A 卷（2-2 最大公因數與最小公倍數 ‧ 20 題）
2-2-F01 [填充]📄 改編·高雄光華 113
求下列各值：
(1) (24 , 150)＝______ (2) [24 , 150]＝______
答案：(1) 6 (2) 600
解析：先做質因數分解：24＝23×3、150＝2×3×52。
(1) 最大公因數取共同質因數的最小次數 → (24 , 150)＝2×3＝6。
(2) 最小公倍數取所有質因數的最大次數 → [24 , 150]＝23×3×52＝600。
（可驗算：6×600＝3600＝24×150）
2-2-F02 [填充]📄 改編·高雄翠屏 113
已知三數 23×32×73、22×3×74、24×33×72，求此三數的最大公因數＝______（以標準分解式表示）
答案：22×3×72
解析：最大公因數＝三個數都有的質因數，取最小的次數。
2 的次數：3、2、4 → 取最小的 2
3 的次數：2、1、3 → 取最小的 1
7 的次數：3、4、2 → 取最小的 2
故最大公因數＝22×3×72＝588。
2-2-F03 [填充]📄 改編·臺中大業 113
以標準分解式表示 [ 22×3×7 , 23×3×5 , 22×52×7 ]＝______
答案：23×3×52×7
解析：最小公倍數＝出現過的每個質因數，都取最大的次數。
2 的次數：2、3、2 → 取最大的 3
3 的次數：1、1、0 → 取最大的 1
5 的次數：0、1、2 → 取最大的 2
7 的次數：1、0、1 → 取最大的 1
故最小公倍數＝23×3×52×7＝4200。
2-2-F04 [填充]📄 自編
已知兩個正整數 a、b，其中 a＝84，且 (a , b)＝21、[a , b]＝252，則 b＝______。
答案：63
解析：任兩正整數都滿足 a×b＝(a , b)×[a , b]。
84×b＝21×252＝5292
b＝5292÷84＝63。
（驗算：84＝22×3×7、63＝32×7 → (84,63)＝21 ✔、[84,63]＝252 ✔）
2-2-F05 [填充]📄 改編·臺中大業 113
在 30 與 50 之間（含 30、50）的正整數中，將與 36 互質的數由小到大排列，則第 4 個數是 ______。
答案：41
解析：「與 36 互質」＝與 36 的最大公因數為 1，也就是不含 36 的任何質因數。
36＝22×32，質因數為 2、3，所以要把 2、3 的倍數全部刪掉。
30~50 剩下的是：31、35、37、41、43、47、49。
第 4 個為 41。
2-2-F06 [填充]📄 改編·高雄翠屏 113
水果行要將 348 顆芒果分裝成禮盒，每盒芒果數一樣多且剛好裝完，若每盒最多裝 12 顆，則至少需要多少個禮盒？______
答案：29 個（每盒 12 顆）
解析：每盒數量相同且剛好裝完 → 每盒顆數必為 348 的因數。
348＝22×3×29，正因數有 1、2、3、4、6、12、29、58、87、116、174、348。
盒數要最少，每盒就要裝最多；在不超過 12 的因數中最大的是 12。
故至少需要 348÷12＝29 個禮盒。
2-2-F07 [填充]📄 改編·高雄翠屏 113
宏錩身上的現金，以 3 元、5 元、7 元去分都剛好餘 2 元。若他身上的現金在 200 元到 300 元之間，則他身上的現金可能是多少元？______（全部列出才給分）
答案：212 元
解析：設現金為 x 元。x 除以 3、5、7 都餘 2 → x－2 同時是 3、5、7 的公倍數。
[3 , 5 , 7]＝105，所以 x－2 是 105 的倍數，即 x＝105×n＋2。
取 200≦x≦300：105×2＋2＝212 → 212 元。
2-2-F08 [填充]📄 改編·臺北中山 110
王先生的莊園圍牆長 60 公尺，原本每隔 30 公分安裝一個紅色燈泡（兩端都安裝）。後來覺得不夠閃亮，改為每隔 12 公分安裝一個黃色燈泡（兩端都安裝）。則施作時有幾個原先裝好的紅色燈泡位置，剛好被換成黃色燈泡？______
答案：101 個
解析：把圍牆一端當作 0，紅燈泡在 30 的倍數的位置，黃燈泡在 12 的倍數的位置。
位置重疊 → 該位置同時是 30 與 12 的公倍數，最小的是 [30 , 12]＝60。
圍牆長 60 公尺＝6000 公分，重疊位置為 0、60、120、…、6000，共 6000÷60＋1＝101 個（兩端都算）。
2-2-F09 [填充]📄 改編·臺中向上 113
求 ( 32×11 , [ 252 , 66 ] )＝______（化成標準分解式）
答案：32×11
解析：先算中括號：252＝22×32×7、66＝2×3×11，取各質因數的最大次數 → [252 , 66]＝22×32×7×11＝2772。
再算小括號：32×11＝99 與 2772 取共同質因數的最小次數 → 32×11＝99。
2-2-F10 [填充]📄 改編·高雄左營 113
求 ( 24 , 60 ) ＋ [ 30 , 40 , 50 ]＝______。
答案：612
解析：(24 , 60)：24＝23×3、60＝22×3×5，取共同質因數的最小次數 → 22×3＝12。
[30 , 40 , 50]：30＝2×3×5、40＝23×5、50＝2×52，取所有質因數的最大次數 → 23×3×52＝600。
相加：12＋600＝612。
2-2-C01 [計算]📄 改編·高雄翠屏 113
小杰、芳羽和冠鑫到兒童樂園玩旋轉木馬，每次可乘坐 4 分鐘。第一層木馬每 12 秒繞一圈、第二層每 18 秒繞一圈、第三層每 24 秒繞一圈。出發時三人並排而坐（各坐一層）。
(1) 出發後經過幾秒，三人第一次同時回到出發的位置？
(2) 在這 4 分鐘內，三人共會在出發位置相會幾次？（不含出發時那一次）
答案：(1) 72 秒 (2) 3 次
解析：(1) 各層回到原位的時刻分別是 12、18、24 的倍數，三人同時回到原位 → 時間是三者的公倍數，第一次就是最小公倍數。
12＝22×3、18＝2×32、24＝23×3 → [12 , 18 , 24]＝23×32＝72 秒。
(2) 4 分鐘＝240 秒，相會時刻為 72、144、… 秒。
240÷72＝3…餘 24 → 共 3 次。
2-2-C02 [計算]📄 自編
某轉運站有甲、乙、丙三條路線，分別每 12 分鐘、18 分鐘、30 分鐘發一班車。若上午 6:00 三線同時發車，試問：
(1) 下一次三線同時發車是幾點幾分？
(2) 從上午 6:00 到 12:00 之間（不含 6:00 那一次），三線共同時發車幾次？
答案：(1) 9:00 (2) 2 次
解析：(1) 三線同時發車的時刻是 12、18、30 的公倍數，下一次就是最小公倍數。
12＝22×3、18＝2×32、30＝2×3×5 → [12 , 18 , 30]＝22×32×5＝180 分鐘。
180 分鐘＝3 小時 0 分，故下一次為 9:00。
(2) 這段時間共 6 小時＝360 分鐘，360÷180＝2 → 共 2 次。
2-2-C03 [計算]📄 自編
有一塊長 168 公分、寬 120 公分的長方形地板，要用邊長相同的正方形磁磚剛好鋪滿（磁磚不可裁切、不可重疊）。
(1) 正方形磁磚的邊長最長是幾公分？
(2) 此時共需要幾塊磁磚？
答案：(1) 24 公分 (2) 35 塊
解析：(1) 磁磚要剛好鋪滿 → 邊長必須同時整除 168 和 120，即為兩者的公因數；最長就是最大公因數。
168＝23×3×7、120＝23×3×5 → (168 , 120)＝23×3＝24 公分。
(2) 長邊排 168÷24＝7 塊、寬邊排 120÷24＝5 塊，共 7×5＝35 塊。
2-2-C04 [計算]📄 自編
已知兩個正整數 a、b 滿足 a×b＝10584，且 a、b 的最大公因數為 42。
(1) 求 a、b 的最小公倍數。
(2) 若再知道 a＜b 且 a＝84，求 b。
答案：(1) 252 (2) b＝126
解析：(1) 由 a×b＝(a , b)×[a , b]：
10584＝42×[a , b] → [a , b]＝10584÷42＝252。
(2) b＝10584÷a＝10584÷84＝126。
驗算：84＝22×3×7、126＝2×32×7，(84 , 126)＝42 ✔、[84 , 126]＝252 ✔。
2-2-C05 [計算]📄 改編·高雄翠屏 113
糖果 156 顆或 180 顆，都可以平分給同一群小朋友（每人分到的顆數為整數，且人數超過 1 人）。
(1) 這群小朋友最多可能有幾人？
(2) 小朋友的人數共有幾種可能？請全部列出。
答案：(1) 12 人 (2) 5 種：2、3、4、6、12 人
解析：(1) 人數要同時整除 156 與 180 → 是兩者的公因數，最多就是最大公因數。
156＝22×3×13、180＝22×32×5 → (156 , 180)＝22×3＝12 人。
(2) 公因數＝最大公因數 12 的所有因數：1、2、3、4、6、12；題目要求人數超過 1 人，去掉 1 之後為 2、3、4、6、12，共 5 種。
（補充：156 與 180 的差為 24，所以人數也一定是 24 的因數，可用來快速檢查。）
2-2-C06 [計算]📄 改編·臺北仁愛 113
靜香發現有一種數很特別：它被 2 除時餘 1、被 3 除時餘 2、被 4 除時餘 3、…、一直到被 6 除時餘 5（也就是除以 2~6 的每個數，餘數都比除數少 1）。
(1) 請說明這種數加 1 之後有什麼性質。
(2) 求具有此性質的最大 3 位數。
答案：(1) 加 1 後是 2~6 的公倍數（即 60 的倍數） (2) 959
解析：(1) 設此數為 N。「除以 m 餘 m－1」表示再多 1 就剛好整除，所以 N＋1 同時被 2、3、…、6 整除 → N＋1 是 2~6 的公倍數。
[2 , 3 , … , 6]＝60，故 N＋1＝60×n，即 N＝60n－1。
(2) 要最大的 3 位數：60n－1≦999 → n≦16，取 n＝16。
N＝60×16－1＝959。
2-2-C07 [計算]📄 自編
有三條繩子，長度分別為 84 公分、126 公分、210 公分。現在要把它們剪成長度相同且最長的小段，且完全不浪費（不剩零頭）。
(1) 每小段最長是幾公分？
(2) 共可剪成幾小段？
答案：(1) 42 公分 (2) 10 段
解析：(1) 每段長度要能整除三條繩子 → 是三數的公因數，最長即最大公因數。
84＝22×3×7、126＝2×32×7、210＝2×3×5×7
→ (84 , 126 , 210)＝2×3×7＝42 公分。
(2) 各剪成 84÷42＝2 段、126÷42＝3 段、210÷42＝5 段，合計 2＋3＋5＝10 段。
2-2-C08 [計算]📄 改編·臺北中山 110
一條長 120 公尺的直線步道，原本每隔 8 公尺立一根木樁（頭尾兩端都立）。現在要改成每隔 6 公尺立一根（頭尾兩端仍都立）。
(1) 有幾根原有的木樁剛好在新位置上，不必移動？
(2) 需要新增幾根木樁？
答案：(1) 6 根 (2) 15 根
解析：以一端為 0 公尺，原木樁在 8 的倍數處，新木樁在 6 的倍數處。
(1) 不必移動＝位置同時是 8 與 6 的倍數，即 [8 , 6]＝24 的倍數。
位置為 0、24、…、120，共 120÷24＋1＝6 根。
(2) 新的木樁全部共 120÷6＋1＝21 根，其中 6 根已經有了，
需新增 21－6＝15 根。
2-2-C09 [計算]📄 自編
甲、乙兩個齒輪互相咬合轉動，甲有 24 齒、乙有 36 齒。從某個咬合位置開始轉動，試問：
(1) 至少要轉過幾齒，兩齒輪才會再度回到最初的咬合位置？
(2) 此時甲、乙各轉了幾圈？
答案：(1) 72 齒 (2) 甲 3 圈、乙 2 圈
解析：(1) 甲每轉過 24 齒回到原位、乙每轉過 36 齒回到原位，兩者同時回到原位 → 轉過的齒數是 24 與 36 的公倍數，最少即最小公倍數。
24＝23×3、36＝22×32 → [24 , 36]＝23×32＝72 齒。
(2) 甲轉 72÷24＝3 圈、乙轉 72÷36＝2 圈。
2-2-C10 [計算]📄 自編
已知兩個正整數 a、b（a≦b）的最大公因數為 6、最小公倍數為 72。
(1) 求 a×b 的值。
(2) 求所有可能的 a、b 數對。
答案：(1) 432 (2) (a , b)＝(6 , 72)；(a , b)＝(18 , 24)
解析：(1) a×b＝(a , b)×[a , b]＝6×72＝432。
(2) 因為最大公因數是 6，可設 a＝6m、b＝6n，且 m、n 互質（m≦n）。
此時 [a , b]＝6mn＝72 → mn＝72÷6＝12。
把 12 拆成兩個互質的正整數相乘：1×12、3×4。
乘回 6 得 (6 , 72)；(18 , 24)。
B 卷（2-2 最大公因數與最小公倍數 ‧ 20 題）
2-2-F11 [填充]📄 改編·高雄光華 113
求下列各值：
(1) (36 , 84)＝______ (2) [36 , 84]＝______
答案：(1) 12 (2) 252
解析：先做質因數分解：36＝22×32、84＝22×3×7。
(1) 最大公因數取共同質因數的最小次數 → (36 , 84)＝22×3＝12。
(2) 最小公倍數取所有質因數的最大次數 → [36 , 84]＝22×32×7＝252。
（可驗算：12×252＝3024＝36×84）
2-2-F12 [填充]📄 改編·高雄翠屏 113
已知三數 22×33×52、24×32×53、23×34×5，求此三數的最大公因數＝______（以標準分解式表示）
答案：22×32×5
解析：最大公因數＝三個數都有的質因數，取最小的次數。
2 的次數：2、4、3 → 取最小的 2
3 的次數：3、2、4 → 取最小的 2
5 的次數：2、3、1 → 取最小的 1
故最大公因數＝22×32×5＝180。
2-2-F13 [填充]📄 改編·臺中大業 113
以標準分解式表示 [ 23×32 , 3×52 , 2×5×72 ]＝______
答案：23×32×52×72
解析：最小公倍數＝出現過的每個質因數，都取最大的次數。
2 的次數：3、0、1 → 取最大的 3
3 的次數：2、1、0 → 取最大的 2
5 的次數：0、2、1 → 取最大的 2
7 的次數：0、0、2 → 取最大的 2
故最小公倍數＝23×32×52×72＝88200。
2-2-F14 [填充]📄 自編
已知兩個正整數 a、b，其中 a＝90，且 (a , b)＝18、[a , b]＝540，則 b＝______。
答案：108
解析：任兩正整數都滿足 a×b＝(a , b)×[a , b]。
90×b＝18×540＝9720
b＝9720÷90＝108。
（驗算：90＝2×32×5、108＝22×33 → (90,108)＝18 ✔、[90,108]＝540 ✔）
2-2-F15 [填充]📄 改編·臺中大業 113
在 20 與 40 之間（含 20、40）的正整數中，將與 24 互質的數由小到大排列，則第 3 個數是 ______。
答案：29
解析：「與 24 互質」＝與 24 的最大公因數為 1，也就是不含 24 的任何質因數。
24＝23×3，質因數為 2、3，所以要把 2、3 的倍數全部刪掉。
20~40 剩下的是：23、25、29、31、35、37。
第 3 個為 29。
2-2-F16 [填充]📄 改編·高雄翠屏 113
水果行要將 252 顆芒果分裝成禮盒，每盒芒果數一樣多且剛好裝完，若每盒最多裝 15 顆，則至少需要多少個禮盒？______
答案：18 個（每盒 14 顆）
解析：每盒數量相同且剛好裝完 → 每盒顆數必為 252 的因數。
252＝22×32×7，正因數有 1、2、3、4、6、7、9、12、14、18、21、28、36、42、63、84、126、252。
盒數要最少，每盒就要裝最多；在不超過 15 的因數中最大的是 14。
故至少需要 252÷14＝18 個禮盒。
2-2-F17 [填充]📄 改編·高雄翠屏 113
宏錩身上的現金，以 2 元、3 元、5 元去分都剛好餘 1 元。若他身上的現金在 100 元到 200 元之間，則他身上的現金可能是多少元？______（全部列出才給分）
答案：121、151、181 元
解析：設現金為 x 元。x 除以 2、3、5 都餘 1 → x－1 同時是 2、3、5 的公倍數。
[2 , 3 , 5]＝30，所以 x－1 是 30 的倍數，即 x＝30×n＋1。
取 100≦x≦200：30×4＋1＝121、30×5＋1＝151、30×6＋1＝181 → 121、151、181 元。
2-2-F18 [填充]📄 改編·臺北中山 110
王先生的莊園圍牆長 48 公尺，原本每隔 40 公分安裝一個紅色燈泡（兩端都安裝）。後來覺得不夠閃亮，改為每隔 24 公分安裝一個黃色燈泡（兩端都安裝）。則施作時有幾個原先裝好的紅色燈泡位置，剛好被換成黃色燈泡？______
答案：41 個
解析：把圍牆一端當作 0，紅燈泡在 40 的倍數的位置，黃燈泡在 24 的倍數的位置。
位置重疊 → 該位置同時是 40 與 24 的公倍數，最小的是 [40 , 24]＝120。
圍牆長 48 公尺＝4800 公分，重疊位置為 0、120、240、…、4800，共 4800÷120＋1＝41 個（兩端都算）。
2-2-F19 [填充]📄 改編·臺中向上 113
求 ( 2×3×52 , [ 84 , 90 ] )＝______（化成標準分解式）
答案：2×3×5
解析：先算中括號：84＝22×3×7、90＝2×32×5，取各質因數的最大次數 → [84 , 90]＝22×32×5×7＝1260。
再算小括號：2×3×52＝150 與 1260 取共同質因數的最小次數 → 2×3×5＝30。
2-2-F20 [填充]📄 改編·高雄左營 113
求 ( 36 , 90 ) ＋ [ 12 , 18 , 24 ]＝______。
答案：90
解析：(36 , 90)：36＝22×32、90＝2×32×5，取共同質因數的最小次數 → 2×32＝18。
[12 , 18 , 24]：12＝22×3、18＝2×32、24＝23×3，取所有質因數的最大次數 → 23×32＝72。
相加：18＋72＝90。
2-2-C11 [計算]📄 改編·高雄翠屏 113
小杰、芳羽和冠鑫到兒童樂園玩旋轉木馬，每次可乘坐 5 分鐘。第一層木馬每 10 秒繞一圈、第二層每 15 秒繞一圈、第三層每 20 秒繞一圈。出發時三人並排而坐（各坐一層）。
(1) 出發後經過幾秒，三人第一次同時回到出發的位置？
(2) 在這 5 分鐘內，三人共會在出發位置相會幾次？（不含出發時那一次）
答案：(1) 60 秒 (2) 5 次
解析：(1) 各層回到原位的時刻分別是 10、15、20 的倍數，三人同時回到原位 → 時間是三者的公倍數，第一次就是最小公倍數。
10＝2×5、15＝3×5、20＝22×5 → [10 , 15 , 20]＝22×3×5＝60 秒。
(2) 5 分鐘＝300 秒，相會時刻為 60、120、… 秒。
300÷60＝5 → 共 5 次。
2-2-C12 [計算]📄 自編
某轉運站有甲、乙、丙三條路線，分別每 10 分鐘、15 分鐘、25 分鐘發一班車。若上午 6:00 三線同時發車，試問：
(1) 下一次三線同時發車是幾點幾分？
(2) 從上午 6:00 到 11:00 之間（不含 6:00 那一次），三線共同時發車幾次？
答案：(1) 8:30 (2) 2 次
解析：(1) 三線同時發車的時刻是 10、15、25 的公倍數，下一次就是最小公倍數。
10＝2×5、15＝3×5、25＝52 → [10 , 15 , 25]＝2×3×52＝150 分鐘。
150 分鐘＝2 小時 30 分，故下一次為 8:30。
(2) 這段時間共 5 小時＝300 分鐘，300÷150＝2 → 共 2 次。
2-2-C13 [計算]📄 自編
有一塊長 210 公分、寬 150 公分的長方形地板，要用邊長相同的正方形磁磚剛好鋪滿（磁磚不可裁切、不可重疊）。
(1) 正方形磁磚的邊長最長是幾公分？
(2) 此時共需要幾塊磁磚？
答案：(1) 30 公分 (2) 35 塊
解析：(1) 磁磚要剛好鋪滿 → 邊長必須同時整除 210 和 150，即為兩者的公因數；最長就是最大公因數。
210＝2×3×5×7、150＝2×3×52 → (210 , 150)＝2×3×5＝30 公分。
(2) 長邊排 210÷30＝7 塊、寬邊排 150÷30＝5 塊，共 7×5＝35 塊。
2-2-C14 [計算]📄 自編
已知兩個正整數 a、b 滿足 a×b＝10800，且 a、b 的最大公因數為 30。
(1) 求 a、b 的最小公倍數。
(2) 若再知道 a＜b 且 a＝90，求 b。
答案：(1) 360 (2) b＝120
解析：(1) 由 a×b＝(a , b)×[a , b]：
10800＝30×[a , b] → [a , b]＝10800÷30＝360。
(2) b＝10800÷a＝10800÷90＝120。
驗算：90＝2×32×5、120＝23×3×5，(90 , 120)＝30 ✔、[90 , 120]＝360 ✔。
2-2-C15 [計算]📄 改編·高雄翠屏 113
糖果 120 顆或 168 顆，都可以平分給同一群小朋友（每人分到的顆數為整數，且人數超過 1 人）。
(1) 這群小朋友最多可能有幾人？
(2) 小朋友的人數共有幾種可能？請全部列出。
答案：(1) 24 人 (2) 7 種：2、3、4、6、8、12、24 人
解析：(1) 人數要同時整除 120 與 168 → 是兩者的公因數，最多就是最大公因數。
120＝23×3×5、168＝23×3×7 → (120 , 168)＝23×3＝24 人。
(2) 公因數＝最大公因數 24 的所有因數：1、2、3、4、6、8、12、24；題目要求人數超過 1 人，去掉 1 之後為 2、3、4、6、8、12、24，共 7 種。
（補充：120 與 168 的差為 48，所以人數也一定是 48 的因數，可用來快速檢查。）
2-2-C16 [計算]📄 改編·臺北仁愛 113
靜香發現有一種數很特別：它被 2 除時餘 1、被 3 除時餘 2、被 4 除時餘 3、…、一直到被 5 除時餘 4（也就是除以 2~5 的每個數，餘數都比除數少 1）。
(1) 請說明這種數加 1 之後有什麼性質。
(2) 求具有此性質的最大 4 位數。
答案：(1) 加 1 後是 2~5 的公倍數（即 60 的倍數） (2) 9959
解析：(1) 設此數為 N。「除以 m 餘 m－1」表示再多 1 就剛好整除，所以 N＋1 同時被 2、3、…、5 整除 → N＋1 是 2~5 的公倍數。
[2 , 3 , … , 5]＝60，故 N＋1＝60×n，即 N＝60n－1。
(2) 要最大的 4 位數：60n－1≦9999 → n≦166，取 n＝166。
N＝60×166－1＝9959。
2-2-C17 [計算]📄 自編
有三條繩子，長度分別為 96 公分、144 公分、240 公分。現在要把它們剪成長度相同且最長的小段，且完全不浪費（不剩零頭）。
(1) 每小段最長是幾公分？
(2) 共可剪成幾小段？
答案：(1) 48 公分 (2) 10 段
解析：(1) 每段長度要能整除三條繩子 → 是三數的公因數，最長即最大公因數。
96＝25×3、144＝24×32、240＝24×3×5
→ (96 , 144 , 240)＝24×3＝48 公分。
(2) 各剪成 96÷48＝2 段、144÷48＝3 段、240÷48＝5 段，合計 2＋3＋5＝10 段。
2-2-C18 [計算]📄 改編·臺北中山 110
一條長 180 公尺的直線步道，原本每隔 12 公尺立一根木樁（頭尾兩端都立）。現在要改成每隔 9 公尺立一根（頭尾兩端仍都立）。
(1) 有幾根原有的木樁剛好在新位置上，不必移動？
(2) 需要新增幾根木樁？
答案：(1) 6 根 (2) 15 根
解析：以一端為 0 公尺，原木樁在 12 的倍數處，新木樁在 9 的倍數處。
(1) 不必移動＝位置同時是 12 與 9 的倍數，即 [12 , 9]＝36 的倍數。
位置為 0、36、…、180，共 180÷36＋1＝6 根。
(2) 新的木樁全部共 180÷9＋1＝21 根，其中 6 根已經有了，
需新增 21－6＝15 根。
2-2-C19 [計算]📄 自編
甲、乙兩個齒輪互相咬合轉動，甲有 18 齒、乙有 30 齒。從某個咬合位置開始轉動，試問：
(1) 至少要轉過幾齒，兩齒輪才會再度回到最初的咬合位置？
(2) 此時甲、乙各轉了幾圈？
答案：(1) 90 齒 (2) 甲 5 圈、乙 3 圈
解析：(1) 甲每轉過 18 齒回到原位、乙每轉過 30 齒回到原位，兩者同時回到原位 → 轉過的齒數是 18 與 30 的公倍數，最少即最小公倍數。
18＝2×32、30＝2×3×5 → [18 , 30]＝2×32×5＝90 齒。
(2) 甲轉 90÷18＝5 圈、乙轉 90÷30＝3 圈。
2-2-C20 [計算]📄 自編
已知兩個正整數 a、b（a≦b）的最大公因數為 4、最小公倍數為 60。
(1) 求 a×b 的值。
(2) 求所有可能的 a、b 數對。
答案：(1) 240 (2) (a , b)＝(4 , 60)；(a , b)＝(12 , 20)
解析：(1) a×b＝(a , b)×[a , b]＝4×60＝240。
(2) 因為最大公因數是 4，可設 a＝4m、b＝4n，且 m、n 互質（m≦n）。
此時 [a , b]＝4mn＝60 → mn＝60÷4＝15。
把 15 拆成兩個互質的正整數相乘：1×15、3×5。
乘回 4 得 (4 , 60)；(12 , 20)。
C 卷（2-2 最大公因數與最小公倍數 ‧ 20 題）
2-2-F21 [填充]📄 改編·高雄光華 113
求下列各值：
(1) (60 , 126)＝______ (2) [60 , 126]＝______
答案：(1) 6 (2) 1260
解析：先做質因數分解：60＝22×3×5、126＝2×32×7。
(1) 最大公因數取共同質因數的最小次數 → (60 , 126)＝2×3＝6。
(2) 最小公倍數取所有質因數的最大次數 → [60 , 126]＝22×32×5×7＝1260。
（可驗算：6×1260＝7560＝60×126）
2-2-F22 [填充]📄 改編·高雄翠屏 113
已知三數 25×3×112、23×33×11、24×32×113，求此三數的最大公因數＝______（以標準分解式表示）
答案：23×3×11
解析：最大公因數＝三個數都有的質因數，取最小的次數。
2 的次數：5、3、4 → 取最小的 3
3 的次數：1、3、2 → 取最小的 1
11 的次數：2、1、3 → 取最小的 1
故最大公因數＝23×3×11＝264。
2-2-F23 [填充]📄 改編·臺中大業 113
以標準分解式表示 [ 2×33×5 , 24×52 , 32×5×11 ]＝______
答案：24×33×52×11
解析：最小公倍數＝出現過的每個質因數，都取最大的次數。
2 的次數：1、4、0 → 取最大的 4
3 的次數：3、0、2 → 取最大的 3
5 的次數：1、2、1 → 取最大的 2
11 的次數：0、0、1 → 取最大的 1
故最小公倍數＝24×33×52×11＝118800。
2-2-F24 [填充]📄 自編
已知兩個正整數 a、b，其中 a＝120，且 (a , b)＝15、[a , b]＝360，則 b＝______。
答案：45
解析：任兩正整數都滿足 a×b＝(a , b)×[a , b]。
120×b＝15×360＝5400
b＝5400÷120＝45。
（驗算：120＝23×3×5、45＝32×5 → (120,45)＝15 ✔、[120,45]＝360 ✔）
2-2-F25 [填充]📄 改編·臺中大業 113
在 40 與 60 之間（含 40、60）的正整數中，將與 30 互質的數由小到大排列，則第 5 個數是 ______。
答案：53
解析：「與 30 互質」＝與 30 的最大公因數為 1，也就是不含 30 的任何質因數。
30＝2×3×5，質因數為 2、3、5，所以要把 2、3、5 的倍數全部刪掉。
40~60 剩下的是：41、43、47、49、53、59。
第 5 個為 53。
2-2-F26 [填充]📄 改編·高雄翠屏 113
水果行要將 416 顆芒果分裝成禮盒，每盒芒果數一樣多且剛好裝完，若每盒最多裝 18 顆，則至少需要多少個禮盒？______
答案：26 個（每盒 16 顆）
解析：每盒數量相同且剛好裝完 → 每盒顆數必為 416 的因數。
416＝25×13，正因數有 1、2、4、8、13、16、26、32、52、104、208、416。
盒數要最少，每盒就要裝最多；在不超過 18 的因數中最大的是 16。
故至少需要 416÷16＝26 個禮盒。
2-2-F27 [填充]📄 改編·高雄翠屏 113
宏錩身上的現金，以 3 元、4 元、5 元去分都剛好餘 2 元。若他身上的現金在 150 元到 250 元之間，則他身上的現金可能是多少元？______（全部列出才給分）
答案：182、242 元
解析：設現金為 x 元。x 除以 3、4、5 都餘 2 → x－2 同時是 3、4、5 的公倍數。
[3 , 4 , 5]＝60，所以 x－2 是 60 的倍數，即 x＝60×n＋2。
取 150≦x≦250：60×3＋2＝182、60×4＋2＝242 → 182、242 元。
2-2-F28 [填充]📄 改編·臺北中山 110
王先生的莊園圍牆長 72 公尺，原本每隔 45 公分安裝一個紅色燈泡（兩端都安裝）。後來覺得不夠閃亮，改為每隔 30 公分安裝一個黃色燈泡（兩端都安裝）。則施作時有幾個原先裝好的紅色燈泡位置，剛好被換成黃色燈泡？______
答案：81 個
解析：把圍牆一端當作 0，紅燈泡在 45 的倍數的位置，黃燈泡在 30 的倍數的位置。
位置重疊 → 該位置同時是 45 與 30 的公倍數，最小的是 [45 , 30]＝90。
圍牆長 72 公尺＝7200 公分，重疊位置為 0、90、180、…、7200，共 7200÷90＋1＝81 個（兩端都算）。
2-2-F29 [填充]📄 改編·臺中向上 113
求 ( 2×32×7 , [ 60 , 45 ] )＝______（化成標準分解式）
答案：2×32
解析：先算中括號：60＝22×3×5、45＝32×5，取各質因數的最大次數 → [60 , 45]＝22×32×5＝180。
再算小括號：2×32×7＝126 與 180 取共同質因數的最小次數 → 2×32＝18。
2-2-F30 [填充]📄 改編·高雄左營 113
求 ( 48 , 72 ) ＋ [ 15 , 20 , 25 ]＝______。
答案：324
解析：(48 , 72)：48＝24×3、72＝23×32，取共同質因數的最小次數 → 23×3＝24。
[15 , 20 , 25]：15＝3×5、20＝22×5、25＝52，取所有質因數的最大次數 → 22×3×52＝300。
相加：24＋300＝324。
2-2-C21 [計算]📄 改編·高雄翠屏 113
小杰、芳羽和冠鑫到兒童樂園玩旋轉木馬，每次可乘坐 4 分鐘。第一層木馬每 8 秒繞一圈、第二層每 12 秒繞一圈、第三層每 20 秒繞一圈。出發時三人並排而坐（各坐一層）。
(1) 出發後經過幾秒，三人第一次同時回到出發的位置？
(2) 在這 4 分鐘內，三人共會在出發位置相會幾次？（不含出發時那一次）
答案：(1) 120 秒 (2) 2 次
解析：(1) 各層回到原位的時刻分別是 8、12、20 的倍數，三人同時回到原位 → 時間是三者的公倍數，第一次就是最小公倍數。
8＝23、12＝22×3、20＝22×5 → [8 , 12 , 20]＝23×3×5＝120 秒。
(2) 4 分鐘＝240 秒，相會時刻為 120、240、… 秒。
240÷120＝2 → 共 2 次。
2-2-C22 [計算]📄 自編
某轉運站有甲、乙、丙三條路線，分別每 8 分鐘、12 分鐘、20 分鐘發一班車。若上午 6:00 三線同時發車，試問：
(1) 下一次三線同時發車是幾點幾分？
(2) 從上午 6:00 到 10:00 之間（不含 6:00 那一次），三線共同時發車幾次？
答案：(1) 8:00 (2) 2 次
解析：(1) 三線同時發車的時刻是 8、12、20 的公倍數，下一次就是最小公倍數。
8＝23、12＝22×3、20＝22×5 → [8 , 12 , 20]＝23×3×5＝120 分鐘。
120 分鐘＝2 小時 0 分，故下一次為 8:00。
(2) 這段時間共 4 小時＝240 分鐘，240÷120＝2 → 共 2 次。
2-2-C23 [計算]📄 自編
有一塊長 144 公分、寬 96 公分的長方形地板，要用邊長相同的正方形磁磚剛好鋪滿（磁磚不可裁切、不可重疊）。
(1) 正方形磁磚的邊長最長是幾公分？
(2) 此時共需要幾塊磁磚？
答案：(1) 48 公分 (2) 6 塊
解析：(1) 磁磚要剛好鋪滿 → 邊長必須同時整除 144 和 96，即為兩者的公因數；最長就是最大公因數。
144＝24×32、96＝25×3 → (144 , 96)＝24×3＝48 公分。
(2) 長邊排 144÷48＝3 塊、寬邊排 96÷48＝2 塊，共 3×2＝6 塊。
2-2-C24 [計算]📄 自編
已知兩個正整數 a、b 滿足 a×b＝7776，且 a、b 的最大公因數為 36。
(1) 求 a、b 的最小公倍數。
(2) 若再知道 a＜b 且 a＝72，求 b。
答案：(1) 216 (2) b＝108
解析：(1) 由 a×b＝(a , b)×[a , b]：
7776＝36×[a , b] → [a , b]＝7776÷36＝216。
(2) b＝7776÷a＝7776÷72＝108。
驗算：72＝23×32、108＝22×33，(72 , 108)＝36 ✔、[72 , 108]＝216 ✔。
2-2-C25 [計算]📄 改編·高雄翠屏 113
糖果 135 顆或 225 顆，都可以平分給同一群小朋友（每人分到的顆數為整數，且人數超過 1 人）。
(1) 這群小朋友最多可能有幾人？
(2) 小朋友的人數共有幾種可能？請全部列出。
答案：(1) 45 人 (2) 5 種：3、5、9、15、45 人
解析：(1) 人數要同時整除 135 與 225 → 是兩者的公因數，最多就是最大公因數。
135＝33×5、225＝32×52 → (135 , 225)＝32×5＝45 人。
(2) 公因數＝最大公因數 45 的所有因數：1、3、5、9、15、45；題目要求人數超過 1 人，去掉 1 之後為 3、5、9、15、45，共 5 種。
（補充：135 與 225 的差為 90，所以人數也一定是 90 的因數，可用來快速檢查。）
2-2-C26 [計算]📄 改編·臺北仁愛 113
靜香發現有一種數很特別：它被 2 除時餘 1、被 3 除時餘 2、被 4 除時餘 3、…、一直到被 7 除時餘 6（也就是除以 2~7 的每個數，餘數都比除數少 1）。
(1) 請說明這種數加 1 之後有什麼性質。
(2) 求具有此性質的最大 4 位數。
答案：(1) 加 1 後是 2~7 的公倍數（即 420 的倍數） (2) 9659
解析：(1) 設此數為 N。「除以 m 餘 m－1」表示再多 1 就剛好整除，所以 N＋1 同時被 2、3、…、7 整除 → N＋1 是 2~7 的公倍數。
[2 , 3 , … , 7]＝420，故 N＋1＝420×n，即 N＝420n－1。
(2) 要最大的 4 位數：420n－1≦9999 → n≦23，取 n＝23。
N＝420×23－1＝9659。
2-2-C27 [計算]📄 自編
有三條繩子，長度分別為 120 公分、180 公分、300 公分。現在要把它們剪成長度相同且最長的小段，且完全不浪費（不剩零頭）。
(1) 每小段最長是幾公分？
(2) 共可剪成幾小段？
答案：(1) 60 公分 (2) 10 段
解析：(1) 每段長度要能整除三條繩子 → 是三數的公因數，最長即最大公因數。
120＝23×3×5、180＝22×32×5、300＝22×3×52
→ (120 , 180 , 300)＝22×3×5＝60 公分。
(2) 各剪成 120÷60＝2 段、180÷60＝3 段、300÷60＝5 段，合計 2＋3＋5＝10 段。
2-2-C28 [計算]📄 改編·臺北中山 110
一條長 240 公尺的直線步道，原本每隔 15 公尺立一根木樁（頭尾兩端都立）。現在要改成每隔 10 公尺立一根（頭尾兩端仍都立）。
(1) 有幾根原有的木樁剛好在新位置上，不必移動？
(2) 需要新增幾根木樁？
答案：(1) 9 根 (2) 16 根
解析：以一端為 0 公尺，原木樁在 15 的倍數處，新木樁在 10 的倍數處。
(1) 不必移動＝位置同時是 15 與 10 的倍數，即 [15 , 10]＝30 的倍數。
位置為 0、30、…、240，共 240÷30＋1＝9 根。
(2) 新的木樁全部共 240÷10＋1＝25 根，其中 9 根已經有了，
需新增 25－9＝16 根。
2-2-C29 [計算]📄 自編
甲、乙兩個齒輪互相咬合轉動，甲有 28 齒、乙有 42 齒。從某個咬合位置開始轉動，試問：
(1) 至少要轉過幾齒，兩齒輪才會再度回到最初的咬合位置？
(2) 此時甲、乙各轉了幾圈？
答案：(1) 84 齒 (2) 甲 3 圈、乙 2 圈
解析：(1) 甲每轉過 28 齒回到原位、乙每轉過 42 齒回到原位，兩者同時回到原位 → 轉過的齒數是 28 與 42 的公倍數，最少即最小公倍數。
28＝22×7、42＝2×3×7 → [28 , 42]＝22×3×7＝84 齒。
(2) 甲轉 84÷28＝3 圈、乙轉 84÷42＝2 圈。
2-2-C30 [計算]📄 自編
已知兩個正整數 a、b（a≦b）的最大公因數為 9、最小公倍數為 90。
(1) 求 a×b 的值。
(2) 求所有可能的 a、b 數對。
答案：(1) 810 (2) (a , b)＝(9 , 90)；(a , b)＝(18 , 45)
解析：(1) a×b＝(a , b)×[a , b]＝9×90＝810。
(2) 因為最大公因數是 9，可設 a＝9m、b＝9n，且 m、n 互質（m≦n）。
此時 [a , b]＝9mn＝90 → mn＝90÷9＝10。
把 10 拆成兩個互質的正整數相乘：1×10、2×5。
乘回 9 得 (9 , 90)；(18 , 45)。
D 卷（2-2 最大公因數與最小公倍數 ‧ 20 題）
2-2-F31 [填充]📄 改編·高雄光華 113
求下列各值：
(1) (48 , 180)＝______ (2) [48 , 180]＝______
答案：(1) 12 (2) 720
解析：先做質因數分解：48＝24×3、180＝22×32×5。
(1) 最大公因數取共同質因數的最小次數 → (48 , 180)＝22×3＝12。
(2) 最小公倍數取所有質因數的最大次數 → [48 , 180]＝24×32×5＝720。
（可驗算：12×720＝8640＝48×180）
2-2-F32 [填充]📄 改編·高雄翠屏 113
已知三數 32×53×7、34×5×72、33×52×73，求此三數的最大公因數＝______（以標準分解式表示）
答案：32×5×7
解析：最大公因數＝三個數都有的質因數，取最小的次數。
3 的次數：2、4、3 → 取最小的 2
5 的次數：3、1、2 → 取最小的 1
7 的次數：1、2、3 → 取最小的 1
故最大公因數＝32×5×7＝315。
2-2-F33 [填充]📄 改編·臺中大業 113
以標準分解式表示 [ 22×32×5 , 2×34 , 53×7 ]＝______
答案：22×34×53×7
解析：最小公倍數＝出現過的每個質因數，都取最大的次數。
2 的次數：2、1、0 → 取最大的 2
3 的次數：2、4、0 → 取最大的 4
5 的次數：1、0、3 → 取最大的 3
7 的次數：0、0、1 → 取最大的 1
故最小公倍數＝22×34×53×7＝283500。
2-2-F34 [填充]📄 自編
已知兩個正整數 a、b，其中 a＝72，且 (a , b)＝24、[a , b]＝288，則 b＝______。
答案：96
解析：任兩正整數都滿足 a×b＝(a , b)×[a , b]。
72×b＝24×288＝6912
b＝6912÷72＝96。
（驗算：72＝23×32、96＝25×3 → (72,96)＝24 ✔、[72,96]＝288 ✔）
2-2-F35 [填充]📄 改編·臺中大業 113
在 25 與 45 之間（含 25、45）的正整數中，將與 18 互質的數由小到大排列，則第 4 個數是 ______。
答案：35
解析：「與 18 互質」＝與 18 的最大公因數為 1，也就是不含 18 的任何質因數。
18＝2×32，質因數為 2、3，所以要把 2、3 的倍數全部刪掉。
25~45 剩下的是：25、29、31、35、37、41、43。
第 4 個為 35。
2-2-F36 [填充]📄 改編·高雄翠屏 113
水果行要將 315 顆芒果分裝成禮盒，每盒芒果數一樣多且剛好裝完，若每盒最多裝 20 顆，則至少需要多少個禮盒？______
答案：21 個（每盒 15 顆）
解析：每盒數量相同且剛好裝完 → 每盒顆數必為 315 的因數。
315＝32×5×7，正因數有 1、3、5、7、9、15、21、35、45、63、105、315。
盒數要最少，每盒就要裝最多；在不超過 20 的因數中最大的是 15。
故至少需要 315÷15＝21 個禮盒。
2-2-F37 [填充]📄 改編·高雄翠屏 113
宏錩身上的現金，以 4 元、5 元、6 元去分都剛好餘 3 元。若他身上的現金在 200 元到 350 元之間，則他身上的現金可能是多少元？______（全部列出才給分）
答案：243、303 元
解析：設現金為 x 元。x 除以 4、5、6 都餘 3 → x－3 同時是 4、5、6 的公倍數。
[4 , 5 , 6]＝60，所以 x－3 是 60 的倍數，即 x＝60×n＋3。
取 200≦x≦350：60×4＋3＝243、60×5＋3＝303 → 243、303 元。
2-2-F38 [填充]📄 改編·臺北中山 110
王先生的莊園圍牆長 90 公尺，原本每隔 50 公分安裝一個紅色燈泡（兩端都安裝）。後來覺得不夠閃亮，改為每隔 20 公分安裝一個黃色燈泡（兩端都安裝）。則施作時有幾個原先裝好的紅色燈泡位置，剛好被換成黃色燈泡？______
答案：91 個
解析：把圍牆一端當作 0，紅燈泡在 50 的倍數的位置，黃燈泡在 20 的倍數的位置。
位置重疊 → 該位置同時是 50 與 20 的公倍數，最小的是 [50 , 20]＝100。
圍牆長 90 公尺＝9000 公分，重疊位置為 0、100、200、…、9000，共 9000÷100＋1＝91 個（兩端都算）。
2-2-F39 [填充]📄 改編·臺中向上 113
求 ( 22×5×7 , [ 88 , 132 ] )＝______（化成標準分解式）
答案：22
解析：先算中括號：88＝23×11、132＝22×3×11，取各質因數的最大次數 → [88 , 132]＝23×3×11＝264。
再算小括號：22×5×7＝140 與 264 取共同質因數的最小次數 → 22＝4。
2-2-F40 [填充]📄 改編·高雄左營 113
求 ( 54 , 126 ) ＋ [ 14 , 21 , 28 ]＝______。
答案：102
解析：(54 , 126)：54＝2×33、126＝2×32×7，取共同質因數的最小次數 → 2×32＝18。
[14 , 21 , 28]：14＝2×7、21＝3×7、28＝22×7，取所有質因數的最大次數 → 22×3×7＝84。
相加：18＋84＝102。
2-2-C31 [計算]📄 改編·高雄翠屏 113
小杰、芳羽和冠鑫到兒童樂園玩旋轉木馬，每次可乘坐 5 分鐘。第一層木馬每 6 秒繞一圈、第二層每 10 秒繞一圈、第三層每 15 秒繞一圈。出發時三人並排而坐（各坐一層）。
(1) 出發後經過幾秒，三人第一次同時回到出發的位置？
(2) 在這 5 分鐘內，三人共會在出發位置相會幾次？（不含出發時那一次）
答案：(1) 30 秒 (2) 10 次
解析：(1) 各層回到原位的時刻分別是 6、10、15 的倍數，三人同時回到原位 → 時間是三者的公倍數，第一次就是最小公倍數。
6＝2×3、10＝2×5、15＝3×5 → [6 , 10 , 15]＝2×3×5＝30 秒。
(2) 5 分鐘＝300 秒，相會時刻為 30、60、… 秒。
300÷30＝10 → 共 10 次。
2-2-C32 [計算]📄 自編
某轉運站有甲、乙、丙三條路線，分別每 9 分鐘、15 分鐘、21 分鐘發一班車。若上午 6:00 三線同時發車，試問：
(1) 下一次三線同時發車是幾點幾分？
(2) 從上午 6:00 到 13:00 之間（不含 6:00 那一次），三線共同時發車幾次？
答案：(1) 11:15 (2) 1 次
解析：(1) 三線同時發車的時刻是 9、15、21 的公倍數，下一次就是最小公倍數。
9＝32、15＝3×5、21＝3×7 → [9 , 15 , 21]＝32×5×7＝315 分鐘。
315 分鐘＝5 小時 15 分，故下一次為 11:15。
(2) 這段時間共 7 小時＝420 分鐘，420÷315＝1…餘 105 → 共 1 次。
2-2-C33 [計算]📄 自編
有一塊長 252 公分、寬 180 公分的長方形地板，要用邊長相同的正方形磁磚剛好鋪滿（磁磚不可裁切、不可重疊）。
(1) 正方形磁磚的邊長最長是幾公分？
(2) 此時共需要幾塊磁磚？
答案：(1) 36 公分 (2) 35 塊
解析：(1) 磁磚要剛好鋪滿 → 邊長必須同時整除 252 和 180，即為兩者的公因數；最長就是最大公因數。
252＝22×32×7、180＝22×32×5 → (252 , 180)＝22×32＝36 公分。
(2) 長邊排 252÷36＝7 塊、寬邊排 180÷36＝5 塊，共 7×5＝35 塊。
2-2-C34 [計算]📄 自編
已知兩個正整數 a、b 滿足 a×b＝10080，且 a、b 的最大公因數為 12。
(1) 求 a、b 的最小公倍數。
(2) 若再知道 a＜b 且 a＝60，求 b。
答案：(1) 840 (2) b＝168
解析：(1) 由 a×b＝(a , b)×[a , b]：
10080＝12×[a , b] → [a , b]＝10080÷12＝840。
(2) b＝10080÷a＝10080÷60＝168。
驗算：60＝22×3×5、168＝23×3×7，(60 , 168)＝12 ✔、[60 , 168]＝840 ✔。
2-2-C35 [計算]📄 改編·高雄翠屏 113
糖果 144 顆或 240 顆，都可以平分給同一群小朋友（每人分到的顆數為整數，且人數超過 1 人）。
(1) 這群小朋友最多可能有幾人？
(2) 小朋友的人數共有幾種可能？請全部列出。
答案：(1) 48 人 (2) 9 種：2、3、4、6、8、12、16、24、48 人
解析：(1) 人數要同時整除 144 與 240 → 是兩者的公因數，最多就是最大公因數。
144＝24×32、240＝24×3×5 → (144 , 240)＝24×3＝48 人。
(2) 公因數＝最大公因數 48 的所有因數：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48；題目要求人數超過 1 人，去掉 1 之後為 2、3、4、6、8、12、16、24、48，共 9 種。
（補充：144 與 240 的差為 96，所以人數也一定是 96 的因數，可用來快速檢查。）
2-2-C36 [計算]📄 改編·臺北仁愛 113
靜香發現有一種數很特別：它被 2 除時餘 1、被 3 除時餘 2、被 4 除時餘 3、…、一直到被 8 除時餘 7（也就是除以 2~8 的每個數，餘數都比除數少 1）。
(1) 請說明這種數加 1 之後有什麼性質。
(2) 求具有此性質的最大 4 位數。
答案：(1) 加 1 後是 2~8 的公倍數（即 840 的倍數） (2) 9239
解析：(1) 設此數為 N。「除以 m 餘 m－1」表示再多 1 就剛好整除，所以 N＋1 同時被 2、3、…、8 整除 → N＋1 是 2~8 的公倍數。
[2 , 3 , … , 8]＝840，故 N＋1＝840×n，即 N＝840n－1。
(2) 要最大的 4 位數：840n－1≦9999 → n≦11，取 n＝11。
N＝840×11－1＝9239。
2-2-C37 [計算]📄 自編
有三條繩子，長度分別為 105 公分、165 公分、195 公分。現在要把它們剪成長度相同且最長的小段，且完全不浪費（不剩零頭）。
(1) 每小段最長是幾公分？
(2) 共可剪成幾小段？
答案：(1) 15 公分 (2) 31 段
解析：(1) 每段長度要能整除三條繩子 → 是三數的公因數，最長即最大公因數。
105＝3×5×7、165＝3×5×11、195＝3×5×13
→ (105 , 165 , 195)＝3×5＝15 公分。
(2) 各剪成 105÷15＝7 段、165÷15＝11 段、195÷15＝13 段，合計 7＋11＋13＝31 段。
2-2-C38 [計算]📄 改編·臺北中山 110
一條長 150 公尺的直線步道，原本每隔 10 公尺立一根木樁（頭尾兩端都立）。現在要改成每隔 6 公尺立一根（頭尾兩端仍都立）。
(1) 有幾根原有的木樁剛好在新位置上，不必移動？
(2) 需要新增幾根木樁？
答案：(1) 6 根 (2) 20 根
解析：以一端為 0 公尺，原木樁在 10 的倍數處，新木樁在 6 的倍數處。
(1) 不必移動＝位置同時是 10 與 6 的倍數，即 [10 , 6]＝30 的倍數。
位置為 0、30、…、150，共 150÷30＋1＝6 根。
(2) 新的木樁全部共 150÷6＋1＝26 根，其中 6 根已經有了，
需新增 26－6＝20 根。
2-2-C39 [計算]📄 自編
甲、乙兩個齒輪互相咬合轉動，甲有 20 齒、乙有 45 齒。從某個咬合位置開始轉動，試問：
(1) 至少要轉過幾齒，兩齒輪才會再度回到最初的咬合位置？
(2) 此時甲、乙各轉了幾圈？
答案：(1) 180 齒 (2) 甲 9 圈、乙 4 圈
解析：(1) 甲每轉過 20 齒回到原位、乙每轉過 45 齒回到原位，兩者同時回到原位 → 轉過的齒數是 20 與 45 的公倍數，最少即最小公倍數。
20＝22×5、45＝32×5 → [20 , 45]＝22×32×5＝180 齒。
(2) 甲轉 180÷20＝9 圈、乙轉 180÷45＝4 圈。
2-2-C40 [計算]📄 自編
已知兩個正整數 a、b（a≦b）的最大公因數為 12、最小公倍數為 420。
(1) 求 a×b 的值。
(2) 求所有可能的 a、b 數對。
答案：(1) 5040 (2) (a , b)＝(12 , 420)；(a , b)＝(60 , 84)
解析：(1) a×b＝(a , b)×[a , b]＝12×420＝5040。
(2) 因為最大公因數是 12，可設 a＝12m、b＝12n，且 m、n 互質（m≦n）。
此時 [a , b]＝12mn＝420 → mn＝420÷12＝35。
把 35 拆成兩個互質的正整數相乘：1×35、5×7。
乘回 12 得 (12 , 420)；(60 , 84)。
E 卷（2-2 最大公因數與最小公倍數 ‧ 20 題）
2-2-F41 [填充]📄 改編·高雄光華 113
求下列各值：
(1) (54 , 144)＝______ (2) [54 , 144]＝______
答案：(1) 18 (2) 432
解析：先做質因數分解：54＝2×33、144＝24×32。
(1) 最大公因數取共同質因數的最小次數 → (54 , 144)＝2×32＝18。
(2) 最小公倍數取所有質因數的最大次數 → [54 , 144]＝24×33＝432。
（可驗算：18×432＝7776＝54×144）
2-2-F42 [填充]📄 改編·高雄翠屏 113
已知三數 24×52×13、22×54×132、23×53×133，求此三數的最大公因數＝______（以標準分解式表示）
答案：22×52×13
解析：最大公因數＝三個數都有的質因數，取最小的次數。
2 的次數：4、2、3 → 取最小的 2
5 的次數：2、4、3 → 取最小的 2
13 的次數：1、2、3 → 取最小的 1
故最大公因數＝22×52×13＝1300。
2-2-F43 [填充]📄 改編·臺中大業 113
以標準分解式表示 [ 33×72 , 24×7 , 22×3×13 ]＝______
答案：24×33×72×13
解析：最小公倍數＝出現過的每個質因數，都取最大的次數。
2 的次數：0、4、2 → 取最大的 4
3 的次數：3、0、1 → 取最大的 3
7 的次數：2、1、0 → 取最大的 2
13 的次數：0、0、1 → 取最大的 1
故最小公倍數＝24×33×72×13＝275184。
2-2-F44 [填充]📄 自編
已知兩個正整數 a、b，其中 a＝150，且 (a , b)＝15、[a , b]＝1050，則 b＝______。
答案：105
解析：任兩正整數都滿足 a×b＝(a , b)×[a , b]。
150×b＝15×1050＝15750
b＝15750÷150＝105。
（驗算：150＝2×3×52、105＝3×5×7 → (150,105)＝15 ✔、[150,105]＝1050 ✔）
2-2-F45 [填充]📄 改編·臺中大業 113
在 50 與 70 之間（含 50、70）的正整數中，將與 42 互質的數由小到大排列，則第 3 個數是 ______。
答案：59
解析：「與 42 互質」＝與 42 的最大公因數為 1，也就是不含 42 的任何質因數。
42＝2×3×7，質因數為 2、3、7，所以要把 2、3、7 的倍數全部刪掉。
50~70 剩下的是：53、55、59、61、65、67。
第 3 個為 59。
2-2-F46 [填充]📄 改編·高雄翠屏 113
水果行要將 444 顆芒果分裝成禮盒，每盒芒果數一樣多且剛好裝完，若每盒最多裝 16 顆，則至少需要多少個禮盒？______
答案：37 個（每盒 12 顆）
解析：每盒數量相同且剛好裝完 → 每盒顆數必為 444 的因數。
444＝22×3×37，正因數有 1、2、3、4、6、12、37、74、111、148、222、444。
盒數要最少，每盒就要裝最多；在不超過 16 的因數中最大的是 12。
故至少需要 444÷12＝37 個禮盒。
2-2-F47 [填充]📄 改編·高雄翠屏 113
宏錩身上的現金，以 5 元、7 元、9 元去分都剛好餘 3 元。若他身上的現金在 300 元到 400 元之間，則他身上的現金可能是多少元？______（全部列出才給分）
答案：318 元
解析：設現金為 x 元。x 除以 5、7、9 都餘 3 → x－3 同時是 5、7、9 的公倍數。
[5 , 7 , 9]＝315，所以 x－3 是 315 的倍數，即 x＝315×n＋3。
取 300≦x≦400：315×1＋3＝318 → 318 元。
2-2-F48 [填充]📄 改編·臺北中山 110
王先生的莊園圍牆長 36 公尺，原本每隔 24 公分安裝一個紅色燈泡（兩端都安裝）。後來覺得不夠閃亮，改為每隔 18 公分安裝一個黃色燈泡（兩端都安裝）。則施作時有幾個原先裝好的紅色燈泡位置，剛好被換成黃色燈泡？______
答案：51 個
解析：把圍牆一端當作 0，紅燈泡在 24 的倍數的位置，黃燈泡在 18 的倍數的位置。
位置重疊 → 該位置同時是 24 與 18 的公倍數，最小的是 [24 , 18]＝72。
圍牆長 36 公尺＝3600 公分，重疊位置為 0、72、144、…、3600，共 3600÷72＋1＝51 個（兩端都算）。
2-2-F49 [填充]📄 改編·臺中向上 113
求 ( 2×32×11 , [ 120 , 210 ] )＝______（化成標準分解式）
答案：2×3
解析：先算中括號：120＝23×3×5、210＝2×3×5×7，取各質因數的最大次數 → [120 , 210]＝23×3×5×7＝840。
再算小括號：2×32×11＝198 與 840 取共同質因數的最小次數 → 2×3＝6。
2-2-F50 [填充]📄 改編·高雄左營 113
求 ( 40 , 100 ) ＋ [ 18 , 27 , 45 ]＝______。
答案：290
解析：(40 , 100)：40＝23×5、100＝22×52，取共同質因數的最小次數 → 22×5＝20。
[18 , 27 , 45]：18＝2×32、27＝33、45＝32×5，取所有質因數的最大次數 → 2×33×5＝270。
相加：20＋270＝290。
2-2-C41 [計算]📄 改編·高雄翠屏 113
小杰、芳羽和冠鑫到兒童樂園玩旋轉木馬，每次可乘坐 6 分鐘。第一層木馬每 9 秒繞一圈、第二層每 12 秒繞一圈、第三層每 18 秒繞一圈。出發時三人並排而坐（各坐一層）。
(1) 出發後經過幾秒，三人第一次同時回到出發的位置？
(2) 在這 6 分鐘內，三人共會在出發位置相會幾次？（不含出發時那一次）
答案：(1) 36 秒 (2) 10 次
解析：(1) 各層回到原位的時刻分別是 9、12、18 的倍數，三人同時回到原位 → 時間是三者的公倍數，第一次就是最小公倍數。
9＝32、12＝22×3、18＝2×32 → [9 , 12 , 18]＝22×32＝36 秒。
(2) 6 分鐘＝360 秒，相會時刻為 36、72、… 秒。
360÷36＝10 → 共 10 次。
2-2-C42 [計算]📄 自編
某轉運站有甲、乙、丙三條路線，分別每 14 分鐘、20 分鐘、35 分鐘發一班車。若上午 6:00 三線同時發車，試問：
(1) 下一次三線同時發車是幾點幾分？
(2) 從上午 6:00 到 13:00 之間（不含 6:00 那一次），三線共同時發車幾次？
答案：(1) 8:20 (2) 3 次
解析：(1) 三線同時發車的時刻是 14、20、35 的公倍數，下一次就是最小公倍數。
14＝2×7、20＝22×5、35＝5×7 → [14 , 20 , 35]＝22×5×7＝140 分鐘。
140 分鐘＝2 小時 20 分，故下一次為 8:20。
(2) 這段時間共 7 小時＝420 分鐘，420÷140＝3 → 共 3 次。
2-2-C43 [計算]📄 自編
有一塊長 198 公分、寬 132 公分的長方形地板，要用邊長相同的正方形磁磚剛好鋪滿（磁磚不可裁切、不可重疊）。
(1) 正方形磁磚的邊長最長是幾公分？
(2) 此時共需要幾塊磁磚？
答案：(1) 66 公分 (2) 6 塊
解析：(1) 磁磚要剛好鋪滿 → 邊長必須同時整除 198 和 132，即為兩者的公因數；最長就是最大公因數。
198＝2×32×11、132＝22×3×11 → (198 , 132)＝2×3×11＝66 公分。
(2) 長邊排 198÷66＝3 塊、寬邊排 132÷66＝2 塊，共 3×2＝6 塊。
2-2-C44 [計算]📄 自編
已知兩個正整數 a、b 滿足 a×b＝14700，且 a、b 的最大公因數為 35。
(1) 求 a、b 的最小公倍數。
(2) 若再知道 a＜b 且 a＝105，求 b。
答案：(1) 420 (2) b＝140
解析：(1) 由 a×b＝(a , b)×[a , b]：
14700＝35×[a , b] → [a , b]＝14700÷35＝420。
(2) b＝14700÷a＝14700÷105＝140。
驗算：105＝3×5×7、140＝22×5×7，(105 , 140)＝35 ✔、[105 , 140]＝420 ✔。
2-2-C45 [計算]📄 改編·高雄翠屏 113
糖果 210 顆或 294 顆，都可以平分給同一群小朋友（每人分到的顆數為整數，且人數超過 1 人）。
(1) 這群小朋友最多可能有幾人？
(2) 小朋友的人數共有幾種可能？請全部列出。
答案：(1) 42 人 (2) 7 種：2、3、6、7、14、21、42 人
解析：(1) 人數要同時整除 210 與 294 → 是兩者的公因數，最多就是最大公因數。
210＝2×3×5×7、294＝2×3×72 → (210 , 294)＝2×3×7＝42 人。
(2) 公因數＝最大公因數 42 的所有因數：1、2、3、6、7、14、21、42；題目要求人數超過 1 人，去掉 1 之後為 2、3、6、7、14、21、42，共 7 種。
（補充：210 與 294 的差為 84，所以人數也一定是 84 的因數，可用來快速檢查。）
2-2-C46 [計算]📄 改編·臺北仁愛 113
靜香發現有一種數很特別：它被 2 除時餘 1、被 3 除時餘 2、被 4 除時餘 3、…、一直到被 8 除時餘 7（也就是除以 2~8 的每個數，餘數都比除數少 1）。
(1) 請說明這種數加 1 之後有什麼性質。
(2) 求具有此性質的最大 3 位數。
答案：(1) 加 1 後是 2~8 的公倍數（即 840 的倍數） (2) 839
解析：(1) 設此數為 N。「除以 m 餘 m－1」表示再多 1 就剛好整除，所以 N＋1 同時被 2、3、…、8 整除 → N＋1 是 2~8 的公倍數。
[2 , 3 , … , 8]＝840，故 N＋1＝840×n，即 N＝840n－1。
(2) 要最大的 3 位數：840n－1≦999 → n≦1，取 n＝1。
N＝840×1－1＝839。
2-2-C47 [計算]📄 自編
有三條繩子，長度分別為 156 公分、234 公分、312 公分。現在要把它們剪成長度相同且最長的小段，且完全不浪費（不剩零頭）。
(1) 每小段最長是幾公分？
(2) 共可剪成幾小段？
答案：(1) 78 公分 (2) 9 段
解析：(1) 每段長度要能整除三條繩子 → 是三數的公因數，最長即最大公因數。
156＝22×3×13、234＝2×32×13、312＝23×3×13
→ (156 , 234 , 312)＝2×3×13＝78 公分。
(2) 各剪成 156÷78＝2 段、234÷78＝3 段、312÷78＝4 段，合計 2＋3＋4＝9 段。
2-2-C48 [計算]📄 改編·臺北中山 110
一條長 200 公尺的直線步道，原本每隔 16 公尺立一根木樁（頭尾兩端都立）。現在要改成每隔 12 公尺立一根（頭尾兩端仍都立）。
(1) 有幾根原有的木樁剛好在新位置上，不必移動？
(2) 需要新增幾根木樁？
答案：(1) 5 根 (2) 12 根
解析：以一端為 0 公尺，原木樁在 16 的倍數處，新木樁在 12 的倍數處。
(1) 不必移動＝位置同時是 16 與 12 的倍數，即 [16 , 12]＝48 的倍數。
位置為 0、48、…、200，共 200÷48＋1＝5 根。
(2) 新的木樁全部共 200÷12＋1＝17 根，其中 5 根已經有了，
需新增 17－5＝12 根。
2-2-C49 [計算]📄 自編
甲、乙兩個齒輪互相咬合轉動，甲有 32 齒、乙有 48 齒。從某個咬合位置開始轉動，試問：
(1) 至少要轉過幾齒，兩齒輪才會再度回到最初的咬合位置？
(2) 此時甲、乙各轉了幾圈？
答案：(1) 96 齒 (2) 甲 3 圈、乙 2 圈
解析：(1) 甲每轉過 32 齒回到原位、乙每轉過 48 齒回到原位，兩者同時回到原位 → 轉過的齒數是 32 與 48 的公倍數，最少即最小公倍數。
32＝25、48＝24×3 → [32 , 48]＝25×3＝96 齒。
(2) 甲轉 96÷32＝3 圈、乙轉 96÷48＝2 圈。
2-2-C50 [計算]📄 自編
已知兩個正整數 a、b（a≦b）的最大公因數為 5、最小公倍數為 30。
(1) 求 a×b 的值。
(2) 求所有可能的 a、b 數對。
答案：(1) 150 (2) (a , b)＝(5 , 30)；(a , b)＝(10 , 15)
解析：(1) a×b＝(a , b)×[a , b]＝5×30＝150。
(2) 因為最大公因數是 5，可設 a＝5m、b＝5n，且 m、n 互質（m≦n）。
此時 [a , b]＝5mn＝30 → mn＝30÷5＝6。
把 6 拆成兩個互質的正整數相乘：1×6、2×3。
乘回 5 得 (5 , 30)；(10 , 15)。
F 卷（2-2 最大公因數與最小公倍數 ‧ 20 題）
2-2-F51 [填充]📄 改編·高雄光華 113
求下列各值：
(1) (72 , 168)＝______ (2) [72 , 168]＝______
答案：(1) 24 (2) 504
解析：先做質因數分解：72＝23×32、168＝23×3×7。
(1) 最大公因數取共同質因數的最小次數 → (72 , 168)＝23×3＝24。
(2) 最小公倍數取所有質因數的最大次數 → [72 , 168]＝23×32×7＝504。
（可驗算：24×504＝12096＝72×168）
2-2-F52 [填充]📄 改編·高雄翠屏 113
已知三數 22×35×52、25×32×54、23×33×53，求此三數的最大公因數＝______（以標準分解式表示）
答案：22×32×52
解析：最大公因數＝三個數都有的質因數，取最小的次數。
2 的次數：2、5、3 → 取最小的 2
3 的次數：5、2、3 → 取最小的 2
5 的次數：2、4、3 → 取最小的 2
故最大公因數＝22×32×52＝900。
2-2-F53 [填充]📄 改編·臺中大業 113
以標準分解式表示 [ 25×3 , 33×52 , 22×5×112 ]＝______
答案：25×33×52×112
解析：最小公倍數＝出現過的每個質因數，都取最大的次數。
2 的次數：5、0、2 → 取最大的 5
3 的次數：1、3、0 → 取最大的 3
5 的次數：0、2、1 → 取最大的 2
11 的次數：0、0、2 → 取最大的 2
故最小公倍數＝25×33×52×112＝2613600。
2-2-F54 [填充]📄 自編
已知兩個正整數 a、b，其中 a＝56，且 (a , b)＝28、[a , b]＝280，則 b＝______。
答案：140
解析：任兩正整數都滿足 a×b＝(a , b)×[a , b]。
56×b＝28×280＝7840
b＝7840÷56＝140。
（驗算：56＝23×7、140＝22×5×7 → (56,140)＝28 ✔、[56,140]＝280 ✔）
2-2-F55 [填充]📄 改編·臺中大業 113
在 35 與 55 之間（含 35、55）的正整數中，將與 20 互質的數由小到大排列，則第 5 個數是 ______。
答案：47
解析：「與 20 互質」＝與 20 的最大公因數為 1，也就是不含 20 的任何質因數。
20＝22×5，質因數為 2、5，所以要把 2、5 的倍數全部刪掉。
35~55 剩下的是：37、39、41、43、47、49、51、53。
第 5 個為 47。
2-2-F56 [填充]📄 改編·高雄翠屏 113
水果行要將 272 顆芒果分裝成禮盒，每盒芒果數一樣多且剛好裝完，若每盒最多裝 14 顆，則至少需要多少個禮盒？______
答案：34 個（每盒 8 顆）
解析：每盒數量相同且剛好裝完 → 每盒顆數必為 272 的因數。
272＝24×17，正因數有 1、2、4、8、16、17、34、68、136、272。
盒數要最少，每盒就要裝最多；在不超過 14 的因數中最大的是 8。
故至少需要 272÷8＝34 個禮盒。
2-2-F57 [填充]📄 改編·高雄翠屏 113
宏錩身上的現金，以 5 元、6 元、8 元去分都剛好餘 3 元。若他身上的現金在 250 元到 400 元之間，則他身上的現金可能是多少元？______（全部列出才給分）
答案：363 元
解析：設現金為 x 元。x 除以 5、6、8 都餘 3 → x－3 同時是 5、6、8 的公倍數。
[5 , 6 , 8]＝120，所以 x－3 是 120 的倍數，即 x＝120×n＋3。
取 250≦x≦400：120×3＋3＝363 → 363 元。
2-2-F58 [填充]📄 改編·臺北中山 110
王先生的莊園圍牆長 84 公尺，原本每隔 60 公分安裝一個紅色燈泡（兩端都安裝）。後來覺得不夠閃亮，改為每隔 35 公分安裝一個黃色燈泡（兩端都安裝）。則施作時有幾個原先裝好的紅色燈泡位置，剛好被換成黃色燈泡？______
答案：21 個
解析：把圍牆一端當作 0，紅燈泡在 60 的倍數的位置，黃燈泡在 35 的倍數的位置。
位置重疊 → 該位置同時是 60 與 35 的公倍數，最小的是 [60 , 35]＝420。
圍牆長 84 公尺＝8400 公分，重疊位置為 0、420、840、…、8400，共 8400÷420＋1＝21 個（兩端都算）。
2-2-F59 [填充]📄 改編·臺中向上 113
求 ( 52×7 , [ 105 , 90 ] )＝______（化成標準分解式）
答案：5×7
解析：先算中括號：105＝3×5×7、90＝2×32×5，取各質因數的最大次數 → [105 , 90]＝2×32×5×7＝630。
再算小括號：52×7＝175 與 630 取共同質因數的最小次數 → 5×7＝35。
2-2-F60 [填充]📄 改編·高雄左營 113
求 ( 56 , 84 ) ＋ [ 16 , 24 , 36 ]＝______。
答案：172
解析：(56 , 84)：56＝23×7、84＝22×3×7，取共同質因數的最小次數 → 22×7＝28。
[16 , 24 , 36]：16＝24、24＝23×3、36＝22×32，取所有質因數的最大次數 → 24×32＝144。
相加：28＋144＝172。
2-2-C51 [計算]📄 改編·高雄翠屏 113
小杰、芳羽和冠鑫到兒童樂園玩旋轉木馬，每次可乘坐 7 分鐘。第一層木馬每 14 秒繞一圈、第二層每 21 秒繞一圈、第三層每 28 秒繞一圈。出發時三人並排而坐（各坐一層）。
(1) 出發後經過幾秒，三人第一次同時回到出發的位置？
(2) 在這 7 分鐘內，三人共會在出發位置相會幾次？（不含出發時那一次）
答案：(1) 84 秒 (2) 5 次
解析：(1) 各層回到原位的時刻分別是 14、21、28 的倍數，三人同時回到原位 → 時間是三者的公倍數，第一次就是最小公倍數。
14＝2×7、21＝3×7、28＝22×7 → [14 , 21 , 28]＝22×3×7＝84 秒。
(2) 7 分鐘＝420 秒，相會時刻為 84、168、… 秒。
420÷84＝5 → 共 5 次。
2-2-C52 [計算]📄 自編
某轉運站有甲、乙、丙三條路線，分別每 6 分鐘、16 分鐘、24 分鐘發一班車。若上午 6:00 三線同時發車，試問：
(1) 下一次三線同時發車是幾點幾分？
(2) 從上午 6:00 到 10:00 之間（不含 6:00 那一次），三線共同時發車幾次？
答案：(1) 6:48 (2) 5 次
解析：(1) 三線同時發車的時刻是 6、16、24 的公倍數，下一次就是最小公倍數。
6＝2×3、16＝24、24＝23×3 → [6 , 16 , 24]＝24×3＝48 分鐘。
48 分鐘＝0 小時 48 分，故下一次為 6:48。
(2) 這段時間共 4 小時＝240 分鐘，240÷48＝5 → 共 5 次。
2-2-C53 [計算]📄 自編
有一塊長 224 公分、寬 140 公分的長方形地板，要用邊長相同的正方形磁磚剛好鋪滿（磁磚不可裁切、不可重疊）。
(1) 正方形磁磚的邊長最長是幾公分？
(2) 此時共需要幾塊磁磚？
答案：(1) 28 公分 (2) 40 塊
解析：(1) 磁磚要剛好鋪滿 → 邊長必須同時整除 224 和 140，即為兩者的公因數；最長就是最大公因數。
224＝25×7、140＝22×5×7 → (224 , 140)＝22×7＝28 公分。
(2) 長邊排 224÷28＝8 塊、寬邊排 140÷28＝5 塊，共 8×5＝40 塊。
2-2-C54 [計算]📄 自編
已知兩個正整數 a、b 滿足 a×b＝13824，且 a、b 的最大公因數為 48。
(1) 求 a、b 的最小公倍數。
(2) 若再知道 a＜b 且 a＝96，求 b。
答案：(1) 288 (2) b＝144
解析：(1) 由 a×b＝(a , b)×[a , b]：
13824＝48×[a , b] → [a , b]＝13824÷48＝288。
(2) b＝13824÷a＝13824÷96＝144。
驗算：96＝25×3、144＝24×32，(96 , 144)＝48 ✔、[96 , 144]＝288 ✔。
2-2-C55 [計算]📄 改編·高雄翠屏 113
糖果 108 顆或 180 顆，都可以平分給同一群小朋友（每人分到的顆數為整數，且人數超過 1 人）。
(1) 這群小朋友最多可能有幾人？
(2) 小朋友的人數共有幾種可能？請全部列出。
答案：(1) 36 人 (2) 8 種：2、3、4、6、9、12、18、36 人
解析：(1) 人數要同時整除 108 與 180 → 是兩者的公因數，最多就是最大公因數。
108＝22×33、180＝22×32×5 → (108 , 180)＝22×32＝36 人。
(2) 公因數＝最大公因數 36 的所有因數：1、2、3、4、6、9、12、18、36；題目要求人數超過 1 人，去掉 1 之後為 2、3、4、6、9、12、18、36，共 8 種。
（補充：108 與 180 的差為 72，所以人數也一定是 72 的因數，可用來快速檢查。）
2-2-C56 [計算]📄 改編·臺北仁愛 113
靜香發現有一種數很特別：它被 2 除時餘 1、被 3 除時餘 2、被 4 除時餘 3、…、一直到被 9 除時餘 8（也就是除以 2~9 的每個數，餘數都比除數少 1）。
(1) 請說明這種數加 1 之後有什麼性質。
(2) 求具有此性質的最大 4 位數。
答案：(1) 加 1 後是 2~9 的公倍數（即 2520 的倍數） (2) 7559
解析：(1) 設此數為 N。「除以 m 餘 m－1」表示再多 1 就剛好整除，所以 N＋1 同時被 2、3、…、9 整除 → N＋1 是 2~9 的公倍數。
[2 , 3 , … , 9]＝2520，故 N＋1＝2520×n，即 N＝2520n－1。
(2) 要最大的 4 位數：2520n－1≦9999 → n≦3，取 n＝3。
N＝2520×3－1＝7559。
2-2-C57 [計算]📄 自編
有三條繩子，長度分別為 168 公分、252 公分、420 公分。現在要把它們剪成長度相同且最長的小段，且完全不浪費（不剩零頭）。
(1) 每小段最長是幾公分？
(2) 共可剪成幾小段？
答案：(1) 84 公分 (2) 10 段
解析：(1) 每段長度要能整除三條繩子 → 是三數的公因數，最長即最大公因數。
168＝23×3×7、252＝22×32×7、420＝22×3×5×7
→ (168 , 252 , 420)＝22×3×7＝84 公分。
(2) 各剪成 168÷84＝2 段、252÷84＝3 段、420÷84＝5 段，合計 2＋3＋5＝10 段。
2-2-C58 [計算]📄 改編·臺北中山 110
一條長 300 公尺的直線步道，原本每隔 20 公尺立一根木樁（頭尾兩端都立）。現在要改成每隔 15 公尺立一根（頭尾兩端仍都立）。
(1) 有幾根原有的木樁剛好在新位置上，不必移動？
(2) 需要新增幾根木樁？
答案：(1) 6 根 (2) 15 根
解析：以一端為 0 公尺，原木樁在 20 的倍數處，新木樁在 15 的倍數處。
(1) 不必移動＝位置同時是 20 與 15 的倍數，即 [20 , 15]＝60 的倍數。
位置為 0、60、…、300，共 300÷60＋1＝6 根。
(2) 新的木樁全部共 300÷15＋1＝21 根，其中 6 根已經有了，
需新增 21－6＝15 根。
2-2-C59 [計算]📄 自編
甲、乙兩個齒輪互相咬合轉動，甲有 27 齒、乙有 36 齒。從某個咬合位置開始轉動，試問：
(1) 至少要轉過幾齒，兩齒輪才會再度回到最初的咬合位置？
(2) 此時甲、乙各轉了幾圈？
答案：(1) 108 齒 (2) 甲 4 圈、乙 3 圈
解析：(1) 甲每轉過 27 齒回到原位、乙每轉過 36 齒回到原位，兩者同時回到原位 → 轉過的齒數是 27 與 36 的公倍數，最少即最小公倍數。
27＝33、36＝22×32 → [27 , 36]＝22×33＝108 齒。
(2) 甲轉 108÷27＝4 圈、乙轉 108÷36＝3 圈。
2-2-C60 [計算]📄 自編
已知兩個正整數 a、b（a≦b）的最大公因數為 8、最小公倍數為 168。
(1) 求 a×b 的值。
(2) 求所有可能的 a、b 數對。
答案：(1) 1344 (2) (a , b)＝(8 , 168)；(a , b)＝(24 , 56)
解析：(1) a×b＝(a , b)×[a , b]＝8×168＝1344。
(2) 因為最大公因數是 8，可設 a＝8m、b＝8n，且 m、n 互質（m≦n）。
此時 [a , b]＝8mn＝168 → mn＝168÷8＝21。
把 21 拆成兩個互質的正整數相乘：1×21、3×7。
乘回 8 得 (8 , 168)；(24 , 56)。