
練 3計算 (65)4 × (−52)4 ÷ (−3)4 的值。P.60
指數相同可合併：(65)4 × (−52)4 = [(65)×(−52)]4。
(65)×(−52) = −3，所以前兩項 = (−3)4。
(−3)4 ÷ (−3)4 = (−3)0 = 1。
所以值為 1。
1
練 4計算 (−2)4 × (−54) 的值。P.60
(−2)4 為偶次方，等於 24（正）。
−54 是 54 取負，即 −(54)，所以式子 = 24 × [−(54)] = −(24 × 54)。
積的乘方反向合併：24 × 54 = (2×5)4 = 104。
所以值為 −104 = −10000。
−10000
🏆 段考題目練習（6題）
考 1會考 114算式 710×72÷74 之值可用下列何者表示？
(A) 73　(B) 75　(C) 78　(D) 716P.60
710×72÷74=710+2-4=78。
(C)
考 2題庫網·康軒期中2計算 (65)7×(−53)7÷(−2)5＝？
(1) −4　(2) 2　(3) −2　(4) 4P.60
(65)7×(−53)7＝(65×(−53))7＝(−2)7；再 ÷(−2)5＝(−2)7−5＝(−2)2＝4。
(4)
考 3會考 1111 個綠藻細胞每 20 小時分裂成 4 個，分裂後亦可繼續分裂。(1) 經過 15 天共分裂成 4k 個，求 k。(2) 已知 60 億介於 232 與 233 之間，每 1 公克綠藻粉需 60 億個細胞，判斷 4k 個是否足夠製作 8 公克綠藻粉。P.60
(1) 15 天=360 小時，360÷20=18 次，共 418 個，k=18。
(2) 8 公克需 8×60億，235<8×60億<236；418=236，故足夠。
(1) k=18；(2) 足夠
考 4改編計算 (22×5)4 ÷ (52)2 之值為何？
(A) 25　(B) 128　(C) 256　(D) 625P.61
積的乘方：(22×5)4 = 22×4 × 54 = 28 × 54。
乘方的乘方：(52)2 = 54。
28 × 54 ÷ 54 = 28 × 50 = 256 × 1 = 256。
(C)
考 5改編計算 (−5)6 × (−26) 之值為何？
(A) 106　(B) −106　(C) 1012　(D) −1012P.61
(−5)6 為偶次方，等於 56（正）。
−26 是 26 取負，即 −(26)，所以式子 = 56 × [−(26)] = −(56 × 26)。
積的乘方反向合併：56 × 26 = (5×2)6 = 106，所以值為 −106。
(B)
考 6改編計算 (65)4 × (−52)4 ÷ (−3)4 之值為何？
(A) −1　(B) 0　(C) 1　(D) 3P.61
指數相同可合併：(65)4 × (−52)4 = [(65)×(−52)]4。
(65)×(−52) = −3，所以前兩項 = (−3)4。
(−3)4 ÷ (−3)4 = (−3)0 = 1。
(C)

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