A 卷（2-1 因數與倍數 ‧ 20 題）
2-1-F01 [填充]📄 改編·高雄獅甲 113
請列出 18 的所有正因數：______（由小到大寫出，全對才給分）
答案：1、2、3、6、9、18
解析：用「成對相乘」找因數：18＝1×18、2×9、3×6。
把每組的兩個數都列出並由小到大排好，得 1、2、3、6、9、18，共 6 個。
2-1-F02 [填充]📄 改編·臺北中山 110
將 1254 作質因數分解，可得標準分解式為 ______。
答案：2×3×11×19
解析：用短除法從最小的質數開始一路除：
1254÷2＝627；627÷3＝209；209÷11＝19；19÷19＝1。
把除數由小到大寫成次方形式：1254＝2×3×11×19。
2-1-F03 [填充]📄 改編·高雄翠屏 113
四位數 568□ 是 15 的倍數，則 □ 內要填入哪一個數字？______
答案：5
解析：15＝3×5，所以這個數要同時是 3 的倍數和 5 的倍數。
是 5 的倍數 → 個位數只能是 0 或 5。
再檢查 3 的倍數（各位數字和是 3 的倍數）：5680 的數字和為 19、5685 的數字和為 24。
只有 5685（數字和 24，是 3 的倍數）合格，故 □＝5。
2-1-F04 [填充]📄 改編·高雄翠屏 113
五位數 4□325 除以 3 會餘 2，則 □ 內可以填入哪些數字？______（全對才給分）
答案：0、3、6、9
解析：一個數除以 3 的餘數，等於它各位數字和除以 3 的餘數。
已知數字和為 4＋3＋2＋5＋□＝14＋□。
要讓 14＋□ 除以 3 餘 2，逐一試 □＝0~9，得 □＝0、3、6、9。
2-1-F05 [填充]📄 改編·高雄左營 113
若 7 位數 909190□ 是 11 的倍數，則 □＝______。
答案：7
解析：11 的倍數判別法：（奇數位數字和）－（偶數位數字和）是 11 的倍數（含 0）（由個位算起第 1、3、5… 位為奇數位）。
代入 □＝7 得 9091907：奇數位和＝34、偶數位和＝1，差為 34－1＝33，是 11 的倍數。
其餘 0~9 的數字都不合，故 □＝7。
2-1-F06 [填充]📄 改編·臺北中山 110
已知四位數 237□ 既是 4 的倍數，同時也是 11 的倍數，則 □＝______。
答案：6
解析：4 的倍數：末兩位要是 4 的倍數；11 的倍數：奇數位和－偶數位和是 11 的倍數。
代入 □＝6 得 2376：末兩位 76÷4＝19（整除）✔；奇數位和－偶數位和＝9－9＝0 ✔。
（也可直接看 4 與 11 互質 → 要是 4×11＝44 的倍數，2376÷44＝54。）故 □＝6。
2-1-F07 [填充]📄 改編·高雄獅甲 113
請寫出介於 50 與 60 之間的所有質數：______（全對才給分）
答案：53、59
解析：質數是「大於 1 且只有 1 與自己兩個正因數」的數。
50~60 之間先刪掉偶數與 5 的倍數，再檢查剩下的數是否被 3、7 整除，（只要檢查到平方 ≦ 該數的質數即可）。
結果為 53、59。
2-1-F08 [填充]📄 自編
已知 a＝23×32×5，則 a 共有 ______ 個正因數。
答案：24
解析：標準分解式為 23×32×5 時，每個質因數的次數可以各自取 0 到該次數，所以正因數個數＝各個「次數＋1」相乘。
＝(3＋1)×(2＋1)×(1＋1)＝24 個。（a＝360）
2-1-F09 [填充]📄 改編·高雄左營 113
設 A＝12×13×14×15×16，則 A 的相異質因數總和為 ______。
答案：30
解析：把每個因數各自分解，再把出現過的質數不重複收集起來：
12＝22×3；13＝13；14＝2×7；15＝3×5；16＝24。
相異質因數為 2、3、5、7、13，總和＝2＋3＋5＋7＋13＝30。
2-1-F10 [填充]📄 改編·臺北中山 110
已知 a＝22×5×72，試問下列各數中，哪些是 a 的因數？______（全對才給分）
(A) 22×5×73 (B) 22×5×72 (C) 23×5×7 (D) 2×72 (E) 22×7 (F) 22×5×72×11
答案：B、D、E
解析：一個數是 a 的因數 ⇔ 它的標準分解式中，每個質因數都出現在 a 裡，且次數不超過 a。
a＝22×5×72，逐一比對各質因數的次數：
(A) ✘ 不是；(B) ✔ 是；(C) ✘ 不是；(D) ✔ 是；(E) ✔ 是；(F) ✘ 不是。
故答案為 B、D、E。
2-1-C01 [計算]📄 自編
已知 N＝72。
(1) 求 N 的標準分解式。
(2) 求最小的正整數 k，使得 N×k 是一個完全平方數，並求出這個完全平方數是哪一個數的平方。
答案：(1) 23×32 (2) k＝2，N×k＝144＝122
解析：(1) 短除法分解：72＝23×32。
(2) 完全平方數的標準分解式中，每個質因數的次數都必須是偶數。
看 23×32：次數為奇數的質因數是 2，把它們各補一個上去即可 → k＝2。
此時 N×k＝72×2＝144＝24×32＝122，所以是 12 的平方。
2-1-C02 [計算]📄 改編·高雄翠屏 113
小杰用樹狀圖分解 a：先把 a 分解成 2×b，再把 b 分解成 3×5，而 2、3、5 都無法再分解。
(1) 求 b 與 a 的值。
(2) 寫出 a 的標準分解式，並求 a 共有幾個正因數。
答案：(1) b＝15，a＝30 (2) a＝2×3×5，共 8 個正因數
解析：(1) 由下往上算回去：b＝3×5＝15；a＝2×b＝2×15＝30。
(2) 樹狀圖最末端的 2、3、5 都是質數，把它們由小到大排好即為標準分解式：a＝2×3×5。
正因數個數＝各質因數「次數＋1」相乘＝(1＋1)×(1＋1)×(1＋1)＝8 個。
2-1-C03 [計算]📄 自編
已知 N＝3960。請判斷 N 是 2、3、4、5、8、9、11 中哪幾個數的倍數，並針對 3、4、11 三個判別法寫出你的判斷依據。
答案：N 是 2、3、4、5、8、9、11 的倍數
解析：個位數為 0 → 是 2 的倍數；是 5 的倍數。
各位數字和＝18：18÷3整除 → 是 3 的倍數；18÷9整除 → 是 9 的倍數。
末兩位為 60：是 4 的倍數；末三位為 960：是 8 的倍數。
奇數位和－偶數位和＝9－9＝0：是 11 的倍數。
故 N 是 2、3、4、5、8、9、11 的倍數。
2-1-C04 [計算]📄 改編·臺北仁愛 113
大雄把桌上 144 個壹圓硬幣分成若干堆，每堆硬幣的個數都相同。若每堆至少 3 個、至多 16 個，則共有幾種分法？請列出每堆可能的個數。
答案：共 7 種；每堆可能為 3、4、6、8、9、12、16 個
解析：每堆個數相同且剛好分完 → 每堆的個數必須是 144 的因數。
144＝24×32，其所有正因數為 1、2、3、4、6、8、9、12、16、18、24、36、48、72、144。
再篩出介於 3 與 16 之間（含）的：3、4、6、8、9、12、16，共 7 種分法。
2-1-C05 [計算]📄 改編·臺北中山 110
花媽將 105 個橘子分裝成若干箱，每箱的個數相等且剛好裝完。已知每箱至少裝 4 個、但不超過 20 個橘子，則她共有幾種可能的分裝情形？並求此時可能的箱數。
答案：共 3 種；每箱 5、7、15 個，對應箱數為 21、15、7 箱
解析：每箱個數相等且剛好裝完 → 每箱個數是 105 的因數。
105＝3×5×7，正因數為 1、3、5、7、15、21、35、105。
取 4≦每箱個數≦20：5、7、15 → 共 3 種。
箱數＝105÷每箱個數，依序為 21、15、7 箱。
2-1-C06 [計算]📄 改編·高雄獅甲 113
設甲數＝2n×3×7（n 為正整數）。已知 56 是甲數的因數，但 48 不是甲數的因數，求 n 的值。
答案：n＝3
解析：先把兩個數分解：56＝23×7、48＝24×3。
「56 是甲數的因數」→ 甲數中 2 的次數至少要 3，即 n≧3。
「48 不是甲數的因數」→ 甲數中 2 的次數不到 4，即 n＜4，也就是 n≦3。
兩者合起來得 n＝3。（此時甲數＝23×3×7＝168）
2-1-C07 [計算]📄 改編·臺中向上 113
若 a、b、c 三數都是質數，且滿足 a＋35＝b＋33＝c＋38，求 (a－b)c 的值。
答案：4（a＝5、b＝7、c＝2）
解析：設 a＋35＝b＋33＝c＋38＝k。
38 是偶數，若 c 是奇質數則 k＝c＋38 為奇數；但這樣 a＝k－35、b＝k－33（35、33 皆為奇數）就都會變成偶數，兩個偶質數只能都是 2，卻又必須相差 2，矛盾。
所以 c 必須是唯一的偶質數 2 → k＝2＋38＝40。
於是 a＝40－35＝5、b＝40－33＝7，兩者確實都是質數。
(a－b)c＝(5－7)2＝(−2)2＝4。
2-1-C08 [計算]📄 改編·高雄翠屏 113
已知 A＝46×511，判斷 A 乘開後是幾位數？（請寫出計算過程，不可直接乘開硬算）
答案：12 位數
解析：先把底數都換成質數：46＝(22)6＝212。
配對 2 和 5：一個 2 配一個 5 就湊成一個 10。
A＝212×511＝21×(2×5)11＝2×1011。
2×1011 就是「2 後面接 11 個 0」，共 1＋11＝12 位數。（A＝200000000000）
2-1-C09 [計算]📄 改編·臺北中山 110
胖虎在某個有 31 天的月份的月曆上劃記行事：日期是 3 的倍數劃記「資源回收」、5 的倍數劃記「打棒球」、8 的倍數劃記「聚餐」。試問：
(1) 這個月有幾天剛好被劃記了兩次？
(2) 這個月完全沒有劃記，且日期數字是合數的共有幾天？
答案：(1) 3 天（15、24、30） (2) 5 天（4、14、22、26、28）
解析：(1) 被劃記兩次 → 恰好是其中兩個數的公倍數。
[3,5]＝15、[3,8]＝24、[5,8]＝40、[3,5,8]＝120。
在 1~31 中逐一檢查，剛好被劃兩次的日期是 15、24、30，共 3 天。
(2) 完全沒劃記＝不是 3、5、8 任何一個的倍數，這些日期為 1、2、4、7、11、13、14、17、19、22、23、26、28、29、31。
其中要是合數（大於 1 且不是質數）：4、14、22、26、28，共 5 天。（1 既不是質數也不是合數）
2-1-C10 [計算]📄 自編
已知 N＝23×32×5。
(1) 求 N 共有幾個正因數。
(2) 這些正因數中，有幾個是奇數？有幾個是偶數？
答案：(1) 24 個 (2) 奇數 6 個、偶數 18 個
解析：(1) 正因數個數＝各質因數「次數＋1」相乘＝(3＋1)×(2＋1)×(1＋1)＝24 個。
(2) 因數是奇數 ⇔ 完全不含質因數 2，即 2 的次數只能取 0，其餘質因數照舊：
奇因數個數＝(2＋1)×(1＋1)＝6 個。
偶因數個數＝總數－奇因數＝24－6＝18 個。（N＝360）
B 卷（2-1 因數與倍數 ‧ 20 題）
2-1-F11 [填充]📄 改編·高雄獅甲 113
請列出 24 的所有正因數：______（由小到大寫出，全對才給分）
答案：1、2、3、4、6、8、12、24
解析：用「成對相乘」找因數：24＝1×24、2×12、3×8、4×6。
把每組的兩個數都列出並由小到大排好，得 1、2、3、4、6、8、12、24，共 8 個。
2-1-F12 [填充]📄 改編·臺北中山 110
將 2024 作質因數分解，可得標準分解式為 ______。
答案：23×11×23
解析：用短除法從最小的質數開始一路除：
2024÷2＝1012；1012÷2＝506；506÷2＝253；253÷11＝23；23÷23＝1。
把除數由小到大寫成次方形式：2024＝23×11×23。
2-1-F13 [填充]📄 改編·高雄翠屏 113
四位數 471□ 是 15 的倍數，則 □ 內要填入哪一個數字？______
答案：0
解析：15＝3×5，所以這個數要同時是 3 的倍數和 5 的倍數。
是 5 的倍數 → 個位數只能是 0 或 5。
再檢查 3 的倍數（各位數字和是 3 的倍數）：4710 的數字和為 12、4715 的數字和為 17。
只有 4710（數字和 12，是 3 的倍數）合格，故 □＝0。
2-1-F14 [填充]📄 改編·高雄翠屏 113
五位數 7□184 除以 3 會餘 1，則 □ 內可以填入哪些數字？______（全對才給分）
答案：2、5、8
解析：一個數除以 3 的餘數，等於它各位數字和除以 3 的餘數。
已知數字和為 7＋1＋8＋4＋□＝20＋□。
要讓 20＋□ 除以 3 餘 1，逐一試 □＝0~9，得 □＝2、5、8。
2-1-F15 [填充]📄 改編·高雄左營 113
若 7 位數 473600□ 是 11 的倍數，則 □＝______。
答案：6
解析：11 的倍數判別法：（奇數位數字和）－（偶數位數字和）是 11 的倍數（含 0）（由個位算起第 1、3、5… 位為奇數位）。
代入 □＝6 得 4736006：奇數位和＝13、偶數位和＝13，差為 13－13＝0，是 11 的倍數。
其餘 0~9 的數字都不合，故 □＝6。
2-1-F16 [填充]📄 改編·臺北中山 110
已知四位數 418□ 既是 4 的倍數，同時也是 11 的倍數，則 □＝______。
答案：0
解析：4 的倍數：末兩位要是 4 的倍數；11 的倍數：奇數位和－偶數位和是 11 的倍數。
代入 □＝0 得 4180：末兩位 80÷4＝20（整除）✔；奇數位和－偶數位和＝1－12＝−11 ✔。
（也可直接看 4 與 11 互質 → 要是 4×11＝44 的倍數，4180÷44＝95。）故 □＝0。
2-1-F17 [填充]📄 改編·高雄獅甲 113
請寫出介於 60 與 70 之間的所有質數：______（全對才給分）
答案：61、67
解析：質數是「大於 1 且只有 1 與自己兩個正因數」的數。
60~70 之間先刪掉偶數與 5 的倍數，再檢查剩下的數是否被 3、7 整除，（只要檢查到平方 ≦ 該數的質數即可）。
結果為 61、67。
2-1-F18 [填充]📄 自編
已知 a＝24×3×72，則 a 共有 ______ 個正因數。
答案：30
解析：標準分解式為 24×3×72 時，每個質因數的次數可以各自取 0 到該次數，所以正因數個數＝各個「次數＋1」相乘。
＝(4＋1)×(1＋1)×(2＋1)＝30 個。（a＝2352）
2-1-F19 [填充]📄 改編·高雄左營 113
設 A＝20×21×22×23×24，則 A 的相異質因數總和為 ______。
答案：51
解析：把每個因數各自分解，再把出現過的質數不重複收集起來：
20＝22×5；21＝3×7；22＝2×11；23＝23；24＝23×3。
相異質因數為 2、3、5、7、11、23，總和＝2＋3＋5＋7＋11＋23＝51。
2-1-F20 [填充]📄 改編·臺北中山 110
已知 a＝23×32×5，試問下列各數中，哪些是 a 的因數？______（全對才給分）
(A) 23×32×52 (B) 23×32×5 (C) 24×32 (D) 22×3×5 (E) 23×3 (F) 23×32×5×11
答案：B、D、E
解析：一個數是 a 的因數 ⇔ 它的標準分解式中，每個質因數都出現在 a 裡，且次數不超過 a。
a＝23×32×5，逐一比對各質因數的次數：
(A) ✘ 不是；(B) ✔ 是；(C) ✘ 不是；(D) ✔ 是；(E) ✔ 是；(F) ✘ 不是。
故答案為 B、D、E。
2-1-C11 [計算]📄 自編
已知 N＝108。
(1) 求 N 的標準分解式。
(2) 求最小的正整數 k，使得 N×k 是一個完全平方數，並求出這個完全平方數是哪一個數的平方。
答案：(1) 22×33 (2) k＝3，N×k＝324＝182
解析：(1) 短除法分解：108＝22×33。
(2) 完全平方數的標準分解式中，每個質因數的次數都必須是偶數。
看 22×33：次數為奇數的質因數是 3，把它們各補一個上去即可 → k＝3。
此時 N×k＝108×3＝324＝22×34＝182，所以是 18 的平方。
2-1-C12 [計算]📄 改編·高雄翠屏 113
小杰用樹狀圖分解 a：先把 a 分解成 2×b，再把 b 分解成 5×7，而 2、5、7 都無法再分解。
(1) 求 b 與 a 的值。
(2) 寫出 a 的標準分解式，並求 a 共有幾個正因數。
答案：(1) b＝35，a＝70 (2) a＝2×5×7，共 8 個正因數
解析：(1) 由下往上算回去：b＝5×7＝35；a＝2×b＝2×35＝70。
(2) 樹狀圖最末端的 2、5、7 都是質數，把它們由小到大排好即為標準分解式：a＝2×5×7。
正因數個數＝各質因數「次數＋1」相乘＝(1＋1)×(1＋1)×(1＋1)＝8 個。
2-1-C13 [計算]📄 自編
已知 N＝2772。請判斷 N 是 2、3、4、5、8、9、11 中哪幾個數的倍數，並針對 3、4、11 三個判別法寫出你的判斷依據。
答案：N 是 2、3、4、9、11 的倍數
解析：個位數為 2 → 是 2 的倍數；不是 5 的倍數。
各位數字和＝18：18÷3整除 → 是 3 的倍數；18÷9整除 → 是 9 的倍數。
末兩位為 72：是 4 的倍數；末三位為 772：不是 8 的倍數。
奇數位和－偶數位和＝9－9＝0：是 11 的倍數。
故 N 是 2、3、4、9、11 的倍數。
2-1-C14 [計算]📄 改編·臺北仁愛 113
大雄把桌上 180 個壹圓硬幣分成若干堆，每堆硬幣的個數都相同。若每堆至少 4 個、至多 20 個，則共有幾種分法？請列出每堆可能的個數。
答案：共 9 種；每堆可能為 4、5、6、9、10、12、15、18、20 個
解析：每堆個數相同且剛好分完 → 每堆的個數必須是 180 的因數。
180＝22×32×5，其所有正因數為 1、2、3、4、5、6、9、10、12、15、18、20、30、36、45、60、90、180。
再篩出介於 4 與 20 之間（含）的：4、5、6、9、10、12、15、18、20，共 9 種分法。
2-1-C15 [計算]📄 改編·臺北中山 110
花媽將 126 個橘子分裝成若干箱，每箱的個數相等且剛好裝完。已知每箱至少裝 3 個、但不超過 18 個橘子，則她共有幾種可能的分裝情形？並求此時可能的箱數。
答案：共 6 種；每箱 3、6、7、9、14、18 個，對應箱數為 42、21、18、14、9、7 箱
解析：每箱個數相等且剛好裝完 → 每箱個數是 126 的因數。
126＝2×32×7，正因數為 1、2、3、6、7、9、14、18、21、42、63、126。
取 3≦每箱個數≦18：3、6、7、9、14、18 → 共 6 種。
箱數＝126÷每箱個數，依序為 42、21、18、14、9、7 箱。
2-1-C16 [計算]📄 改編·高雄獅甲 113
設甲數＝2n×5×3（n 為正整數）。已知 24 是甲數的因數，但 80 不是甲數的因數，求 n 的值。
答案：n＝3
解析：先把兩個數分解：24＝23×3、80＝24×5。
「24 是甲數的因數」→ 甲數中 2 的次數至少要 3，即 n≧3。
「80 不是甲數的因數」→ 甲數中 2 的次數不到 4，即 n＜4，也就是 n≦3。
兩者合起來得 n＝3。（此時甲數＝23×3×5＝120）
2-1-C17 [計算]📄 改編·臺中向上 113
若 a、b、c 三數都是質數，且滿足 a＋41＝b＋37＝c＋46，求 (a－b)c 的值。
答案：16（a＝7、b＝11、c＝2）
解析：設 a＋41＝b＋37＝c＋46＝k。
46 是偶數，若 c 是奇質數則 k＝c＋46 為奇數；但這樣 a＝k－41、b＝k－37（41、37 皆為奇數）就都會變成偶數，兩個偶質數只能都是 2，卻又必須相差 4，矛盾。
所以 c 必須是唯一的偶質數 2 → k＝2＋46＝48。
於是 a＝48－41＝7、b＝48－37＝11，兩者確實都是質數。
(a－b)c＝(7－11)2＝(−4)2＝16。
2-1-C18 [計算]📄 改編·高雄翠屏 113
已知 A＝84×510，判斷 A 乘開後是幾位數？（請寫出計算過程，不可直接乘開硬算）
答案：11 位數
解析：先把底數都換成質數：84＝(23)4＝212。
配對 2 和 5：一個 2 配一個 5 就湊成一個 10。
A＝212×510＝22×(2×5)10＝4×1010。
4×1010 就是「4 後面接 10 個 0」，共 1＋10＝11 位數。（A＝40000000000）
2-1-C19 [計算]📄 改編·臺北中山 110
胖虎在某個有 30 天的月份的月曆上劃記行事：日期是 3 的倍數劃記「資源回收」、4 的倍數劃記「打棒球」、7 的倍數劃記「聚餐」。試問：
(1) 這個月有幾天剛好被劃記了兩次？
(2) 這個月完全沒有劃記，且日期數字是合數的共有幾天？
答案：(1) 4 天（12、21、24、28） (2) 4 天（10、22、25、26）
解析：(1) 被劃記兩次 → 恰好是其中兩個數的公倍數。
[3,4]＝12、[3,7]＝21、[4,7]＝28、[3,4,7]＝84。
在 1~30 中逐一檢查，剛好被劃兩次的日期是 12、21、24、28，共 4 天。
(2) 完全沒劃記＝不是 3、4、7 任何一個的倍數，這些日期為 1、2、5、10、11、13、17、19、22、23、25、26、29。
其中要是合數（大於 1 且不是質數）：10、22、25、26，共 4 天。（1 既不是質數也不是合數）
2-1-C20 [計算]📄 自編
已知 N＝22×33×7。
(1) 求 N 共有幾個正因數。
(2) 這些正因數中，有幾個是奇數？有幾個是偶數？
答案：(1) 24 個 (2) 奇數 8 個、偶數 16 個
解析：(1) 正因數個數＝各質因數「次數＋1」相乘＝(2＋1)×(3＋1)×(1＋1)＝24 個。
(2) 因數是奇數 ⇔ 完全不含質因數 2，即 2 的次數只能取 0，其餘質因數照舊：
奇因數個數＝(3＋1)×(1＋1)＝8 個。
偶因數個數＝總數－奇因數＝24－8＝16 個。（N＝756）
C 卷（2-1 因數與倍數 ‧ 20 題）
2-1-F21 [填充]📄 改編·高雄獅甲 113
請列出 28 的所有正因數：______（由小到大寫出，全對才給分）
答案：1、2、4、7、14、28
解析：用「成對相乘」找因數：28＝1×28、2×14、4×7。
把每組的兩個數都列出並由小到大排好，得 1、2、4、7、14、28，共 6 個。
2-1-F22 [填充]📄 改編·臺北中山 110
將 1260 作質因數分解，可得標準分解式為 ______。
答案：22×32×5×7
解析：用短除法從最小的質數開始一路除：
1260÷2＝630；630÷2＝315；315÷3＝105；105÷3＝35；35÷5＝7；7÷7＝1。
把除數由小到大寫成次方形式：1260＝22×32×5×7。
2-1-F23 [填充]📄 改編·高雄翠屏 113
四位數 253□ 是 15 的倍數，則 □ 內要填入哪一個數字？______
答案：5
解析：15＝3×5，所以這個數要同時是 3 的倍數和 5 的倍數。
是 5 的倍數 → 個位數只能是 0 或 5。
再檢查 3 的倍數（各位數字和是 3 的倍數）：2530 的數字和為 10、2535 的數字和為 15。
只有 2535（數字和 15，是 3 的倍數）合格，故 □＝5。
2-1-F24 [填充]📄 改編·高雄翠屏 113
五位數 2□561 除以 3 會餘 2，則 □ 內可以填入哪些數字？______（全對才給分）
答案：0、3、6、9
解析：一個數除以 3 的餘數，等於它各位數字和除以 3 的餘數。
已知數字和為 2＋5＋6＋1＋□＝14＋□。
要讓 14＋□ 除以 3 餘 2，逐一試 □＝0~9，得 □＝0、3、6、9。
2-1-F25 [填充]📄 改編·高雄左營 113
若 7 位數 285300□ 是 11 的倍數，則 □＝______。
答案：4
解析：11 的倍數判別法：（奇數位數字和）－（偶數位數字和）是 11 的倍數（含 0）（由個位算起第 1、3、5… 位為奇數位）。
代入 □＝4 得 2853004：奇數位和＝11、偶數位和＝11，差為 11－11＝0，是 11 的倍數。
其餘 0~9 的數字都不合，故 □＝4。
2-1-F26 [填充]📄 改編·臺北中山 110
已知四位數 682□ 既是 4 的倍數，同時也是 11 的倍數，則 □＝______。
答案：0
解析：4 的倍數：末兩位要是 4 的倍數；11 的倍數：奇數位和－偶數位和是 11 的倍數。
代入 □＝0 得 6820：末兩位 20÷4＝5（整除）✔；奇數位和－偶數位和＝8－8＝0 ✔。
（也可直接看 4 與 11 互質 → 要是 4×11＝44 的倍數，6820÷44＝155。）故 □＝0。
2-1-F27 [填充]📄 改編·高雄獅甲 113
請寫出介於 80 與 90 之間的所有質數：______（全對才給分）
答案：83、89
解析：質數是「大於 1 且只有 1 與自己兩個正因數」的數。
80~90 之間先刪掉偶數與 5 的倍數，再檢查剩下的數是否被 3、7 整除，（只要檢查到平方 ≦ 該數的質數即可）。
結果為 83、89。
2-1-F28 [填充]📄 自編
已知 a＝22×53×11，則 a 共有 ______ 個正因數。
答案：24
解析：標準分解式為 22×53×11 時，每個質因數的次數可以各自取 0 到該次數，所以正因數個數＝各個「次數＋1」相乘。
＝(2＋1)×(3＋1)×(1＋1)＝24 個。（a＝5500）
2-1-F29 [填充]📄 改編·高雄左營 113
設 A＝33×34×35×36×37，則 A 的相異質因數總和為 ______。
答案：82
解析：把每個因數各自分解，再把出現過的質數不重複收集起來：
33＝3×11；34＝2×17；35＝5×7；36＝22×32；37＝37。
相異質因數為 2、3、5、7、11、17、37，總和＝2＋3＋5＋7＋11＋17＋37＝82。
2-1-F30 [填充]📄 改編·臺北中山 110
已知 a＝32×52×7，試問下列各數中，哪些是 a 的因數？______（全對才給分）
(A) 32×52×72 (B) 32×52×7 (C) 33×52 (D) 3×5×7 (E) 32×5 (F) 32×52×7×11
答案：B、D、E
解析：一個數是 a 的因數 ⇔ 它的標準分解式中，每個質因數都出現在 a 裡，且次數不超過 a。
a＝32×52×7，逐一比對各質因數的次數：
(A) ✘ 不是；(B) ✔ 是；(C) ✘ 不是；(D) ✔ 是；(E) ✔ 是；(F) ✘ 不是。
故答案為 B、D、E。
2-1-C21 [計算]📄 自編
已知 N＝300。
(1) 求 N 的標準分解式。
(2) 求最小的正整數 k，使得 N×k 是一個完全平方數，並求出這個完全平方數是哪一個數的平方。
答案：(1) 22×3×52 (2) k＝3，N×k＝900＝302
解析：(1) 短除法分解：300＝22×3×52。
(2) 完全平方數的標準分解式中，每個質因數的次數都必須是偶數。
看 22×3×52：次數為奇數的質因數是 3，把它們各補一個上去即可 → k＝3。
此時 N×k＝300×3＝900＝22×32×52＝302，所以是 30 的平方。
2-1-C22 [計算]📄 改編·高雄翠屏 113
小杰用樹狀圖分解 a：先把 a 分解成 3×b，再把 b 分解成 3×7，而 3、3、7 都無法再分解。
(1) 求 b 與 a 的值。
(2) 寫出 a 的標準分解式，並求 a 共有幾個正因數。
答案：(1) b＝21，a＝63 (2) a＝32×7，共 6 個正因數
解析：(1) 由下往上算回去：b＝3×7＝21；a＝3×b＝3×21＝63。
(2) 樹狀圖最末端的 3、3、7 都是質數，把它們由小到大排好即為標準分解式：a＝32×7。
正因數個數＝各質因數「次數＋1」相乘＝(2＋1)×(1＋1)＝6 個。
2-1-C23 [計算]📄 自編
已知 N＝5544。請判斷 N 是 2、3、4、5、8、9、11 中哪幾個數的倍數，並針對 3、4、11 三個判別法寫出你的判斷依據。
答案：N 是 2、3、4、8、9、11 的倍數
解析：個位數為 4 → 是 2 的倍數；不是 5 的倍數。
各位數字和＝18：18÷3整除 → 是 3 的倍數；18÷9整除 → 是 9 的倍數。
末兩位為 44：是 4 的倍數；末三位為 544：是 8 的倍數。
奇數位和－偶數位和＝9－9＝0：是 11 的倍數。
故 N 是 2、3、4、8、9、11 的倍數。
2-1-C24 [計算]📄 改編·臺北仁愛 113
大雄把桌上 240 個壹圓硬幣分成若干堆，每堆硬幣的個數都相同。若每堆至少 5 個、至多 24 個，則共有幾種分法？請列出每堆可能的個數。
答案：共 9 種；每堆可能為 5、6、8、10、12、15、16、20、24 個
解析：每堆個數相同且剛好分完 → 每堆的個數必須是 240 的因數。
240＝24×3×5，其所有正因數為 1、2、3、4、5、6、8、10、12、15、16、20、24、30、40、48、60、80、120、240。
再篩出介於 5 與 24 之間（含）的：5、6、8、10、12、15、16、20、24，共 9 種分法。
2-1-C25 [計算]📄 改編·臺北中山 110
花媽將 150 個橘子分裝成若干箱，每箱的個數相等且剛好裝完。已知每箱至少裝 4 個、但不超過 25 個橘子，則她共有幾種可能的分裝情形？並求此時可能的箱數。
答案：共 5 種；每箱 5、6、10、15、25 個，對應箱數為 30、25、15、10、6 箱
解析：每箱個數相等且剛好裝完 → 每箱個數是 150 的因數。
150＝2×3×52，正因數為 1、2、3、5、6、10、15、25、30、50、75、150。
取 4≦每箱個數≦25：5、6、10、15、25 → 共 5 種。
箱數＝150÷每箱個數，依序為 30、25、15、10、6 箱。
2-1-C26 [計算]📄 改編·高雄獅甲 113
設甲數＝3n×2×5（n 為正整數）。已知 135 是甲數的因數，但 162 不是甲數的因數，求 n 的值。
答案：n＝3
解析：先把兩個數分解：135＝33×5、162＝2×34。
「135 是甲數的因數」→ 甲數中 3 的次數至少要 3，即 n≧3。
「162 不是甲數的因數」→ 甲數中 3 的次數不到 4，即 n＜4，也就是 n≦3。
兩者合起來得 n＝3。（此時甲數＝2×33×5＝270）
2-1-C27 [計算]📄 改編·臺中向上 113
若 a、b、c 三數都是質數，且滿足 a＋43＝b＋37＝c＋52，求 (a－b)c 的值。
答案：36（a＝11、b＝17、c＝2）
解析：設 a＋43＝b＋37＝c＋52＝k。
52 是偶數，若 c 是奇質數則 k＝c＋52 為奇數；但這樣 a＝k－43、b＝k－37（43、37 皆為奇數）就都會變成偶數，兩個偶質數只能都是 2，卻又必須相差 6，矛盾。
所以 c 必須是唯一的偶質數 2 → k＝2＋52＝54。
於是 a＝54－43＝11、b＝54－37＝17，兩者確實都是質數。
(a－b)c＝(11－17)2＝(−6)2＝36。
2-1-C28 [計算]📄 改編·高雄翠屏 113
已知 A＝45×512，判斷 A 乘開後是幾位數？（請寫出計算過程，不可直接乘開硬算）
答案：12 位數
解析：先把底數都換成質數：45＝(22)5＝210。
配對 2 和 5：一個 2 配一個 5 就湊成一個 10。
A＝210×512＝52×(2×5)10＝25×1010。
25×1010 就是「25 後面接 10 個 0」，共 2＋10＝12 位數。（A＝250000000000）
2-1-C29 [計算]📄 改編·臺北中山 110
胖虎在某個有 31 天的月份的月曆上劃記行事：日期是 2 的倍數劃記「資源回收」、5 的倍數劃記「打棒球」、9 的倍數劃記「聚餐」。試問：
(1) 這個月有幾天剛好被劃記了兩次？
(2) 這個月完全沒有劃記，且日期數字是合數的共有幾天？
答案：(1) 4 天（10、18、20、30） (2) 1 天（21）
解析：(1) 被劃記兩次 → 恰好是其中兩個數的公倍數。
[2,5]＝10、[2,9]＝18、[5,9]＝45、[2,5,9]＝90。
在 1~31 中逐一檢查，剛好被劃兩次的日期是 10、18、20、30，共 4 天。
(2) 完全沒劃記＝不是 2、5、9 任何一個的倍數，這些日期為 1、3、7、11、13、17、19、21、23、29、31。
其中要是合數（大於 1 且不是質數）：21，共 1 天。（1 既不是質數也不是合數）
2-1-C30 [計算]📄 自編
已知 N＝24×52。
(1) 求 N 共有幾個正因數。
(2) 這些正因數中，有幾個是奇數？有幾個是偶數？
答案：(1) 15 個 (2) 奇數 3 個、偶數 12 個
解析：(1) 正因數個數＝各質因數「次數＋1」相乘＝(4＋1)×(2＋1)＝15 個。
(2) 因數是奇數 ⇔ 完全不含質因數 2，即 2 的次數只能取 0，其餘質因數照舊：
奇因數個數＝(2＋1)＝3 個。
偶因數個數＝總數－奇因數＝15－3＝12 個。（N＝400）
D 卷（2-1 因數與倍數 ‧ 20 題）
2-1-F31 [填充]📄 改編·高雄獅甲 113
請列出 45 的所有正因數：______（由小到大寫出，全對才給分）
答案：1、3、5、9、15、45
解析：用「成對相乘」找因數：45＝1×45、3×15、5×9。
把每組的兩個數都列出並由小到大排好，得 1、3、5、9、15、45，共 6 個。
2-1-F32 [填充]📄 改編·臺北中山 110
將 1848 作質因數分解，可得標準分解式為 ______。
答案：23×3×7×11
解析：用短除法從最小的質數開始一路除：
1848÷2＝924；924÷2＝462；462÷2＝231；231÷3＝77；77÷7＝11；11÷11＝1。
把除數由小到大寫成次方形式：1848＝23×3×7×11。
2-1-F33 [填充]📄 改編·高雄翠屏 113
四位數 816□ 是 15 的倍數，則 □ 內要填入哪一個數字？______
答案：0
解析：15＝3×5，所以這個數要同時是 3 的倍數和 5 的倍數。
是 5 的倍數 → 個位數只能是 0 或 5。
再檢查 3 的倍數（各位數字和是 3 的倍數）：8160 的數字和為 15、8165 的數字和為 20。
只有 8160（數字和 15，是 3 的倍數）合格，故 □＝0。
2-1-F34 [填充]📄 改編·高雄翠屏 113
五位數 6□437 除以 3 會餘 1，則 □ 內可以填入哪些數字？______（全對才給分）
答案：2、5、8
解析：一個數除以 3 的餘數，等於它各位數字和除以 3 的餘數。
已知數字和為 6＋4＋3＋7＋□＝20＋□。
要讓 20＋□ 除以 3 餘 1，逐一試 □＝0~9，得 □＝2、5、8。
2-1-F35 [填充]📄 改編·高雄左營 113
若 7 位數 617800□ 是 11 的倍數，則 □＝______。
答案：7
解析：11 的倍數判別法：（奇數位數字和）－（偶數位數字和）是 11 的倍數（含 0）（由個位算起第 1、3、5… 位為奇數位）。
代入 □＝7 得 6178007：奇數位和＝20、偶數位和＝9，差為 20－9＝11，是 11 的倍數。
其餘 0~9 的數字都不合，故 □＝7。
2-1-F36 [填充]📄 改編·臺北中山 110
已知四位數 906□ 既是 4 的倍數，同時也是 11 的倍數，則 □＝______。
答案：4
解析：4 的倍數：末兩位要是 4 的倍數；11 的倍數：奇數位和－偶數位和是 11 的倍數。
代入 □＝4 得 9064：末兩位 64÷4＝16（整除）✔；奇數位和－偶數位和＝4－15＝−11 ✔。
（也可直接看 4 與 11 互質 → 要是 4×11＝44 的倍數，9064÷44＝206。）故 □＝4。
2-1-F37 [填充]📄 改編·高雄獅甲 113
請寫出介於 100 與 110 之間的所有質數：______（全對才給分）
答案：101、103、107、109
解析：質數是「大於 1 且只有 1 與自己兩個正因數」的數。
100~110 之間先刪掉偶數與 5 的倍數，再檢查剩下的數是否被 3、7 整除，（只要檢查到平方 ≦ 該數的質數即可）。
結果為 101、103、107、109。
2-1-F38 [填充]📄 自編
已知 a＝33×52×7，則 a 共有 ______ 個正因數。
答案：24
解析：標準分解式為 33×52×7 時，每個質因數的次數可以各自取 0 到該次數，所以正因數個數＝各個「次數＋1」相乘。
＝(3＋1)×(2＋1)×(1＋1)＝24 個。（a＝4725）
2-1-F39 [填充]📄 改編·高雄左營 113
設 A＝45×46×47×48×49，則 A 的相異質因數總和為 ______。
答案：87
解析：把每個因數各自分解，再把出現過的質數不重複收集起來：
45＝32×5；46＝2×23；47＝47；48＝24×3；49＝72。
相異質因數為 2、3、5、7、23、47，總和＝2＋3＋5＋7＋23＋47＝87。
2-1-F40 [填充]📄 改編·臺北中山 110
已知 a＝24×3×11，試問下列各數中，哪些是 a 的因數？______（全對才給分）
(A) 24×3×112 (B) 24×3×11 (C) 25×3 (D) 23×11 (E) 24 (F) 24×3×11×13
答案：B、D、E
解析：一個數是 a 的因數 ⇔ 它的標準分解式中，每個質因數都出現在 a 裡，且次數不超過 a。
a＝24×3×11，逐一比對各質因數的次數：
(A) ✘ 不是；(B) ✔ 是；(C) ✘ 不是；(D) ✔ 是；(E) ✔ 是；(F) ✘ 不是。
故答案為 B、D、E。
2-1-C31 [計算]📄 自編
已知 N＝180。
(1) 求 N 的標準分解式。
(2) 求最小的正整數 k，使得 N×k 是一個完全平方數，並求出這個完全平方數是哪一個數的平方。
答案：(1) 22×32×5 (2) k＝5，N×k＝900＝302
解析：(1) 短除法分解：180＝22×32×5。
(2) 完全平方數的標準分解式中，每個質因數的次數都必須是偶數。
看 22×32×5：次數為奇數的質因數是 5，把它們各補一個上去即可 → k＝5。
此時 N×k＝180×5＝900＝22×32×52＝302，所以是 30 的平方。
2-1-C32 [計算]📄 改編·高雄翠屏 113
小杰用樹狀圖分解 a：先把 a 分解成 2×b，再把 b 分解成 2×11，而 2、2、11 都無法再分解。
(1) 求 b 與 a 的值。
(2) 寫出 a 的標準分解式，並求 a 共有幾個正因數。
答案：(1) b＝22，a＝44 (2) a＝22×11，共 6 個正因數
解析：(1) 由下往上算回去：b＝2×11＝22；a＝2×b＝2×22＝44。
(2) 樹狀圖最末端的 2、2、11 都是質數，把它們由小到大排好即為標準分解式：a＝22×11。
正因數個數＝各質因數「次數＋1」相乘＝(2＋1)×(1＋1)＝6 個。
2-1-C33 [計算]📄 自編
已知 N＝4680。請判斷 N 是 2、3、4、5、8、9、11 中哪幾個數的倍數，並針對 3、4、11 三個判別法寫出你的判斷依據。
答案：N 是 2、3、4、5、8、9 的倍數
解析：個位數為 0 → 是 2 的倍數；是 5 的倍數。
各位數字和＝18：18÷3整除 → 是 3 的倍數；18÷9整除 → 是 9 的倍數。
末兩位為 80：是 4 的倍數；末三位為 680：是 8 的倍數。
奇數位和－偶數位和＝6－12＝−6：不是 11 的倍數。
故 N 是 2、3、4、5、8、9 的倍數。
2-1-C34 [計算]📄 改編·臺北仁愛 113
大雄把桌上 200 個壹圓硬幣分成若干堆，每堆硬幣的個數都相同。若每堆至少 4 個、至多 25 個，則共有幾種分法？請列出每堆可能的個數。
答案：共 6 種；每堆可能為 4、5、8、10、20、25 個
解析：每堆個數相同且剛好分完 → 每堆的個數必須是 200 的因數。
200＝23×52，其所有正因數為 1、2、4、5、8、10、20、25、40、50、100、200。
再篩出介於 4 與 25 之間（含）的：4、5、8、10、20、25，共 6 種分法。
2-1-C35 [計算]📄 改編·臺北中山 110
花媽將 198 個橘子分裝成若干箱，每箱的個數相等且剛好裝完。已知每箱至少裝 5 個、但不超過 22 個橘子，則她共有幾種可能的分裝情形？並求此時可能的箱數。
答案：共 5 種；每箱 6、9、11、18、22 個，對應箱數為 33、22、18、11、9 箱
解析：每箱個數相等且剛好裝完 → 每箱個數是 198 的因數。
198＝2×32×11，正因數為 1、2、3、6、9、11、18、22、33、66、99、198。
取 5≦每箱個數≦22：6、9、11、18、22 → 共 5 種。
箱數＝198÷每箱個數，依序為 33、22、18、11、9 箱。
2-1-C36 [計算]📄 改編·高雄獅甲 113
設甲數＝2n×7×5（n 為正整數）。已知 40 是甲數的因數，但 112 不是甲數的因數，求 n 的值。
答案：n＝3
解析：先把兩個數分解：40＝23×5、112＝24×7。
「40 是甲數的因數」→ 甲數中 2 的次數至少要 3，即 n≧3。
「112 不是甲數的因數」→ 甲數中 2 的次數不到 4，即 n＜4，也就是 n≦3。
兩者合起來得 n＝3。（此時甲數＝23×5×7＝280）
2-1-C37 [計算]📄 改編·臺中向上 113
若 a、b、c 三數都是質數，且滿足 a＋31＝b＋23＝c＋34，求 (a－b)c 的值。
答案：64（a＝5、b＝13、c＝2）
解析：設 a＋31＝b＋23＝c＋34＝k。
34 是偶數，若 c 是奇質數則 k＝c＋34 為奇數；但這樣 a＝k－31、b＝k－23（31、23 皆為奇數）就都會變成偶數，兩個偶質數只能都是 2，卻又必須相差 8，矛盾。
所以 c 必須是唯一的偶質數 2 → k＝2＋34＝36。
於是 a＝36－31＝5、b＝36－23＝13，兩者確實都是質數。
(a－b)c＝(5－13)2＝(−8)2＝64。
2-1-C38 [計算]📄 改編·高雄翠屏 113
已知 A＝29×513，判斷 A 乘開後是幾位數？（請寫出計算過程，不可直接乘開硬算）
答案：12 位數
解析：先把底數都換成質數：底數已是質數，2 的次數為 9。
配對 2 和 5：一個 2 配一個 5 就湊成一個 10。
A＝29×513＝54×(2×5)9＝625×109。
625×109 就是「625 後面接 9 個 0」，共 3＋9＝12 位數。（A＝625000000000）
2-1-C39 [計算]📄 改編·臺北中山 110
胖虎在某個有 30 天的月份的月曆上劃記行事：日期是 4 的倍數劃記「資源回收」、5 的倍數劃記「打棒球」、6 的倍數劃記「聚餐」。試問：
(1) 這個月有幾天剛好被劃記了兩次？
(2) 這個月完全沒有劃記，且日期數字是合數的共有幾天？
答案：(1) 4 天（12、20、24、30） (2) 6 天（9、14、21、22、26、27）
解析：(1) 被劃記兩次 → 恰好是其中兩個數的公倍數。
[4,5]＝20、[4,6]＝12、[5,6]＝30、[4,5,6]＝60。
在 1~30 中逐一檢查，剛好被劃兩次的日期是 12、20、24、30，共 4 天。
(2) 完全沒劃記＝不是 4、5、6 任何一個的倍數，這些日期為 1、2、3、7、9、11、13、14、17、19、21、22、23、26、27、29。
其中要是合數（大於 1 且不是質數）：9、14、21、22、26、27，共 6 天。（1 既不是質數也不是合數）
2-1-C40 [計算]📄 自編
已知 N＝23×3×112。
(1) 求 N 共有幾個正因數。
(2) 這些正因數中，有幾個是奇數？有幾個是偶數？
答案：(1) 24 個 (2) 奇數 6 個、偶數 18 個
解析：(1) 正因數個數＝各質因數「次數＋1」相乘＝(3＋1)×(1＋1)×(2＋1)＝24 個。
(2) 因數是奇數 ⇔ 完全不含質因數 2，即 2 的次數只能取 0，其餘質因數照舊：
奇因數個數＝(1＋1)×(2＋1)＝6 個。
偶因數個數＝總數－奇因數＝24－6＝18 個。（N＝2904）
E 卷（2-1 因數與倍數 ‧ 20 題）
2-1-F41 [填充]📄 改編·高雄獅甲 113
請列出 50 的所有正因數：______（由小到大寫出，全對才給分）
答案：1、2、5、10、25、50
解析：用「成對相乘」找因數：50＝1×50、2×25、5×10。
把每組的兩個數都列出並由小到大排好，得 1、2、5、10、25、50，共 6 個。
2-1-F42 [填充]📄 改編·臺北中山 110
將 2340 作質因數分解，可得標準分解式為 ______。
答案：22×32×5×13
解析：用短除法從最小的質數開始一路除：
2340÷2＝1170；1170÷2＝585；585÷3＝195；195÷3＝65；65÷5＝13；13÷13＝1。
把除數由小到大寫成次方形式：2340＝22×32×5×13。
2-1-F43 [填充]📄 改編·高雄翠屏 113
四位數 394□ 是 15 的倍數，則 □ 內要填入哪一個數字？______
答案：5
解析：15＝3×5，所以這個數要同時是 3 的倍數和 5 的倍數。
是 5 的倍數 → 個位數只能是 0 或 5。
再檢查 3 的倍數（各位數字和是 3 的倍數）：3940 的數字和為 16、3945 的數字和為 21。
只有 3945（數字和 21，是 3 的倍數）合格，故 □＝5。
2-1-F44 [填充]📄 改編·高雄翠屏 113
五位數 9□052 除以 3 會餘 2，則 □ 內可以填入哪些數字？______（全對才給分）
答案：1、4、7
解析：一個數除以 3 的餘數，等於它各位數字和除以 3 的餘數。
已知數字和為 9＋0＋5＋2＋□＝16＋□。
要讓 16＋□ 除以 3 餘 2，逐一試 □＝0~9，得 □＝1、4、7。
2-1-F45 [填充]📄 改編·高雄左營 113
若 7 位數 502400□ 是 11 的倍數，則 □＝______。
答案：8
解析：11 的倍數判別法：（奇數位數字和）－（偶數位數字和）是 11 的倍數（含 0）（由個位算起第 1、3、5… 位為奇數位）。
代入 □＝8 得 5024008：奇數位和＝15、偶數位和＝4，差為 15－4＝11，是 11 的倍數。
其餘 0~9 的數字都不合，故 □＝8。
2-1-F46 [填充]📄 改編·臺北中山 110
已知四位數 528□ 既是 4 的倍數，同時也是 11 的倍數，則 □＝______。
答案：0
解析：4 的倍數：末兩位要是 4 的倍數；11 的倍數：奇數位和－偶數位和是 11 的倍數。
代入 □＝0 得 5280：末兩位 80÷4＝20（整除）✔；奇數位和－偶數位和＝2－13＝−11 ✔。
（也可直接看 4 與 11 互質 → 要是 4×11＝44 的倍數，5280÷44＝120。）故 □＝0。
2-1-F47 [填充]📄 改編·高雄獅甲 113
請寫出介於 110 與 120 之間的所有質數：______（全對才給分）
答案：113
解析：質數是「大於 1 且只有 1 與自己兩個正因數」的數。
110~120 之間先刪掉偶數與 5 的倍數，再檢查剩下的數是否被 3、7 整除，（只要檢查到平方 ≦ 該數的質數即可）。
結果為 113。
2-1-F48 [填充]📄 自編
已知 a＝25×33，則 a 共有 ______ 個正因數。
答案：24
解析：標準分解式為 25×33 時，每個質因數的次數可以各自取 0 到該次數，所以正因數個數＝各個「次數＋1」相乘。
＝(5＋1)×(3＋1)＝24 個。（a＝864）
2-1-F49 [填充]📄 改編·高雄左營 113
設 A＝51×52×53×54×55，則 A 的相異質因數總和為 ______。
答案：104
解析：把每個因數各自分解，再把出現過的質數不重複收集起來：
51＝3×17；52＝22×13；53＝53；54＝2×33；55＝5×11。
相異質因數為 2、3、5、11、13、17、53，總和＝2＋3＋5＋11＋13＋17＋53＝104。
2-1-F50 [填充]📄 改編·臺北中山 110
已知 a＝2×33×52，試問下列各數中，哪些是 a 的因數？______（全對才給分）
(A) 2×33×53 (B) 2×33×52 (C) 22×33×5 (D) 32×52 (E) 2×32×5 (F) 2×33×52×11
答案：B、D、E
解析：一個數是 a 的因數 ⇔ 它的標準分解式中，每個質因數都出現在 a 裡，且次數不超過 a。
a＝2×33×52，逐一比對各質因數的次數：
(A) ✘ 不是；(B) ✔ 是；(C) ✘ 不是；(D) ✔ 是；(E) ✔ 是；(F) ✘ 不是。
故答案為 B、D、E。
2-1-C41 [計算]📄 自編
已知 N＝588。
(1) 求 N 的標準分解式。
(2) 求最小的正整數 k，使得 N×k 是一個完全平方數，並求出這個完全平方數是哪一個數的平方。
答案：(1) 22×3×72 (2) k＝3，N×k＝1764＝422
解析：(1) 短除法分解：588＝22×3×72。
(2) 完全平方數的標準分解式中，每個質因數的次數都必須是偶數。
看 22×3×72：次數為奇數的質因數是 3，把它們各補一個上去即可 → k＝3。
此時 N×k＝588×3＝1764＝22×32×72＝422，所以是 42 的平方。
2-1-C42 [計算]📄 改編·高雄翠屏 113
小杰用樹狀圖分解 a：先把 a 分解成 3×b，再把 b 分解成 5×5，而 3、5、5 都無法再分解。
(1) 求 b 與 a 的值。
(2) 寫出 a 的標準分解式，並求 a 共有幾個正因數。
答案：(1) b＝25，a＝75 (2) a＝3×52，共 6 個正因數
解析：(1) 由下往上算回去：b＝5×5＝25；a＝3×b＝3×25＝75。
(2) 樹狀圖最末端的 3、5、5 都是質數，把它們由小到大排好即為標準分解式：a＝3×52。
正因數個數＝各質因數「次數＋1」相乘＝(1＋1)×(2＋1)＝6 個。
2-1-C43 [計算]📄 自編
已知 N＝8316。請判斷 N 是 2、3、4、5、8、9、11 中哪幾個數的倍數，並針對 3、4、11 三個判別法寫出你的判斷依據。
答案：N 是 2、3、4、9、11 的倍數
解析：個位數為 6 → 是 2 的倍數；不是 5 的倍數。
各位數字和＝18：18÷3整除 → 是 3 的倍數；18÷9整除 → 是 9 的倍數。
末兩位為 16：是 4 的倍數；末三位為 316：不是 8 的倍數。
奇數位和－偶數位和＝9－9＝0：是 11 的倍數。
故 N 是 2、3、4、9、11 的倍數。
2-1-C44 [計算]📄 改編·臺北仁愛 113
大雄把桌上 168 個壹圓硬幣分成若干堆，每堆硬幣的個數都相同。若每堆至少 3 個、至多 21 個，則共有幾種分法？請列出每堆可能的個數。
答案：共 8 種；每堆可能為 3、4、6、7、8、12、14、21 個
解析：每堆個數相同且剛好分完 → 每堆的個數必須是 168 的因數。
168＝23×3×7，其所有正因數為 1、2、3、4、6、7、8、12、14、21、24、28、42、56、84、168。
再篩出介於 3 與 21 之間（含）的：3、4、6、7、8、12、14、21，共 8 種分法。
2-1-C45 [計算]📄 改編·臺北中山 110
花媽將 132 個橘子分裝成若干箱，每箱的個數相等且剛好裝完。已知每箱至少裝 4 個、但不超過 20 個橘子，則她共有幾種可能的分裝情形？並求此時可能的箱數。
答案：共 4 種；每箱 4、6、11、12 個，對應箱數為 33、22、12、11 箱
解析：每箱個數相等且剛好裝完 → 每箱個數是 132 的因數。
132＝22×3×11，正因數為 1、2、3、4、6、11、12、22、33、44、66、132。
取 4≦每箱個數≦20：4、6、11、12 → 共 4 種。
箱數＝132÷每箱個數，依序為 33、22、12、11 箱。
2-1-C46 [計算]📄 改編·高雄獅甲 113
設甲數＝5n×3×2（n 為正整數）。已知 250 是甲數的因數，但 1875 不是甲數的因數，求 n 的值。
答案：n＝3
解析：先把兩個數分解：250＝2×53、1875＝3×54。
「250 是甲數的因數」→ 甲數中 5 的次數至少要 3，即 n≧3。
「1875 不是甲數的因數」→ 甲數中 5 的次數不到 4，即 n＜4，也就是 n≦3。
兩者合起來得 n＝3。（此時甲數＝2×3×53＝750）
2-1-C47 [計算]📄 改編·臺中向上 113
若 a、b、c 三數都是質數，且滿足 a＋47＝b＋41＝c＋58，求 (a－b)c 的值。
答案：36（a＝13、b＝19、c＝2）
解析：設 a＋47＝b＋41＝c＋58＝k。
58 是偶數，若 c 是奇質數則 k＝c＋58 為奇數；但這樣 a＝k－47、b＝k－41（47、41 皆為奇數）就都會變成偶數，兩個偶質數只能都是 2，卻又必須相差 6，矛盾。
所以 c 必須是唯一的偶質數 2 → k＝2＋58＝60。
於是 a＝60－47＝13、b＝60－41＝19，兩者確實都是質數。
(a－b)c＝(13－19)2＝(−6)2＝36。
2-1-C48 [計算]📄 改編·高雄翠屏 113
已知 A＝83×511，判斷 A 乘開後是幾位數？（請寫出計算過程，不可直接乘開硬算）
答案：11 位數
解析：先把底數都換成質數：83＝(23)3＝29。
配對 2 和 5：一個 2 配一個 5 就湊成一個 10。
A＝29×511＝52×(2×5)9＝25×109。
25×109 就是「25 後面接 9 個 0」，共 2＋9＝11 位數。（A＝25000000000）
2-1-C49 [計算]📄 改編·臺北中山 110
胖虎在某個有 31 天的月份的月曆上劃記行事：日期是 3 的倍數劃記「資源回收」、4 的倍數劃記「打棒球」、5 的倍數劃記「聚餐」。試問：
(1) 這個月有幾天剛好被劃記了兩次？
(2) 這個月完全沒有劃記，且日期數字是合數的共有幾天？
答案：(1) 5 天（12、15、20、24、30） (2) 3 天（14、22、26）
解析：(1) 被劃記兩次 → 恰好是其中兩個數的公倍數。
[3,4]＝12、[3,5]＝15、[4,5]＝20、[3,4,5]＝60。
在 1~31 中逐一檢查，剛好被劃兩次的日期是 12、15、20、24、30，共 5 天。
(2) 完全沒劃記＝不是 3、4、5 任何一個的倍數，這些日期為 1、2、7、11、13、14、17、19、22、23、26、29、31。
其中要是合數（大於 1 且不是質數）：14、22、26，共 3 天。（1 既不是質數也不是合數）
2-1-C50 [計算]📄 自編
已知 N＝22×5×72。
(1) 求 N 共有幾個正因數。
(2) 這些正因數中，有幾個是奇數？有幾個是偶數？
答案：(1) 18 個 (2) 奇數 6 個、偶數 12 個
解析：(1) 正因數個數＝各質因數「次數＋1」相乘＝(2＋1)×(1＋1)×(2＋1)＝18 個。
(2) 因數是奇數 ⇔ 完全不含質因數 2，即 2 的次數只能取 0，其餘質因數照舊：
奇因數個數＝(1＋1)×(2＋1)＝6 個。
偶因數個數＝總數－奇因數＝18－6＝12 個。（N＝980）
F 卷（2-1 因數與倍數 ‧ 20 題）
2-1-F51 [填充]📄 改編·高雄獅甲 113
請列出 66 的所有正因數：______（由小到大寫出，全對才給分）
答案：1、2、3、6、11、22、33、66
解析：用「成對相乘」找因數：66＝1×66、2×33、3×22、6×11。
把每組的兩個數都列出並由小到大排好，得 1、2、3、6、11、22、33、66，共 8 個。
2-1-F52 [填充]📄 改編·臺北中山 110
將 1575 作質因數分解，可得標準分解式為 ______。
答案：32×52×7
解析：用短除法從最小的質數開始一路除：
1575÷3＝525；525÷3＝175；175÷5＝35；35÷5＝7；7÷7＝1。
把除數由小到大寫成次方形式：1575＝32×52×7。
2-1-F53 [填充]📄 改編·高雄翠屏 113
四位數 627□ 是 15 的倍數，則 □ 內要填入哪一個數字？______
答案：0
解析：15＝3×5，所以這個數要同時是 3 的倍數和 5 的倍數。
是 5 的倍數 → 個位數只能是 0 或 5。
再檢查 3 的倍數（各位數字和是 3 的倍數）：6270 的數字和為 15、6275 的數字和為 20。
只有 6270（數字和 15，是 3 的倍數）合格，故 □＝0。
2-1-F54 [填充]📄 改編·高雄翠屏 113
五位數 3□748 除以 3 會餘 1，則 □ 內可以填入哪些數字？______（全對才給分）
答案：0、3、6、9
解析：一個數除以 3 的餘數，等於它各位數字和除以 3 的餘數。
已知數字和為 3＋7＋4＋8＋□＝22＋□。
要讓 22＋□ 除以 3 餘 1，逐一試 □＝0~9，得 □＝0、3、6、9。
2-1-F55 [填充]📄 改編·高雄左營 113
若 7 位數 839201□ 是 11 的倍數，則 □＝______。
答案：0
解析：11 的倍數判別法：（奇數位數字和）－（偶數位數字和）是 11 的倍數（含 0）（由個位算起第 1、3、5… 位為奇數位）。
代入 □＝0 得 8392010：奇數位和＝17、偶數位和＝6，差為 17－6＝11，是 11 的倍數。
其餘 0~9 的數字都不合，故 □＝0。
2-1-F56 [填充]📄 改編·臺北中山 110
已知四位數 176□ 既是 4 的倍數，同時也是 11 的倍數，則 □＝______。
答案：0
解析：4 的倍數：末兩位要是 4 的倍數；11 的倍數：奇數位和－偶數位和是 11 的倍數。
代入 □＝0 得 1760：末兩位 60÷4＝15（整除）✔；奇數位和－偶數位和＝7－7＝0 ✔。
（也可直接看 4 與 11 互質 → 要是 4×11＝44 的倍數，1760÷44＝40。）故 □＝0。
2-1-F57 [填充]📄 改編·高雄獅甲 113
請寫出介於 40 與 50 之間的所有質數：______（全對才給分）
答案：41、43、47
解析：質數是「大於 1 且只有 1 與自己兩個正因數」的數。
40~50 之間先刪掉偶數與 5 的倍數，再檢查剩下的數是否被 3、7 整除，（只要檢查到平方 ≦ 該數的質數即可）。
結果為 41、43、47。
2-1-F58 [填充]📄 自編
已知 a＝22×32×52，則 a 共有 ______ 個正因數。
答案：27
解析：標準分解式為 22×32×52 時，每個質因數的次數可以各自取 0 到該次數，所以正因數個數＝各個「次數＋1」相乘。
＝(2＋1)×(2＋1)×(2＋1)＝27 個。（a＝900）
2-1-F59 [填充]📄 改編·高雄左營 113
設 A＝26×27×28×29×30，則 A 的相異質因數總和為 ______。
答案：59
解析：把每個因數各自分解，再把出現過的質數不重複收集起來：
26＝2×13；27＝33；28＝22×7；29＝29；30＝2×3×5。
相異質因數為 2、3、5、7、13、29，總和＝2＋3＋5＋7＋13＋29＝59。
2-1-F60 [填充]📄 改編·臺北中山 110
已知 a＝22×72×13，試問下列各數中，哪些是 a 的因數？______（全對才給分）
(A) 22×72×132 (B) 22×72×13 (C) 23×72 (D) 2×7×13 (E) 22×7 (F) 22×72×13×11
答案：B、D、E
解析：一個數是 a 的因數 ⇔ 它的標準分解式中，每個質因數都出現在 a 裡，且次數不超過 a。
a＝22×72×13，逐一比對各質因數的次數：
(A) ✘ 不是；(B) ✔ 是；(C) ✘ 不是；(D) ✔ 是；(E) ✔ 是；(F) ✘ 不是。
故答案為 B、D、E。
2-1-C51 [計算]📄 自編
已知 N＝1176。
(1) 求 N 的標準分解式。
(2) 求最小的正整數 k，使得 N×k 是一個完全平方數，並求出這個完全平方數是哪一個數的平方。
答案：(1) 23×3×72 (2) k＝6，N×k＝7056＝842
解析：(1) 短除法分解：1176＝23×3×72。
(2) 完全平方數的標準分解式中，每個質因數的次數都必須是偶數。
看 23×3×72：次數為奇數的質因數是 2、3，把它們各補一個上去即可 → k＝6。
此時 N×k＝1176×6＝7056＝24×32×72＝842，所以是 84 的平方。
2-1-C52 [計算]📄 改編·高雄翠屏 113
小杰用樹狀圖分解 a：先把 a 分解成 2×b，再把 b 分解成 7×7，而 2、7、7 都無法再分解。
(1) 求 b 與 a 的值。
(2) 寫出 a 的標準分解式，並求 a 共有幾個正因數。
答案：(1) b＝49，a＝98 (2) a＝2×72，共 6 個正因數
解析：(1) 由下往上算回去：b＝7×7＝49；a＝2×b＝2×49＝98。
(2) 樹狀圖最末端的 2、7、7 都是質數，把它們由小到大排好即為標準分解式：a＝2×72。
正因數個數＝各質因數「次數＋1」相乘＝(1＋1)×(2＋1)＝6 個。
2-1-C53 [計算]📄 自編
已知 N＝6300。請判斷 N 是 2、3、4、5、8、9、11 中哪幾個數的倍數，並針對 3、4、11 三個判別法寫出你的判斷依據。
答案：N 是 2、3、4、5、9 的倍數
解析：個位數為 0 → 是 2 的倍數；是 5 的倍數。
各位數字和＝9：9÷3整除 → 是 3 的倍數；9÷9整除 → 是 9 的倍數。
末兩位為 00：是 4 的倍數；末三位為 300：不是 8 的倍數。
奇數位和－偶數位和＝3－6＝−3：不是 11 的倍數。
故 N 是 2、3、4、5、9 的倍數。
2-1-C54 [計算]📄 改編·臺北仁愛 113
大雄把桌上 216 個壹圓硬幣分成若干堆，每堆硬幣的個數都相同。若每堆至少 4 個、至多 18 個，則共有幾種分法？請列出每堆可能的個數。
答案：共 6 種；每堆可能為 4、6、8、9、12、18 個
解析：每堆個數相同且剛好分完 → 每堆的個數必須是 216 的因數。
216＝23×33，其所有正因數為 1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、27、36、54、72、108、216。
再篩出介於 4 與 18 之間（含）的：4、6、8、9、12、18，共 6 種分法。
2-1-C55 [計算]📄 改編·臺北中山 110
花媽將 165 個橘子分裝成若干箱，每箱的個數相等且剛好裝完。已知每箱至少裝 3 個、但不超過 15 個橘子，則她共有幾種可能的分裝情形？並求此時可能的箱數。
答案：共 4 種；每箱 3、5、11、15 個，對應箱數為 55、33、15、11 箱
解析：每箱個數相等且剛好裝完 → 每箱個數是 165 的因數。
165＝3×5×11，正因數為 1、3、5、11、15、33、55、165。
取 3≦每箱個數≦15：3、5、11、15 → 共 4 種。
箱數＝165÷每箱個數，依序為 55、33、15、11 箱。
2-1-C56 [計算]📄 改編·高雄獅甲 113
設甲數＝2n×11×3（n 為正整數）。已知 24 是甲數的因數，但 176 不是甲數的因數，求 n 的值。
答案：n＝3
解析：先把兩個數分解：24＝23×3、176＝24×11。
「24 是甲數的因數」→ 甲數中 2 的次數至少要 3，即 n≧3。
「176 不是甲數的因數」→ 甲數中 2 的次數不到 4，即 n＜4，也就是 n≦3。
兩者合起來得 n＝3。（此時甲數＝23×3×11＝264）
2-1-C57 [計算]📄 改編·臺中向上 113
若 a、b、c 三數都是質數，且滿足 a＋41＝b＋37＝c＋42，求 (a－b)c 的值。
答案：16（a＝3、b＝7、c＝2）
解析：設 a＋41＝b＋37＝c＋42＝k。
42 是偶數，若 c 是奇質數則 k＝c＋42 為奇數；但這樣 a＝k－41、b＝k－37（41、37 皆為奇數）就都會變成偶數，兩個偶質數只能都是 2，卻又必須相差 4，矛盾。
所以 c 必須是唯一的偶質數 2 → k＝2＋42＝44。
於是 a＝44－41＝3、b＝44－37＝7，兩者確實都是質數。
(a－b)c＝(3－7)2＝(−4)2＝16。
2-1-C58 [計算]📄 改編·高雄翠屏 113
已知 A＝163×515，判斷 A 乘開後是幾位數？（請寫出計算過程，不可直接乘開硬算）
答案：15 位數
解析：先把底數都換成質數：163＝(24)3＝212。
配對 2 和 5：一個 2 配一個 5 就湊成一個 10。
A＝212×515＝53×(2×5)12＝125×1012。
125×1012 就是「125 後面接 12 個 0」，共 3＋12＝15 位數。（A＝125000000000000）
2-1-C59 [計算]📄 改編·臺北中山 110
胖虎在某個有 28 天的月份的月曆上劃記行事：日期是 2 的倍數劃記「資源回收」、3 的倍數劃記「打棒球」、7 的倍數劃記「聚餐」。試問：
(1) 這個月有幾天剛好被劃記了兩次？
(2) 這個月完全沒有劃記，且日期數字是合數的共有幾天？
答案：(1) 7 天（6、12、14、18、21、24、28） (2) 1 天（25）
解析：(1) 被劃記兩次 → 恰好是其中兩個數的公倍數。
[2,3]＝6、[2,7]＝14、[3,7]＝21、[2,3,7]＝42。
在 1~28 中逐一檢查，剛好被劃兩次的日期是 6、12、14、18、21、24、28，共 7 天。
(2) 完全沒劃記＝不是 2、3、7 任何一個的倍數，這些日期為 1、5、11、13、17、19、23、25。
其中要是合數（大於 1 且不是質數）：25，共 1 天。（1 既不是質數也不是合數）
2-1-C60 [計算]📄 自編
已知 N＝25×32×5。
(1) 求 N 共有幾個正因數。
(2) 這些正因數中，有幾個是奇數？有幾個是偶數？
答案：(1) 36 個 (2) 奇數 6 個、偶數 30 個
解析：(1) 正因數個數＝各質因數「次數＋1」相乘＝(5＋1)×(2＋1)×(1＋1)＝36 個。
(2) 因數是奇數 ⇔ 完全不含質因數 2，即 2 的次數只能取 0，其餘質因數照舊：
奇因數個數＝(2＋1)×(1＋1)＝6 個。
偶因數個數＝總數－奇因數＝36－6＝30 個。（N＝1440）