2-1 因數與倍數 · 六份考卷（A～F 卷）

解析：用「成對相乘」找因數：24＝1×24、2×12、3×8、4×6。
把每組的兩個數都列出並由小到大排好，得 1、2、3、4、6、8、12、24，共 8 個。

解析：用短除法從最小的質數開始一路除：
2024÷2＝1012；1012÷2＝506；506÷2＝253；253÷11＝23；23÷23＝1。
把除數由小到大寫成次方形式：2024＝2³×11×23。

解析：15＝3×5，所以這個數要同時是 3 的倍數和 5 的倍數。
是 5 的倍數 → 個位數只能是 0 或 5。
再檢查 3 的倍數（各位數字和是 3 的倍數）：4710 的數字和為 12、4715 的數字和為 17。
只有 4710（數字和 12，是 3 的倍數）合格，故 □＝0。

解析：一個數除以 3 的餘數，等於它各位數字和除以 3 的餘數。
已知數字和為 7＋1＋8＋4＋□＝20＋□。
要讓 20＋□ 除以 3 餘 1，逐一試 □＝0~9，得 □＝2、5、8。

解析：11 的倍數判別法：（奇數位數字和）－（偶數位數字和）是 11 的倍數（含 0）（由個位算起第 1、3、5… 位為奇數位）。
代入 □＝6 得 4736006：奇數位和＝13、偶數位和＝13，差為 13－13＝0，是 11 的倍數。
其餘 0~9 的數字都不合，故 □＝6。

解析：4 的倍數：末兩位要是 4 的倍數；11 的倍數：奇數位和－偶數位和是 11 的倍數。
代入 □＝0 得 4180：末兩位 80÷4＝20（整除）✔；奇數位和－偶數位和＝1－12＝−11 ✔。
（也可直接看 4 與 11 互質 → 要是 4×11＝44 的倍數，4180÷44＝95。）故 □＝0。

解析：質數是「大於 1 且只有 1 與自己兩個正因數」的數。
60~70 之間先刪掉偶數與 5 的倍數，再檢查剩下的數是否被 3、7 整除，（只要檢查到平方 ≦ 該數的質數即可）。
結果為 61、67。

解析：標準分解式為 2⁴×3×7² 時，每個質因數的次數可以各自取 0 到該次數，所以正因數個數＝各個「次數＋1」相乘。
＝(4＋1)×(1＋1)×(2＋1)＝30 個。（a＝2352）

解析：把每個因數各自分解，再把出現過的質數不重複收集起來：
20＝2²×5；21＝3×7；22＝2×11；23＝23；24＝2³×3。
相異質因數為 2、3、5、7、11、23，總和＝2＋3＋5＋7＋11＋23＝51。

解析：一個數是 a 的因數 ⇔ 它的標準分解式中，每個質因數都出現在 a 裡，且次數不超過 a。
a＝2³×3²×5，逐一比對各質因數的次數：
(A) ✘ 不是；(B) ✔ 是；(C) ✘ 不是；(D) ✔ 是；(E) ✔ 是；(F) ✘ 不是。
故答案為 B、D、E。

解析：(1) 短除法分解：108＝2²×3³。
(2) 完全平方數的標準分解式中，每個質因數的次數都必須是偶數。
看 2²×3³：次數為奇數的質因數是 3，把它們各補一個上去即可 → k＝3。
此時 N×k＝108×3＝324＝2²×3⁴＝18²，所以是 18 的平方。

解析：(1) 由下往上算回去：b＝5×7＝35；a＝2×b＝2×35＝70。
(2) 樹狀圖最末端的 2、5、7 都是質數，把它們由小到大排好即為標準分解式：a＝2×5×7。
正因數個數＝各質因數「次數＋1」相乘＝(1＋1)×(1＋1)×(1＋1)＝8 個。

解析：個位數為 2 → 是 2 的倍數；不是 5 的倍數。
各位數字和＝18：18÷3整除 → 是 3 的倍數；18÷9整除 → 是 9 的倍數。
末兩位為 72：是 4 的倍數；末三位為 772：不是 8 的倍數。
奇數位和－偶數位和＝9－9＝0：是 11 的倍數。
故 N 是 2、3、4、9、11 的倍數。

解析：每堆個數相同且剛好分完 → 每堆的個數必須是 180 的因數。
180＝2²×3²×5，其所有正因數為 1、2、3、4、5、6、9、10、12、15、18、20、30、36、45、60、90、180。
再篩出介於 4 與 20 之間（含）的：4、5、6、9、10、12、15、18、20，共 9 種分法。

解析：每箱個數相等且剛好裝完 → 每箱個數是 126 的因數。
126＝2×3²×7，正因數為 1、2、3、6、7、9、14、18、21、42、63、126。
取 3≦每箱個數≦18：3、6、7、9、14、18 → 共 6 種。
箱數＝126÷每箱個數，依序為 42、21、18、14、9、7 箱。

解析：先把兩個數分解：24＝2³×3、80＝2⁴×5。
「24 是甲數的因數」→ 甲數中 2 的次數至少要 3，即 n≧3。
「80 不是甲數的因數」→ 甲數中 2 的次數不到 4，即 n＜4，也就是 n≦3。
兩者合起來得 n＝3。（此時甲數＝2³×3×5＝120）

解析：設 a＋41＝b＋37＝c＋46＝k。
46 是偶數，若 c 是奇質數則 k＝c＋46 為奇數；但這樣 a＝k－41、b＝k－37（41、37 皆為奇數）就都會變成偶數，兩個偶質數只能都是 2，卻又必須相差 4，矛盾。
所以 c 必須是唯一的偶質數 2 → k＝2＋46＝48。
於是 a＝48－41＝7、b＝48－37＝11，兩者確實都是質數。
(a－b)^c＝(7－11)²＝(−4)²＝16。

解析：先把底數都換成質數：8⁴＝(2³)⁴＝2¹²。
配對 2 和 5：一個 2 配一個 5 就湊成一個 10。
A＝2¹²×5¹⁰＝2²×(2×5)¹⁰＝4×10¹⁰。
4×10¹⁰ 就是「4 後面接 10 個 0」，共 1＋10＝11 位數。（A＝40000000000）

解析：(1) 被劃記兩次 → 恰好是其中兩個數的公倍數。
　[3,4]＝12、[3,7]＝21、[4,7]＝28、[3,4,7]＝84。
　在 1~30 中逐一檢查，剛好被劃兩次的日期是 12、21、24、28，共 4 天。
(2) 完全沒劃記＝不是 3、4、7 任何一個的倍數，這些日期為 1、2、5、10、11、13、17、19、22、23、25、26、29。
　其中要是合數（大於 1 且不是質數）：10、22、25、26，共 4 天。（1 既不是質數也不是合數）

解析：(1) 正因數個數＝各質因數「次數＋1」相乘＝(2＋1)×(3＋1)×(1＋1)＝24 個。
(2) 因數是奇數 ⇔ 完全不含質因數 2，即 2 的次數只能取 0，其餘質因數照舊：
　奇因數個數＝(3＋1)×(1＋1)＝8 個。
　偶因數個數＝總數－奇因數＝24－8＝16 個。（N＝756）

解析：用「成對相乘」找因數：28＝1×28、2×14、4×7。
把每組的兩個數都列出並由小到大排好，得 1、2、4、7、14、28，共 6 個。

解析：用短除法從最小的質數開始一路除：
1260÷2＝630；630÷2＝315；315÷3＝105；105÷3＝35；35÷5＝7；7÷7＝1。
把除數由小到大寫成次方形式：1260＝2²×3²×5×7。

解析：15＝3×5，所以這個數要同時是 3 的倍數和 5 的倍數。
是 5 的倍數 → 個位數只能是 0 或 5。
再檢查 3 的倍數（各位數字和是 3 的倍數）：2530 的數字和為 10、2535 的數字和為 15。
只有 2535（數字和 15，是 3 的倍數）合格，故 □＝5。

解析：一個數除以 3 的餘數，等於它各位數字和除以 3 的餘數。
已知數字和為 2＋5＋6＋1＋□＝14＋□。
要讓 14＋□ 除以 3 餘 2，逐一試 □＝0~9，得 □＝0、3、6、9。

解析：11 的倍數判別法：（奇數位數字和）－（偶數位數字和）是 11 的倍數（含 0）（由個位算起第 1、3、5… 位為奇數位）。
代入 □＝4 得 2853004：奇數位和＝11、偶數位和＝11，差為 11－11＝0，是 11 的倍數。
其餘 0~9 的數字都不合，故 □＝4。

解析：4 的倍數：末兩位要是 4 的倍數；11 的倍數：奇數位和－偶數位和是 11 的倍數。
代入 □＝0 得 6820：末兩位 20÷4＝5（整除）✔；奇數位和－偶數位和＝8－8＝0 ✔。
（也可直接看 4 與 11 互質 → 要是 4×11＝44 的倍數，6820÷44＝155。）故 □＝0。

解析：質數是「大於 1 且只有 1 與自己兩個正因數」的數。
80~90 之間先刪掉偶數與 5 的倍數，再檢查剩下的數是否被 3、7 整除，（只要檢查到平方 ≦ 該數的質數即可）。
結果為 83、89。

解析：標準分解式為 2²×5³×11 時，每個質因數的次數可以各自取 0 到該次數，所以正因數個數＝各個「次數＋1」相乘。
＝(2＋1)×(3＋1)×(1＋1)＝24 個。（a＝5500）

解析：把每個因數各自分解，再把出現過的質數不重複收集起來：
33＝3×11；34＝2×17；35＝5×7；36＝2²×3²；37＝37。
相異質因數為 2、3、5、7、11、17、37，總和＝2＋3＋5＋7＋11＋17＋37＝82。

解析：一個數是 a 的因數 ⇔ 它的標準分解式中，每個質因數都出現在 a 裡，且次數不超過 a。
a＝3²×5²×7，逐一比對各質因數的次數：
(A) ✘ 不是；(B) ✔ 是；(C) ✘ 不是；(D) ✔ 是；(E) ✔ 是；(F) ✘ 不是。
故答案為 B、D、E。

解析：(1) 短除法分解：300＝2²×3×5²。
(2) 完全平方數的標準分解式中，每個質因數的次數都必須是偶數。
看 2²×3×5²：次數為奇數的質因數是 3，把它們各補一個上去即可 → k＝3。
此時 N×k＝300×3＝900＝2²×3²×5²＝30²，所以是 30 的平方。

解析：(1) 由下往上算回去：b＝3×7＝21；a＝3×b＝3×21＝63。
(2) 樹狀圖最末端的 3、3、7 都是質數，把它們由小到大排好即為標準分解式：a＝3²×7。
正因數個數＝各質因數「次數＋1」相乘＝(2＋1)×(1＋1)＝6 個。

解析：個位數為 4 → 是 2 的倍數；不是 5 的倍數。
各位數字和＝18：18÷3整除 → 是 3 的倍數；18÷9整除 → 是 9 的倍數。
末兩位為 44：是 4 的倍數；末三位為 544：是 8 的倍數。
奇數位和－偶數位和＝9－9＝0：是 11 的倍數。
故 N 是 2、3、4、8、9、11 的倍數。

解析：每堆個數相同且剛好分完 → 每堆的個數必須是 240 的因數。
240＝2⁴×3×5，其所有正因數為 1、2、3、4、5、6、8、10、12、15、16、20、24、30、40、48、60、80、120、240。
再篩出介於 5 與 24 之間（含）的：5、6、8、10、12、15、16、20、24，共 9 種分法。

解析：每箱個數相等且剛好裝完 → 每箱個數是 150 的因數。
150＝2×3×5²，正因數為 1、2、3、5、6、10、15、25、30、50、75、150。
取 4≦每箱個數≦25：5、6、10、15、25 → 共 5 種。
箱數＝150÷每箱個數，依序為 30、25、15、10、6 箱。

解析：先把兩個數分解：135＝3³×5、162＝2×3⁴。
「135 是甲數的因數」→ 甲數中 3 的次數至少要 3，即 n≧3。
「162 不是甲數的因數」→ 甲數中 3 的次數不到 4，即 n＜4，也就是 n≦3。
兩者合起來得 n＝3。（此時甲數＝2×3³×5＝270）

解析：設 a＋43＝b＋37＝c＋52＝k。
52 是偶數，若 c 是奇質數則 k＝c＋52 為奇數；但這樣 a＝k－43、b＝k－37（43、37 皆為奇數）就都會變成偶數，兩個偶質數只能都是 2，卻又必須相差 6，矛盾。
所以 c 必須是唯一的偶質數 2 → k＝2＋52＝54。
於是 a＝54－43＝11、b＝54－37＝17，兩者確實都是質數。
(a－b)^c＝(11－17)²＝(−6)²＝36。

解析：先把底數都換成質數：4⁵＝(2²)⁵＝2¹⁰。
配對 2 和 5：一個 2 配一個 5 就湊成一個 10。
A＝2¹⁰×5¹²＝5²×(2×5)¹⁰＝25×10¹⁰。
25×10¹⁰ 就是「25 後面接 10 個 0」，共 2＋10＝12 位數。（A＝250000000000）

解析：(1) 被劃記兩次 → 恰好是其中兩個數的公倍數。
　[2,5]＝10、[2,9]＝18、[5,9]＝45、[2,5,9]＝90。
　在 1~31 中逐一檢查，剛好被劃兩次的日期是 10、18、20、30，共 4 天。
(2) 完全沒劃記＝不是 2、5、9 任何一個的倍數，這些日期為 1、3、7、11、13、17、19、21、23、29、31。
　其中要是合數（大於 1 且不是質數）：21，共 1 天。（1 既不是質數也不是合數）

解析：(1) 正因數個數＝各質因數「次數＋1」相乘＝(4＋1)×(2＋1)＝15 個。
(2) 因數是奇數 ⇔ 完全不含質因數 2，即 2 的次數只能取 0，其餘質因數照舊：
　奇因數個數＝(2＋1)＝3 個。
　偶因數個數＝總數－奇因數＝15－3＝12 個。（N＝400）

解析：用「成對相乘」找因數：45＝1×45、3×15、5×9。
把每組的兩個數都列出並由小到大排好，得 1、3、5、9、15、45，共 6 個。

解析：用短除法從最小的質數開始一路除：
1848÷2＝924；924÷2＝462；462÷2＝231；231÷3＝77；77÷7＝11；11÷11＝1。
把除數由小到大寫成次方形式：1848＝2³×3×7×11。

解析：15＝3×5，所以這個數要同時是 3 的倍數和 5 的倍數。
是 5 的倍數 → 個位數只能是 0 或 5。
再檢查 3 的倍數（各位數字和是 3 的倍數）：8160 的數字和為 15、8165 的數字和為 20。
只有 8160（數字和 15，是 3 的倍數）合格，故 □＝0。

解析：一個數除以 3 的餘數，等於它各位數字和除以 3 的餘數。
已知數字和為 6＋4＋3＋7＋□＝20＋□。
要讓 20＋□ 除以 3 餘 1，逐一試 □＝0~9，得 □＝2、5、8。

解析：11 的倍數判別法：（奇數位數字和）－（偶數位數字和）是 11 的倍數（含 0）（由個位算起第 1、3、5… 位為奇數位）。
代入 □＝7 得 6178007：奇數位和＝20、偶數位和＝9，差為 20－9＝11，是 11 的倍數。
其餘 0~9 的數字都不合，故 □＝7。

解析：4 的倍數：末兩位要是 4 的倍數；11 的倍數：奇數位和－偶數位和是 11 的倍數。
代入 □＝4 得 9064：末兩位 64÷4＝16（整除）✔；奇數位和－偶數位和＝4－15＝−11 ✔。
（也可直接看 4 與 11 互質 → 要是 4×11＝44 的倍數，9064÷44＝206。）故 □＝4。

解析：質數是「大於 1 且只有 1 與自己兩個正因數」的數。
100~110 之間先刪掉偶數與 5 的倍數，再檢查剩下的數是否被 3、7 整除，（只要檢查到平方 ≦ 該數的質數即可）。
結果為 101、103、107、109。

解析：標準分解式為 3³×5²×7 時，每個質因數的次數可以各自取 0 到該次數，所以正因數個數＝各個「次數＋1」相乘。
＝(3＋1)×(2＋1)×(1＋1)＝24 個。（a＝4725）

解析：把每個因數各自分解，再把出現過的質數不重複收集起來：
45＝3²×5；46＝2×23；47＝47；48＝2⁴×3；49＝7²。
相異質因數為 2、3、5、7、23、47，總和＝2＋3＋5＋7＋23＋47＝87。

解析：一個數是 a 的因數 ⇔ 它的標準分解式中，每個質因數都出現在 a 裡，且次數不超過 a。
a＝2⁴×3×11，逐一比對各質因數的次數：
(A) ✘ 不是；(B) ✔ 是；(C) ✘ 不是；(D) ✔ 是；(E) ✔ 是；(F) ✘ 不是。
故答案為 B、D、E。

解析：(1) 短除法分解：180＝2²×3²×5。
(2) 完全平方數的標準分解式中，每個質因數的次數都必須是偶數。
看 2²×3²×5：次數為奇數的質因數是 5，把它們各補一個上去即可 → k＝5。
此時 N×k＝180×5＝900＝2²×3²×5²＝30²，所以是 30 的平方。

解析：(1) 由下往上算回去：b＝2×11＝22；a＝2×b＝2×22＝44。
(2) 樹狀圖最末端的 2、2、11 都是質數，把它們由小到大排好即為標準分解式：a＝2²×11。
正因數個數＝各質因數「次數＋1」相乘＝(2＋1)×(1＋1)＝6 個。

解析：個位數為 0 → 是 2 的倍數；是 5 的倍數。
各位數字和＝18：18÷3整除 → 是 3 的倍數；18÷9整除 → 是 9 的倍數。
末兩位為 80：是 4 的倍數；末三位為 680：是 8 的倍數。
奇數位和－偶數位和＝6－12＝−6：不是 11 的倍數。
故 N 是 2、3、4、5、8、9 的倍數。

解析：每堆個數相同且剛好分完 → 每堆的個數必須是 200 的因數。
200＝2³×5²，其所有正因數為 1、2、4、5、8、10、20、25、40、50、100、200。
再篩出介於 4 與 25 之間（含）的：4、5、8、10、20、25，共 6 種分法。

解析：每箱個數相等且剛好裝完 → 每箱個數是 198 的因數。
198＝2×3²×11，正因數為 1、2、3、6、9、11、18、22、33、66、99、198。
取 5≦每箱個數≦22：6、9、11、18、22 → 共 5 種。
箱數＝198÷每箱個數，依序為 33、22、18、11、9 箱。

解析：先把兩個數分解：40＝2³×5、112＝2⁴×7。
「40 是甲數的因數」→ 甲數中 2 的次數至少要 3，即 n≧3。
「112 不是甲數的因數」→ 甲數中 2 的次數不到 4，即 n＜4，也就是 n≦3。
兩者合起來得 n＝3。（此時甲數＝2³×5×7＝280）

解析：設 a＋31＝b＋23＝c＋34＝k。
34 是偶數，若 c 是奇質數則 k＝c＋34 為奇數；但這樣 a＝k－31、b＝k－23（31、23 皆為奇數）就都會變成偶數，兩個偶質數只能都是 2，卻又必須相差 8，矛盾。
所以 c 必須是唯一的偶質數 2 → k＝2＋34＝36。
於是 a＝36－31＝5、b＝36－23＝13，兩者確實都是質數。
(a－b)^c＝(5－13)²＝(−8)²＝64。

解析：先把底數都換成質數：底數已是質數，2 的次數為 9。
配對 2 和 5：一個 2 配一個 5 就湊成一個 10。
A＝2⁹×5¹³＝5⁴×(2×5)⁹＝625×10⁹。
625×10⁹ 就是「625 後面接 9 個 0」，共 3＋9＝12 位數。（A＝625000000000）

解析：(1) 被劃記兩次 → 恰好是其中兩個數的公倍數。
　[4,5]＝20、[4,6]＝12、[5,6]＝30、[4,5,6]＝60。
　在 1~30 中逐一檢查，剛好被劃兩次的日期是 12、20、24、30，共 4 天。
(2) 完全沒劃記＝不是 4、5、6 任何一個的倍數，這些日期為 1、2、3、7、9、11、13、14、17、19、21、22、23、26、27、29。
　其中要是合數（大於 1 且不是質數）：9、14、21、22、26、27，共 6 天。（1 既不是質數也不是合數）

解析：(1) 正因數個數＝各質因數「次數＋1」相乘＝(3＋1)×(1＋1)×(2＋1)＝24 個。
(2) 因數是奇數 ⇔ 完全不含質因數 2，即 2 的次數只能取 0，其餘質因數照舊：
　奇因數個數＝(1＋1)×(2＋1)＝6 個。
　偶因數個數＝總數－奇因數＝24－6＝18 個。（N＝2904）

解析：用「成對相乘」找因數：50＝1×50、2×25、5×10。
把每組的兩個數都列出並由小到大排好，得 1、2、5、10、25、50，共 6 個。

解析：用短除法從最小的質數開始一路除：
2340÷2＝1170；1170÷2＝585；585÷3＝195；195÷3＝65；65÷5＝13；13÷13＝1。
把除數由小到大寫成次方形式：2340＝2²×3²×5×13。

解析：15＝3×5，所以這個數要同時是 3 的倍數和 5 的倍數。
是 5 的倍數 → 個位數只能是 0 或 5。
再檢查 3 的倍數（各位數字和是 3 的倍數）：3940 的數字和為 16、3945 的數字和為 21。
只有 3945（數字和 21，是 3 的倍數）合格，故 □＝5。

解析：一個數除以 3 的餘數，等於它各位數字和除以 3 的餘數。
已知數字和為 9＋0＋5＋2＋□＝16＋□。
要讓 16＋□ 除以 3 餘 2，逐一試 □＝0~9，得 □＝1、4、7。

解析：11 的倍數判別法：（奇數位數字和）－（偶數位數字和）是 11 的倍數（含 0）（由個位算起第 1、3、5… 位為奇數位）。
代入 □＝8 得 5024008：奇數位和＝15、偶數位和＝4，差為 15－4＝11，是 11 的倍數。
其餘 0~9 的數字都不合，故 □＝8。

解析：4 的倍數：末兩位要是 4 的倍數；11 的倍數：奇數位和－偶數位和是 11 的倍數。
代入 □＝0 得 5280：末兩位 80÷4＝20（整除）✔；奇數位和－偶數位和＝2－13＝−11 ✔。
（也可直接看 4 與 11 互質 → 要是 4×11＝44 的倍數，5280÷44＝120。）故 □＝0。

解析：質數是「大於 1 且只有 1 與自己兩個正因數」的數。
110~120 之間先刪掉偶數與 5 的倍數，再檢查剩下的數是否被 3、7 整除，（只要檢查到平方 ≦ 該數的質數即可）。
結果為 113。

解析：標準分解式為 2⁵×3³ 時，每個質因數的次數可以各自取 0 到該次數，所以正因數個數＝各個「次數＋1」相乘。
＝(5＋1)×(3＋1)＝24 個。（a＝864）

解析：把每個因數各自分解，再把出現過的質數不重複收集起來：
51＝3×17；52＝2²×13；53＝53；54＝2×3³；55＝5×11。
相異質因數為 2、3、5、11、13、17、53，總和＝2＋3＋5＋11＋13＋17＋53＝104。

解析：一個數是 a 的因數 ⇔ 它的標準分解式中，每個質因數都出現在 a 裡，且次數不超過 a。
a＝2×3³×5²，逐一比對各質因數的次數：
(A) ✘ 不是；(B) ✔ 是；(C) ✘ 不是；(D) ✔ 是；(E) ✔ 是；(F) ✘ 不是。
故答案為 B、D、E。

解析：(1) 短除法分解：588＝2²×3×7²。
(2) 完全平方數的標準分解式中，每個質因數的次數都必須是偶數。
看 2²×3×7²：次數為奇數的質因數是 3，把它們各補一個上去即可 → k＝3。
此時 N×k＝588×3＝1764＝2²×3²×7²＝42²，所以是 42 的平方。

解析：(1) 由下往上算回去：b＝5×5＝25；a＝3×b＝3×25＝75。
(2) 樹狀圖最末端的 3、5、5 都是質數，把它們由小到大排好即為標準分解式：a＝3×5²。
正因數個數＝各質因數「次數＋1」相乘＝(1＋1)×(2＋1)＝6 個。

解析：個位數為 6 → 是 2 的倍數；不是 5 的倍數。
各位數字和＝18：18÷3整除 → 是 3 的倍數；18÷9整除 → 是 9 的倍數。
末兩位為 16：是 4 的倍數；末三位為 316：不是 8 的倍數。
奇數位和－偶數位和＝9－9＝0：是 11 的倍數。
故 N 是 2、3、4、9、11 的倍數。

解析：每堆個數相同且剛好分完 → 每堆的個數必須是 168 的因數。
168＝2³×3×7，其所有正因數為 1、2、3、4、6、7、8、12、14、21、24、28、42、56、84、168。
再篩出介於 3 與 21 之間（含）的：3、4、6、7、8、12、14、21，共 8 種分法。

解析：每箱個數相等且剛好裝完 → 每箱個數是 132 的因數。
132＝2²×3×11，正因數為 1、2、3、4、6、11、12、22、33、44、66、132。
取 4≦每箱個數≦20：4、6、11、12 → 共 4 種。
箱數＝132÷每箱個數，依序為 33、22、12、11 箱。

解析：先把兩個數分解：250＝2×5³、1875＝3×5⁴。
「250 是甲數的因數」→ 甲數中 5 的次數至少要 3，即 n≧3。
「1875 不是甲數的因數」→ 甲數中 5 的次數不到 4，即 n＜4，也就是 n≦3。
兩者合起來得 n＝3。（此時甲數＝2×3×5³＝750）

解析：設 a＋47＝b＋41＝c＋58＝k。
58 是偶數，若 c 是奇質數則 k＝c＋58 為奇數；但這樣 a＝k－47、b＝k－41（47、41 皆為奇數）就都會變成偶數，兩個偶質數只能都是 2，卻又必須相差 6，矛盾。
所以 c 必須是唯一的偶質數 2 → k＝2＋58＝60。
於是 a＝60－47＝13、b＝60－41＝19，兩者確實都是質數。
(a－b)^c＝(13－19)²＝(−6)²＝36。

解析：先把底數都換成質數：8³＝(2³)³＝2⁹。
配對 2 和 5：一個 2 配一個 5 就湊成一個 10。
A＝2⁹×5¹¹＝5²×(2×5)⁹＝25×10⁹。
25×10⁹ 就是「25 後面接 9 個 0」，共 2＋9＝11 位數。（A＝25000000000）

解析：(1) 被劃記兩次 → 恰好是其中兩個數的公倍數。
　[3,4]＝12、[3,5]＝15、[4,5]＝20、[3,4,5]＝60。
　在 1~31 中逐一檢查，剛好被劃兩次的日期是 12、15、20、24、30，共 5 天。
(2) 完全沒劃記＝不是 3、4、5 任何一個的倍數，這些日期為 1、2、7、11、13、14、17、19、22、23、26、29、31。
　其中要是合數（大於 1 且不是質數）：14、22、26，共 3 天。（1 既不是質數也不是合數）

解析：(1) 正因數個數＝各質因數「次數＋1」相乘＝(2＋1)×(1＋1)×(2＋1)＝18 個。
(2) 因數是奇數 ⇔ 完全不含質因數 2，即 2 的次數只能取 0，其餘質因數照舊：
　奇因數個數＝(1＋1)×(2＋1)＝6 個。
　偶因數個數＝總數－奇因數＝18－6＝12 個。（N＝980）

解析：用「成對相乘」找因數：66＝1×66、2×33、3×22、6×11。
把每組的兩個數都列出並由小到大排好，得 1、2、3、6、11、22、33、66，共 8 個。

解析：用短除法從最小的質數開始一路除：
1575÷3＝525；525÷3＝175；175÷5＝35；35÷5＝7；7÷7＝1。
把除數由小到大寫成次方形式：1575＝3²×5²×7。

解析：15＝3×5，所以這個數要同時是 3 的倍數和 5 的倍數。
是 5 的倍數 → 個位數只能是 0 或 5。
再檢查 3 的倍數（各位數字和是 3 的倍數）：6270 的數字和為 15、6275 的數字和為 20。
只有 6270（數字和 15，是 3 的倍數）合格，故 □＝0。

解析：一個數除以 3 的餘數，等於它各位數字和除以 3 的餘數。
已知數字和為 3＋7＋4＋8＋□＝22＋□。
要讓 22＋□ 除以 3 餘 1，逐一試 □＝0~9，得 □＝0、3、6、9。

解析：11 的倍數判別法：（奇數位數字和）－（偶數位數字和）是 11 的倍數（含 0）（由個位算起第 1、3、5… 位為奇數位）。
代入 □＝0 得 8392010：奇數位和＝17、偶數位和＝6，差為 17－6＝11，是 11 的倍數。
其餘 0~9 的數字都不合，故 □＝0。

解析：4 的倍數：末兩位要是 4 的倍數；11 的倍數：奇數位和－偶數位和是 11 的倍數。
代入 □＝0 得 1760：末兩位 60÷4＝15（整除）✔；奇數位和－偶數位和＝7－7＝0 ✔。
（也可直接看 4 與 11 互質 → 要是 4×11＝44 的倍數，1760÷44＝40。）故 □＝0。

解析：質數是「大於 1 且只有 1 與自己兩個正因數」的數。
40~50 之間先刪掉偶數與 5 的倍數，再檢查剩下的數是否被 3、7 整除，（只要檢查到平方 ≦ 該數的質數即可）。
結果為 41、43、47。

解析：標準分解式為 2²×3²×5² 時，每個質因數的次數可以各自取 0 到該次數，所以正因數個數＝各個「次數＋1」相乘。
＝(2＋1)×(2＋1)×(2＋1)＝27 個。（a＝900）

解析：把每個因數各自分解，再把出現過的質數不重複收集起來：
26＝2×13；27＝3³；28＝2²×7；29＝29；30＝2×3×5。
相異質因數為 2、3、5、7、13、29，總和＝2＋3＋5＋7＋13＋29＝59。

解析：一個數是 a 的因數 ⇔ 它的標準分解式中，每個質因數都出現在 a 裡，且次數不超過 a。
a＝2²×7²×13，逐一比對各質因數的次數：
(A) ✘ 不是；(B) ✔ 是；(C) ✘ 不是；(D) ✔ 是；(E) ✔ 是；(F) ✘ 不是。
故答案為 B、D、E。

解析：(1) 短除法分解：1176＝2³×3×7²。
(2) 完全平方數的標準分解式中，每個質因數的次數都必須是偶數。
看 2³×3×7²：次數為奇數的質因數是 2、3，把它們各補一個上去即可 → k＝6。
此時 N×k＝1176×6＝7056＝2⁴×3²×7²＝84²，所以是 84 的平方。

解析：(1) 由下往上算回去：b＝7×7＝49；a＝2×b＝2×49＝98。
(2) 樹狀圖最末端的 2、7、7 都是質數，把它們由小到大排好即為標準分解式：a＝2×7²。
正因數個數＝各質因數「次數＋1」相乘＝(1＋1)×(2＋1)＝6 個。

解析：個位數為 0 → 是 2 的倍數；是 5 的倍數。
各位數字和＝9：9÷3整除 → 是 3 的倍數；9÷9整除 → 是 9 的倍數。
末兩位為 00：是 4 的倍數；末三位為 300：不是 8 的倍數。
奇數位和－偶數位和＝3－6＝−3：不是 11 的倍數。
故 N 是 2、3、4、5、9 的倍數。

解析：每堆個數相同且剛好分完 → 每堆的個數必須是 216 的因數。
216＝2³×3³，其所有正因數為 1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、27、36、54、72、108、216。
再篩出介於 4 與 18 之間（含）的：4、6、8、9、12、18，共 6 種分法。

解析：每箱個數相等且剛好裝完 → 每箱個數是 165 的因數。
165＝3×5×11，正因數為 1、3、5、11、15、33、55、165。
取 3≦每箱個數≦15：3、5、11、15 → 共 4 種。
箱數＝165÷每箱個數，依序為 55、33、15、11 箱。

解析：先把兩個數分解：24＝2³×3、176＝2⁴×11。
「24 是甲數的因數」→ 甲數中 2 的次數至少要 3，即 n≧3。
「176 不是甲數的因數」→ 甲數中 2 的次數不到 4，即 n＜4，也就是 n≦3。
兩者合起來得 n＝3。（此時甲數＝2³×3×11＝264）

解析：設 a＋41＝b＋37＝c＋42＝k。
42 是偶數，若 c 是奇質數則 k＝c＋42 為奇數；但這樣 a＝k－41、b＝k－37（41、37 皆為奇數）就都會變成偶數，兩個偶質數只能都是 2，卻又必須相差 4，矛盾。
所以 c 必須是唯一的偶質數 2 → k＝2＋42＝44。
於是 a＝44－41＝3、b＝44－37＝7，兩者確實都是質數。
(a－b)^c＝(3－7)²＝(−4)²＝16。

解析：先把底數都換成質數：16³＝(2⁴)³＝2¹²。
配對 2 和 5：一個 2 配一個 5 就湊成一個 10。
A＝2¹²×5¹⁵＝5³×(2×5)¹²＝125×10¹²。
125×10¹² 就是「125 後面接 12 個 0」，共 3＋12＝15 位數。（A＝125000000000000）

解析：(1) 被劃記兩次 → 恰好是其中兩個數的公倍數。
　[2,3]＝6、[2,7]＝14、[3,7]＝21、[2,3,7]＝42。
　在 1~28 中逐一檢查，剛好被劃兩次的日期是 6、12、14、18、21、24、28，共 7 天。
(2) 完全沒劃記＝不是 2、3、7 任何一個的倍數，這些日期為 1、5、11、13、17、19、23、25。
　其中要是合數（大於 1 且不是質數）：25，共 1 天。（1 既不是質數也不是合數）

解析：(1) 正因數個數＝各質因數「次數＋1」相乘＝(5＋1)×(2＋1)×(1＋1)＝36 個。
(2) 因數是奇數 ⇔ 完全不含質因數 2，即 2 的次數只能取 0，其餘質因數照舊：
　奇因數個數＝(2＋1)×(1＋1)＝6 個。
　偶因數個數＝總數－奇因數＝36－6＝30 個。（N＝1440）