每觀念：概念說明 ＋ 老師講解 4 ＋ 學生練習 4 ＋ 段考題目練習 6
觀念
1正數與負數
💡 概念說明
- 意義「相對或相反」的量，可用帶「＋（正）」「−（負）」的數來表示。
- 溫度：零上 30 度記為 ＋30 度；零下 10 度記為 −10 度。
- 方向：以基準點為 0，東為正、西為負——向東 2 公里 ＋2、向西 3 公里 −3。
- 正數：大於 0 的數；負數：小於 0 的數；0 既不是正數、也不是負數。
- 整數＝正整數（1、2、3…，又稱自然數）、0、負整數（−1、−2、−3…）。
- 性質符號：表示數的正、負（如 ＋5、−2）；運算符號：表示加、減運算（如 2＋3、8−1）。
- 性質符號相同 → 同號數（如 6 與 1.8）；性質符號相異 → 異號數（如 3 與 −6）。
👨🏫 老師講解（4 題）
講 1以「向東」為正向。向東走 12 公尺記為 ＋12 公尺，則向西走 8 公尺記為多少？P.1
先看題目訂的正向：題目說「向東為正」，所以向東用「＋」。
「向西」和「向東」方向相反，相反的量要用相反的符號，所以向西用「−」。
把數字 8 配上負號：向西 8 公尺 → −8 公尺。
−8 公尺
講 2判斷為正數、負數或零：＋6、−3.5、0、−12、＋0.8、7。P.1
判斷方法：每個數都和 0 比大小，比 0 大是正數、比 0 小是負數、等於 0 是零。
比 0 大（正數）：＋6、＋0.8、7（7 沒寫符號，預設是正）。
比 0 小（負數）：−3.5、−12。
等於 0：0，它既不是正數也不是負數。
正、負、零、負、正、正
講 3在 −4、2.5、0、−7、＋9、−34、15 中，哪些是整數？哪些是正整數（自然數）？哪些是負整數？P.2
先回想：整數＝正整數、0、負整數，不含小數和分數。
挑掉不是整數的：2.5 是小數、−34 是分數，兩個都不是整數。
剩下的都是整數：−4、0、−7、＋9、15。
再分類——比 0 大的整數是正整數（自然數）：＋9、15；比 0 小的整數是負整數：−4、−7。
整數：−4、0、−7、＋9、15；正整數：＋9、15；負整數：−4、−7
講 4下列各組互為同號數還是異號數？(a) 5 與 8 (b) −3 與 7 (c) −6 與 −2 (d) ＋4 與 −9。P.2
規則：只看「性質符號」，符號相同→同號數，符號相異→異號數。
(a) 5、8 都是正 → 同號；(c) −6、−2 都是負 → 同號。
(b) −3 是負、7 是正 → 異號；(d) ＋4 是正、−9 是負 → 異號。
同號數：(a)、(c)；異號數：(b)、(d)
✏️ 學生練習（4 題）
練 1以「收入」為正向。收入 500 元記為 ＋500 元，則支出 300 元記為多少？P.2
題目訂「收入為正（＋）」。
支出和收入相反 → 用負號（−）。
支出 300 → −300 元。
−300 元
練 2判斷為正數、負數或零：−9、＋2.7、0、15、−0.5、−100。P.2
每個數和 0 比大小。
比 0 大（正）：＋2.7、15；等於 0：0。
比 0 小（負）：−9、−0.5、−100。
負、正、零、正、負、負
練 3在 −6、3.2、0、＋8、−5、12、−2.5、20 中，找出整數、正整數、負整數。P.2
先挑掉小數、分數：3.2、12、−2.5 都不是整數。
剩下的是整數：−6、0、＋8、−5、20。
正整數：＋8、20；負整數：−6、−5。
整數：−6、0、＋8、−5、20；正整數：＋8、20；負整數：−6、−5
練 4下列各組互為同號數還是異號數？(a) −7 與 −1 (b) 4 與 −5 (c) 6 與 9 (d) −8 與 3。P.3
只看性質符號相同或相異。
同號（符號相同）：(a) 負負、(c) 正正。
異號（符號相異）：(b)、(d)。
同號數：(a)、(c)；異號數：(b)、(d)
🏆 段考題目練習（6 題）
考 1台中向上 113 段考以中午 12 點為基準，當天下午 4 點記為 ＋4，則當天上午 8 點記為多少？P.3
先抓單位：下午 4 點比中午晚 4 小時、記 ＋4，所以每 1 小時記 ＋1。
12 點之後為正、之前為負。
上午 8 點比 12 點早 4 小時 → −4。
−4
考 2屏東明正 113 段考以 120 公分為基準，小明身高 128 公分記為 ＋8 公分，則小愛身高 115 公分可記為多少？P.3
記錄值 = 身高 − 基準。
小愛：115 − 120 = −5。
比基準矮 → 用負號 → −5 公分。
−5 公分
考 3高雄七賢 113 段考下列敘述何者錯誤？(A) 13 的性質符號是「＋」 (B) 在原點左邊的數，與原點距離愈遠其值愈大 (C) 3−5 的「−」是運算符號 (D) 0 是整數。P.3
(A) 正數的性質符號是＋ → 對；(C) 3−5 的「−」在做減法 → 運算符號，對；(D) 0 是整數 → 對。
(B) 原點左邊是負數，離原點愈遠（愈左）其值愈小，不是愈大 → 錯。
選 (B)。
(B)
考 4高雄六龜 108 段考以海平面為基準，甲地高出海平面 280 公尺記為 ＋280，則乙地低於海平面 500 公尺記為多少？P.4
高於海平面為正、低於為負。
「低於」用負號。
低 500 公尺 → −500 公尺。
−500 公尺
考 5桃園中興 108 段考從 −15 ℃ 的冰庫走到 31 ℃ 的戶外，氣溫變化是上升還是下降幾度？P.4
變化 = 後來溫度 − 原來溫度 = 31 −（−15）。
= 31 ＋ 15 = 46。
為正 → 上升 46 ℃。
上升 46 ℃
考 6彰化溪湖 112 段考小明數學考 93 分記為 ＋8 分，小華考 83 分記為 −2 分，則基準分數是多少？P.4
基準 = 實際分數 − 記錄值。
小明：93 − 8 = 85；小華：83 −（−2）= 85。
兩者一致 → 基準 85 分。
85 分
觀念
2數線
💡 概念說明
- 數線三要素：① 原點（O，代表 0） ② 正向（在直線右邊加箭頭，箭頭方向為正向） ③ 單位長（每一格的長度）。
- 坐標：數線上某點所表示的數。A 在原點右邊 2 個單位 → A(2)；B 在原點左邊 4 個單位 → B(−4)。
- 要標小數或分數的點，就把 1 個單位長再等分成更小的格子。
👨🏫 老師講解（4 題）
講 1小明說：「一條線只要有原點和單位長，就是數線。」這句話對嗎？請說明。P.5
先回想數線三要素：原點、正向、單位長，缺一不可。
小明只講了原點和單位長，漏掉了「正向」。
不對——還必須在右邊畫箭頭表示正向，才能分辨左右、比較大小。
不對，還缺「正向」（右邊箭頭）
講 2畫一條數線，並標出 A(3)、B(−4) 的位置。P.5
先畫水平直線，取一點當原點 O，右邊畫箭頭表示正向，再標出等距的單位長。
A(3)：座標 3 是正的，從原點向右數 3 個單位。
B(−4)：座標 −4 是負的，從原點向左數 4 個單位。
如圖：A 在 ＋3、B 在 −4 的位置
講 3寫出下列數線上 P、Q、R、S 四點的坐標。 讀坐標的方法：看點在原點 O 的左邊還是右邊，再數距原點幾個單位。
P 在原點左邊 3 格 → −3；Q 在左邊 1 格 → −1。
R 在原點右邊 2 格 → 2；S 在右邊 4 格 → 4。
P(−3)、Q(−1)、R(2)、S(4)
講 4畫數線並標出 A(52)、B(−73) 的位置。P.5
先把假分數化成帶分數看位置：52＝212（在 2~3 之間）；−73＝−213（在 −2~−3 之間）。
A：把 2 到 3 之間分成 2 等分，取中間那一點。
B：把 −2 到 −3 之間分成 3 等分，從 −2 向左數第 1 個分點。
如圖：A 在 2、3 正中間；B 在 −2、−3 之間靠近 −2 處
✏️ 學生練習（4 題）
練 1數線的三要素是哪三個？並說明右邊箭頭代表什麼。P.5
三要素：原點、正向、單位長。
右邊的箭頭代表正向（愈往右，數愈大）。
原點、正向、單位長；右邊箭頭代表正向
練 2請在數線上標出 C(2)、D(−5) 的位置。P.6
先畫好原點 O、右邊箭頭、單位長。
C：從原點向右 2 個單位；D：從原點向左 5 個單位。
如圖：C 在 ＋2、D 在 −5
練 3寫出下列數線上 E、F、G、H 四點的坐標。 看各點在原點左或右、距幾個單位。
E 在左 4、F 在左 2 → E(−4)、F(−2)。
G 在右 1、H 在右 3 → G(1)、H(3)。
E(−4)、F(−2)、G(1)、H(3)
練 4請在數線上標出 A(−32)、B(43) 的位置。P.6
先化小數或帶分數：−32＝−1.5（在 −1、−2 中間）；43＝113（在 1~2 之間）。
A 取 −1、−2 的中點；B 把 1 到 2 分 3 等分，從 1 向右數第 1 個分點。
如圖：A 在 −1.5、B 在 1、2 之間靠近 1 處
🏆 段考題目練習（6 題）
考 1高雄苓雅 113 段考將數線上 −1 與 −2 之間分成 10 等分，由左向右數第 3 個等分點所代表的數為何？P.6
每等分長 = 1 ÷ 10 = 0.1。
左端是 −2，向右每個分點加 0.1。
−2 ＋ 3 × 0.1 = −2 ＋ 0.3 = −1.7。
−1.7
考 2高雄大業 113 段考數線上 A 點為 37、B 點為 −12，將 A、B 之間分成七等分，由右邊算起第 3 個等分點所表示的數為何？P.6
A、B 距離 = 37 −（−12）= 49，每等分 = 49 ÷ 7 = 7。
由右邊（37）往左數，每個分點減 7。
37 − 3 × 7 = 37 − 21 = 16。
16
考 3台中向上 113 段考數線上 A 點坐標 −9、B 點坐標 5，若 C 為 A、B 的中點，求 C 的坐標。P.7
中點 =（兩端點和）÷ 2。
C =（−9 ＋ 5）÷ 2 = −4 ÷ 2。
= −2。
−2
考 4高雄光華 113 段考數線上五點 A、B、C、D、E 所表示的數分別是 −5、−13、15、−7、3，則原點介於哪兩點之間？P.7
把五數由小到大排：−13(B) ＜ −7(D) ＜ −5(A) ＜ 3(E) ＜ 15(C)。
原點 0 落在 −5 與 3 之間。
也就是 A 與 E 之間。
A、E 之間
考 5高雄陽明 113 段考在數線上要畫出 3.125 這一點，至少要將 3 與 4 之間分成幾等分？P.7
3.125 = 3 + 0.125 = 3 + 18。
分母是 8，要把 1 單位分成 8 的倍數等分，分點才會剛好落上。
最少 8 等分。
8 等分
考 6屏東中正 113 段考畫一條數線（含原點、正向、單位長），並標出 A(−4)、B(1.3)、C(−223)、D(3.25)。P.7
先畫數線、定原點 O、右端加箭頭、標單位長。
A(−4) 是整數點；B(1.3) 在 1~2 間；C(−223) 在 −2~−3 間靠近 −3；D(3.25) 在 3~4 間靠近 3。
如圖：A 在 −4、B 在 1.3、C 在 −2~−3 間、D 在 3.25
觀念
3數的大小
💡 概念說明
- 數線上愈右邊的數愈大，愈左邊的數愈小。
- 負數 ＜ 0 ＜ 正數（任何負數都比任何正數小）。
- 三一律：任意兩數 a、b，a＞b、a＜b、a＝b 恰有一種成立。
- 遞移律：若 a＞b 且 b＞c，則 a＞c。
- 兩個負數比大小：愈靠近 0（愈右）的負數愈大，例如 −2 ＞ −7。
👨🏫 老師講解（4 題）
講 1在 中填入 ＞、＜ 或 ＝：(1) 3 −5 (2) −7 −2 (3) 0 −1。P.8
原則：正數 ＞ 0 ＞ 負數；兩個負數則愈靠近 0 的愈大。
(1) 3 是正、−5 是負 → 3 ＞ −5；(3) 0 比負數大 → 0 ＞ −1。
(2) −7、−2 都是負數，−2 比較靠近 0（在右邊）→ −7 ＜ −2。
(1) ＞ (2) ＜ (3) ＞
講 2將 −3、2、0、−5、4、−1 由小到大排列。P.8
先分三類：負數（−3、−5、−1）最小、0 居中、正數（2、4）最大。
負數內部比較：愈靠近 0 愈大 → −5 ＜ −3 ＜ −1。
正數內部：2 ＜ 4。合起來由小到大排列。
−5 ＜ −3 ＜ −1 ＜ 0 ＜ 2 ＜ 4
講 3比較 −2.5 與 −23 的大小。P.8
先把分數化小數方便定位：−23 ≈ −0.67。
標到數線上：−2.5 在 −2、−3 之間；−23 在 0、−1 之間。 −23 在 −2.5 的右邊（比較靠近 0）→ −2.5 ＜ −23。
−2.5 ＜ −23
講 4已知 a、b 兩數，若「a 不大於 b」且「a 不等於 b」，則 a、b 的關係是？P.8
由三一律：a 與 b 的關係只有 a＞b、a＝b、a＜b 三種，且恰有一種成立。
「a 不大於 b」排除了 a＞b；「a 不等於 b」排除了 a＝b。
三種只剩一種 → a ＜ b。
a ＜ b
✏️ 學生練習（4 題）
練 1填入 ＞、＜ 或 ＝：(1) −4 1 (2) −6 −9 (3) −5 0。P.9
正 ＞ 0 ＞ 負；兩負數靠近 0 者較大。
(1) −4 ＜ 1；(3) −5 ＜ 0。
(2) −6、−9 都負，−6 靠近 0 → −6 ＞ −9。
(1) ＜ (2) ＞ (3) ＜
練 2將 −2、5、−7、0、3、−1 由大到小排列。P.9
正數最大：5 ＞ 3；接著 0。
負數中靠近 0 者大：−1 ＞ −2 ＞ −7。
5 ＞ 3 ＞ 0 ＞ −1 ＞ −2 ＞ −7
練 3用數線比較 −1.5 與 −34 的大小。P.9
−34＝−0.75，標到數線上比 −1.5 靠近 0。 靠近 0（在右邊）的較大 → −1.5 ＜ −34。
−1.5 ＜ −34
練 4若「a 不小於 b」且「a ≠ b」，則 a、b 的關係是？P.9
三一律三種關係恰一成立。
「不小於」排除 a＜b；「不等於」排除 a＝b。
只剩 a ＞ b。
a ＞ b
🏆 段考題目練習（6 題）
考 1屏東中正 113 段考比 −8 大的負整數共有幾個？P.9
「比 −8 大的負整數」＝ 落在 −8 與 0 之間的負整數（不含 0）。
它們是 −7、−6、−5、−4、−3、−2、−1。
共 7 個。
7 個
考 2高雄英明 113 段考數線上 −512 與 425 之間有幾個整數點？P.10
先換成小數：−512 = −5.5、425 = 4.4。
範圍內的整數：−5、−4、…、0、…、4。
從 −5 數到 4，共 10 個。
10 個
考 3台中五權 113 段考比 −423 大、比 6 小的整數中，最大的是 a、最小的是 b，求 a − |b|。P.10
範圍 −423 ＜ 整數 ＜ 6：最大 a = 5、最小 b = −4。
|b| = |−4| = 4。
a − |b| = 5 − 4 = 1。
1
考 4高雄六龜 108 段考有 A、B、C 三數，若 B ＞ A 且 A ＞ C，則 C 與 B 的關係為何？P.10
接起來：B ＞ A ＞ C。
由遞移律，B ＞ C。
即 C ＜ B。
C ＜ B
考 5台中向上 113 段考下列敘述正確的有幾個？(甲) 最小的正數是 1 (乙) 最大的負整數是 −1 (丙) 0 沒有相反數 (丁) 數線上與 −313 最接近的整數為 −3。P.10
(甲) 正數沒有「最小的」（可無限接近 0）→ 錯；(丙) 0 的相反數是 0 → 錯。
(乙) 最大的負整數是 −1 → 對；(丁) −313 ≈ −3.33，最接近的整數是 −3 → 對。
正確的有 2 個。
2 個（乙、丁）
考 6高雄光華 113 段考下列敘述何者錯誤？(A) 數線上右邊的點所表示的數恆大於左邊 (B) 離原點越遠的點所表示的數越大 (C) 絕對值越小的數離原點越近 (D) 互為相反數的兩數與原點距離相等。P.10
(A)、(C)、(D) 都正確。
(B) 離原點遠的點是「絕對值」大，數值不一定大——左邊離原點遠的負數反而最小 → 錯。
選 (B)。
(B)
觀念
4相反數與絕對值
💡 概念說明
- 相反數：在數線上位於原點兩側、與原點距離相等的兩數互為相反數（數字部分相同、性質符號相異）。
- a 的相反數是 −a，且 −(−a)＝a；0 的相反數是 0。
- 絕對值：數線上點 A(a) 與原點的距離，記為 |a|；去掉性質符號、只看數字。例 |−5|＝5、|3|＝3、|0|＝0。
- 絕對值一定是 0 或正數（距離不可能是負的）；互為相反數兩數絕對值相等：|a|＝|−a|。
- 負數的絕對值愈大，其值反而愈小（如 |−7|＞|−3|，但 −7 ＜ −3）。
👨🏫 老師講解（4 題）
講 1寫出下列各數的相反數：(1) 6 (2) −4.5 (3) 0 (4) −23。P.11
相反數的做法：數字部分不變，只把性質符號改成相反。
(1) 6（正）的相反數是 −6；(2) −4.5（負）的相反數是 4.5。
(3) 0 比較特別，0 的相反數還是 0；(4) −23 的相反數是 23。
(1) −6 (2) 4.5 (3) 0 (4) 23
講 2化簡：(1) −(−7) (2) −(＋3) (3) −(−(−5))。P.11
規則：−( ) 代表「取相反數」，−(−a)＝a；一個負號就變號一次。
(1) −(−7)：−7 的相反數 = 7；(2) −(＋3)：＋3 的相反數 = −3。
(3) 由內往外：−(−5)＝5，再 −(5)＝−5。
(1) 7 (2) −3 (3) −5
講 3求下列各數的絕對值：(1) |9| (2) |−5| (3) |0| (4) |−34|。P.11
絕對值＝該數與原點的距離，做法是「去掉性質符號、只留數字」。
(1) |9|＝9；(2) |−5|＝5（去掉負號）。
(3) |0|＝0；(4) |−34|＝34。
(1) 9 (2) 5 (3) 0 (4) 34
講 4(1) 若 |a|＝7，則 a＝？ (2) 有沒有一個數的絕對值等於 −2？P.11
(1) |a|＝7 表示「a 與原點距離 7」，原點左右各有一個這樣的點。
所以 a＝7 或 a＝−7（可寫成 a＝±7）。
(2) 絕對值是「距離」，距離不可能是負的，所以沒有絕對值等於 −2 的數。
(1) a＝7 或 −7 (2) 沒有
✏️ 學生練習（4 題）
練 1寫出下列各數的相反數：(1) 10 (2) −7 (3) 2.5 (4) −56。P.12
數字不變、符號改相反。
(1) −10；(2) 7。
(3) −2.5；(4) 56。
(1) −10 (2) 7 (3) −2.5 (4) 56
練 2化簡：(1) −(−12) (2) −(＋8) (3) −(−(−4))。P.12
−(−a)＝a，一個負號變號一次。
(1) 12；(2) −8。
(3) 由內往外：−(−4)＝4，再 −(4)＝−4。
(1) 12 (2) −8 (3) −4
練 3求絕對值：(1) |−15| (2) |20| (3) |−2.5| (4) |−78|。P.12
去掉性質符號、只看數字。
(1) 15；(2) 20。
(3) 2.5；(4) 78。
(1) 15 (2) 20 (3) 2.5 (4) 78
練 4(1) 若 |b|＝11，則 b＝？ (2) 有沒有一個數的絕對值等於 −5？為什麼？P.12
(1) 與原點距離 11 的點有左右兩個 → b＝11 或 −11。
(2) 絕對值是距離，必為 0 或正數，所以沒有絕對值等於 −5 的數。
(1) b＝11 或 −11 (2) 沒有，絕對值必為 0 或正數
🏆 段考題目練習（6 題）
考 1台中五權 113 段考如果（a＋1）的相反數是 −1，那麼 a＝？P.12
相反數是 −1，表示（a＋1）本身 = 1（因為 1 的相反數才是 −1）。
a ＋ 1 = 1。
a = 0。
0
考 2屏東中正 113 段考若 a 是 −(−5) 的相反數，b 是 −|−12| 的相反數，求 a − b。P.13
先算被取相反數的數：−(−5) = 5，所以 a = −5；−|−12| = −12，所以 b = 12。
a − b = −5 − 12。
= −17。
−17
考 3高雄七賢 113 段考絕對值不大於 7 的整數有 a 個，絕對值小於 b 的整數有 9 個（a、b 都是正整數），求 a＋b。P.13
「絕對值不大於 7」即 |x| ≤ 7：−7 到 7，共 15 個 → a = 15。
「絕對值小於 b」有 9 個整數，即 −4 到 4 → b = 5。
a ＋ b = 15 ＋ 5 = 20。
20
考 4高雄英明 113 段考若 |甲−17| ＋ |乙＋11| ＝ 0，求 甲 − 乙。P.13
兩個絕對值都 ≥ 0，相加等於 0 → 各自都要等於 0。
甲 − 17 = 0 → 甲 = 17；乙 ＋ 11 = 0 → 乙 = −11。
甲 − 乙 = 17 −（−11）= 28。
28
考 5台中四育 113 段考哪些整數的絕對值小於 5？P.13
|x| ＜ 5 表示與原點距離小於 5。
整數為 −4、−3、−2、−1、0、1、2、3、4。
共 9 個。
−4、−3、−2、−1、0、1、2、3、4
考 6高雄獅甲 113 段考若 |a| ＝ |b| 且 a ≠ b，則下列何者正確？(A) a＞b (B) a＜b (C) a＋b＝0 (D) 無法比較。P.13
|a|＝|b| 表示 a、b 與原點距離相同。
但 a ≠ b，所以兩數分別在原點兩側 → 互為相反數。
互為相反數兩數相加 = 0 → (C) a＋b＝0。
(C) a＋b＝0